운정고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025 최신)

운정고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 2025학년 기준 총 21문항이고, 20·21번이 서술형입니다. 범위는 평면좌표부터 명제까지지만, 실제 출제 무게는 원의 방정식과 도형의 이동에 쏠려 있습니다. 이 두 단원만 11문항, 시험지의 절반이 넘습니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~19번 선택형, 20·21번 서술형
• 난이도: 하 6 / 중 7 / 중상 6 / 상 2(17·18번)
• 배치 단원: 03 원의 방정식 6 / 04 도형의 이동 5 / 07 명제 3 / 05 집합의 뜻과 표현 2 / 06 집합의 연산 2 / 01 평면좌표 2 / 02 직선의 방정식 1
• 최다 반복 유형: 점과 직선 사이의 거리 3회(7·14·21번)
• 상 2문항은 17번(명제) · 18번(원의 접선)

운정고 고1 2학기 중간은 어떤 시험인가

운정고등학교는 경기 파주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 21문항, 1~19번 선택형 + 20·21번 서술형 구조입니다.

먼저 짚어야 할 것은 범위 표기와 실제 출제의 차이입니다. 범위는 평면좌표에서 명제까지로 공지되지만, 평면좌표는 6·20번 두 문항, 직선의 방정식은 2번 한 문항뿐입니다. 반면 원의 방정식 6문항, 도형의 이동 5문항으로 뒤쪽 단원이 훨씬 무겁습니다.

"범위 앞부분부터 차근차근" 전략이 통하지 않는 시험입니다. 평면좌표·직선의 방정식에 시간을 쏟으면 3문항밖에 못 건집니다.

두 번째 특징은 난이도가 번호 순서에 매우 충실하다는 점입니다. 1~5번이 전부 하, 6~13번이 중심, 14번부터 중상이 시작되고 17·18번이 상입니다. 앞에서부터 순서대로 푸는 전략이 그대로 통합니다.

2025학년 난이도 분포 — 앞 5문항이 전부 하

1~5번이 전부 하입니다. 각 단원의 가장 기본적인 개념을 하나씩 물어보는 워밍업 구간입니다. 여기서 5문항을 빠르게 확보하고 시간을 벌어야 합니다.

그리고 서술형 20번이 하라는 점이 중요합니다. 21문항 중 여섯 개뿐인 하 난이도 하나가 서술형에 있습니다. 선택형에서 시간을 다 쓰고 서술형에 못 가면 가장 아까운 문항을 놓칩니다. 시험 시작 후 서술형 두 문항을 먼저 훑어보는 것도 방법입니다.

중상 이상이 8문항(38%) 이고, 14번부터 몰려 있습니다. 14~19번 여섯 문항 중 다섯 개가 중상 이상입니다.

출제 단원 — 도형의 방정식 계열이 14문항

대단원으로 묶으면 도형의 방정식(평면좌표·직선·원·도형의 이동) 14문항(67%), 집합과 명제 7문항(33%) 입니다.

03 원의 방정식이 6문항으로 최다이고, 그중 상 난이도 18번과 서술형 21번이 포함됩니다. 문항 수와 난이도 모두 이 단원이 가장 무겁습니다.

04 도형의 이동 5문항은 8·9·13·14·15번으로 시험 중반에 몰려 있고, 14·15번이 중상입니다.

07 명제 3문항은 5·11·17번인데, 17번이 상입니다. 문항 수는 적지만 킬러가 하나 있습니다.

집합은 05 집합의 뜻과 표현 2문항 + 06 집합의 연산 2문항 = 4문항입니다. 1·3번이 하, 10번이 중상, 12번이 중입니다.

시그니처 유형 — "점과 직선 사이의 거리" 3회

이 시험에서 가장 자주 등장한 도구는 점과 직선 사이의 거리 공식입니다. 7·14·21번 세 문항에서 쓰였고, 그중 하나는 서술형입니다.

