무원고 2학년 1학기 기말고사 기하 기출 분석 (2026 최신)

무원고 2학년 1학기 기말 기하는 2026학년 기준 총 21문항이고, 19~21번이 서술형입니다. 실제 출제 단원은 공간좌표 · 벡터의 연산 · 벡터의 성분과 내적 · 공간에서의 도형의 방정식입니다. 이 시험의 특징은 벡터 계열이 11문항(52%) 으로 절반을 넘는다는 점, 그리고 상 난이도가 17번 한 문항뿐이라는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번 선택형, 19·20·21번 서술형
• 난이도: 하 6 / 중 9 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 06 벡터의 성분과 내적 8 / 04 공간좌표 7 / 05 벡터의 연산 3 / 07 도형의 방정식 3
• 서술형 3문항이 전부 중 — 확보 가능한 구간
• 유일한 상 난이도: 17번(직선과 구의 교점)

무원고 고2 1학기 기말은 어떤 시험인가

무원고등학교는 경기 고양시에 있는 고등학교입니다. 2026학년 2학년 1학기 기말고사 기하는 총 21문항, 1~18번 선택형 + 19~21번 서술형 구조입니다.

먼저 짚어야 할 것이 있습니다. 범위 표기는 공간도형부터 도형의 방정식까지지만, 분석표상 배치 단원에는 공간도형(위치 관계·삼수선 정리·정사영) 단독 문항이 없습니다. 실제 출제는 공간좌표에서 시작해 벡터를 거쳐 공간에서의 직선·평면·구의 방정식으로 끝납니다.

기하 과목에서 중간고사가 이차곡선과 공간도형, 기말고사가 공간좌표와 벡터로 갈리는 구성입니다. 기말 대비에서는 벡터에 시간을 집중하는 것이 맞습니다.

난이도 구조는 온화한 편입니다. 하 6문항 + 중 9문항 = 15문항(71%) 이고, 상은 17번 하나뿐입니다. 서술형 세 문항이 모두 중이라는 점도 중요합니다. 서술형이 어렵지 않으니 반드시 끝까지 도달해야 하는 시험입니다.

2026학년 난이도 분포 — 하·중이 15문항

1~5번과 7번이 하입니다. 앞부분 여섯 문항이 사실상 확보 구간입니다.

중상 5문항이 12·14·15·16·18번으로 시험 후반에 몰려 있고, 상 17번이 그 사이에 끼어 있습니다. 12~18번 일곱 문항이 이 시험의 승부처입니다.

그런데 서술형 19·20·21번은 다시 중으로 내려옵니다. 이 배치가 중요합니다. 선택형 후반의 어려운 문항에 매달려 서술형을 못 풀면 가장 손해입니다. 