세 문항의 겉모습은 다 다릅니다. 7번은 원의 현의 길이, 14번은 원의 평행이동과 직선의 교점, 21번은 원과 직선이 두 점에서 만날 조건입니다. 그런데 셋 다 중심에서 직선까지의 거리를 구하는 계산이 들어갑니다.

원과 직선의 위치 관계는 전부 "중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r의 비교"로 환원됩니다.

• d < r — 서로 다른 두 점에서 만남
• d = r — 접함
• d > r — 만나지 않음

이 한 줄이 7·14·16·19·21번 다섯 문항을 관통합니다.

2회 반복 유형은 다음과 같습니다.

• 유한집합의 원소의 개수; n(A∪B) 공식 — 3·12번
• 선분의 내분점 — 6·20번
• 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 — 14·21번
• 수직이등분선의 방정식 — 15·19번
• 원과 직선이 접할 때 — 16·19번

19번이 세 유형의 교차점입니다. x축·y축에 동시에 접하는 원, 수직이등분선, 접할 조건이 한 문항에 다 들어 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 워밍업 5문항 (1~5번) — 전부 하

1번 하 서로 같은 집합, 2번 하 수직 또는 평행 조건이 주어진 직선의 방정식·한 점과 기울기가 주어진 직선, 3번 하 n(A∪B) 공식·여집합과 차집합, 4번 하 일반형 원의 방정식에서 중심과 반지름 구하기, 5번 하 거짓인 명제의 반례.

단원별로 하나씩 기본 개념을 물어보는 구성입니다.

4번은 x²+y²+Ax+By+C=0 꼴을 완전제곱해서 (x-a)²+(y-b)²=r² 로 고치는 계산입니다. 이 변형은 이 시험 곳곳에서 다시 쓰이니 반드시 손에 익혀야 합니다.

2번은 평행이면 기울기가 같고, 수직이면 기울기의 곱이 -1이라는 두 조건입니다.

5번의 반례는 명제 p→q가 거짓임을 보이려면 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 예를 하나 찾으면 된다는 것입니다.

2. 평면좌표 (6번) — 중

6번 중 삼각형의 무게중심·선분의 내분점. 세 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때 무게중심은 x좌표끼리, y좌표끼리 평균입니다. 내분점 공식과 함께 물었습니다.

3. 원과 직선 (7·16번) — 2문항

7번 중 현의 길이·점과 직선 사이의 거리, 16번 중상 원과 직선이 접할 때·기울기가 주어진 원의 접선의 방정식.

7번은 표준 절차입니다. 중심에서 직선까지의 거리 d를 구하고, 반지름 r과 피타고라스 정리로 현의 절반을 구한 뒤 2배 합니다.

16번은 기울기 m이 주어진 접선입니다. 원 x²+y²=r²에 기울기 m인 접선은 y = mx ± r√(m²+1) 입니다. 중심이 원점이 아니면 평행이동해서 처리합니다.

4. 도형의 이동 (8·9·13·14·15번) — 5문항

8번 중 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값·원 밖의 점과 원 위의 점 사이의 거리, 9번 중 도형의 평행이동; 직선·점의 평행이동, 13번 중 도형의 대칭이동; 직선·대칭이동, 14번 중상 도형의 평행이동; 원·원과 직선이 두 점에서 만날 때·점과 직선 사이의 거리, 15번 중상 도형의 대칭이동; 원·직선에 대한 대칭이동·수직이등분선의 방정식.

기본 규칙 네 가지를 정확히 외우는 것이 출발점입니다.

• x축 대칭 — y 대신 -y
• y축 대칭 — x 대신 -x
• 원점 대칭 — x는 -x, y는 -y
• 직선 y=x 대칭 — x와 y를 서로 바꿈

8번의 거리의 최솟값은 고전적인 유형입니다. 한 점을 직선에 대해 대칭이동시킨 뒤 직선 거리로 잇는 것이 최소가 됩니다.

15번이 이 구간에서 가장 무겁습니다. 원을 임의의 직선에 대해 대칭이동시키는 문항인데, 중심의 대칭점을 구하는 것이 핵심입니다. 원래 중심과 대칭점을 잇는 선분이 그 직선에 의해 수직이등분된다는 조건, 즉 수직이등분선의 방정식을 세워 풉니다. 반지름은 변하지 않습니다.

5. 집합 (10·12번) — 2문항

10번 중상 A⊂X⊂B를 만족시키는 집합 X의 개수·배수와 약수의 집합의 연산, 12번 중 드모르간의 법칙·n(A∪B) 공식.

10번이 집합 파트의 승부처입니다. A⊂X⊂B를 만족하는 X의 개수는 2^(n(B)-n(A)) 입니다. 여기에 배수·약수 집합이 결합돼 원소를 직접 나열해야 하는 형태입니다.

12번의 드모르간의 법칙은 (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ 입니다. 원소 개수 공식과 함께 씁니다.

6. 명제 (11번) — 중

11번 중 충분·필요·필요충분조건이 되도록 하는 상수 구하기·진리집합. p가 q이기 위한 충분조건이면 P⊂Q 입니다. 조건이 부등식으로 주어지면 수직선에 진리집합을 그려 포함 관계를 확인하는 것이 가장 확실합니다.

7. x축·y축에 접하는 원 (19번) — 중상

19번 중상 x축, y축에 동시에 접하는 원의 방정식·수직이등분선의 방정식·원과 직선이 접할 때.

x축과 y축에 동시에 접하는 원은 중심이 (a, a) 또는 (a, -a) 꼴이고 반지름이 |a| 입니다. 이 한 줄을 알면 미지수가 하나로 줄어듭니다. 여기에 다른 접선 조건이나 수직이등분선 조건을 붙여 a를 구합니다.

주의 문항 — 상 2문항

17번 상 ('모든'이나 '어떤'이 있는 명제 / 명제와 조건의 부정 / 부분집합의 개수)

명제 단원의 킬러입니다. 세 가지가 얽혀 있습니다.

핵심은 부정의 규칙입니다.

• "모든 x에 대해 p"의 부정은 "어떤 x에 대해 ~p"
• "어떤 x에 대해 p"의 부정은 "모든 x에 대해 ~p"

여기에 부분집합의 개수가 결합됐습니다. 조건을 만족하는 집합을 찾고 그 부분집합의 개수를 세는 형태입니다. 원소가 n개인 집합의 부분집합은 2ⁿ개입니다.

두 개념이 한 문항에 들어가면 어느 쪽에서 막혀도 답이 안 나옵니다. 명제 파트를 "쉬운 단원"으로 분류하고 넘어가면 이 문항을 잃습니다.

18번 상 (원 위의 점에서의 접선의 방정식 / 각의 이등분선의 성질 / 두 직선의 평행과 수직)

원의 방정식 단원의 킬러입니다.

원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선은 x₁x + y₁y = r² 입니다. 이 공식이 출발점입니다.

여기에 각의 이등분선의 성질이 붙은 것이 이 문항을 어렵게 만듭니다. 두 직선이 이루는 각의 이등분선은 두 직선까지의 거리가 같은 점들의 자취입니다. 즉 점과 직선 사이의 거리 공식을 두 번 써서 등식을 세웁니다.

절댓값이 붙으므로 부호에 따라 두 개의 이등분선이 나옵니다. 그중 문제 조건에 맞는 것을 골라야 하는데, 여기서 실수가 많이 납니다.

서술형 2문항 — 20·21번

20번 하 (선분의 내분점 / 선분의 내분점의 활용)

이 시험 서술형 중 난이도가 하입니다. 두 점의 좌표와 내분비가 주어졌을 때 내분점을 구하거나, 내분점이 주어졌을 때 미지수를 역산하는 형태입니다.

내분점 공식 — 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 m:n으로 내분하는 점은 ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) 입니다.

분자에서 m과 n이 교차한다는 점만 조심하면 됩니다. 서술형이니 공식을 쓰고 대입하는 과정을 명시하세요. 반드시 확보해야 하는 문항입니다.

21번 중상 (원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 / 정점을 지나는 직선 / 점과 직선 사이의 거리)

원과 직선이 두 점에서 만나도록 하는 기울기의 범위를 구하는 문항입니다.

풀이 순서는 이렇습니다.

1. 직선이 지나는 정점을 찾습니다. 미지수 m에 대해 정리했을 때 m에 관계없이 성립하는 점이 정점입니다.
2. 중심에서 직선까지의 거리 d를 구합니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 씁니다.
3. d < r 이라는 부등식을 세우고 풉니다. 절댓값이 있으므로 양변을 제곱해 처리합니다.
4. 범위를 정리합니다.

부등식을 제곱할 때 부호 조건을 확인하는 것, 그리고 마지막에 범위를 부등호로 정확히 표기하는 것이 채점 포인트입니다. 판별식을 이용해도 되지만, 이 시험에서 세 번 반복된 거리 공식 쪽이 계산이 짧습니다.

운정고 고1 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 집합의 기본 개념과 연산 — 1·3·12번 대비. 서로 같은 집합, 드모르간.
2. 직선의 방정식과 평행·수직 조건 — 2번 대비.
3. 일반형 원을 표준형으로 고치기 — 4번 대비. 완전제곱 변형.
4. 명제의 참·거짓과 반례 — 5번 대비.
5. ★ 선분의 내분점과 무게중심 — 6·20번 대비. 서술형 확보 문항.
6. ★ 점과 직선 사이의 거리 — 7·14·21번 대비. 이 시험 최다 사용 도구.
7. 원의 현의 길이 — 7번 대비. d와 r로 피타고라스.
8. 평행이동 규칙 — 9·14번 대비.
9. 대칭이동 4종(x축·y축·원점·y=x) — 13번 대비.
10. ★ 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 — 8번 대비.
11. ★ 직선에 대한 원의 대칭이동 — 15번 대비. 중심의 대칭점과 수직이등분선.
12. A⊂X⊂B인 X의 개수 — 10번 대비. 2^(n(B)-n(A)).
13. 충분조건·필요조건과 진리집합 — 11번 대비. 수직선에 그려 확인.
14. 기울기가 주어진 원의 접선 — 16번 대비. y = mx ± r√(m²+1).
15. x축·y축에 동시에 접하는 원 — 19번 대비. 중심 (a, ±a), 반지름 |a|.
16. ★ '모든'·'어떤' 명제의 부정과 부분집합 개수 — 17번 대비. 상 난이도.
17. ★ 원 위의 점에서의 접선과 각의 이등분선 — 18번 대비. 상 난이도.
18. ★ 원과 직선이 두 점에서 만날 조건 — 21번 서술형 대비. 정점 찾기 → d<r.

자주 나오는 질문

운정고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~19번이 선택형, 20·21번이 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 03 원의 방정식이 6문항으로 가장 많고, 04 도형의 이동 5문항, 07 명제 3문항, 05 집합의 뜻과 표현 2문항, 06 집합의 연산 2문항, 01 평면좌표 2문항, 02 직선의 방정식 1문항입니다.

범위가 평면좌표부터 명제까지인데, 평면좌표가 많이 나오나요?

아닙니다. 평면좌표는 6·20번 두 문항, 직선의 방정식은 2번 한 문항뿐입니다. 실제 무게중심은 원의 방정식과 도형의 이동(합쳐서 11문항, 52%) 입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번과 18번 두 문항입니다. 17번은 '모든'·'어떤'이 있는 명제와 부분집합의 개수, 18번은 원 위의 점에서의 접선과 각의 이등분선입니다.

서술형은 무엇이 나왔나요?

20번은 선분의 내분점(난이도 하), 21번은 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건(중상) 입니다. 20번은 반드시 확보해야 하는 문항입니다.

명제 단원은 얼마나 나오나요?

5·11·17번 세 문항입니다. 문항 수는 적지만 17번이 이 시험의 상 난이도 둘 중 하나라, 비중이 작다고 소홀히 할 수 없습니다.

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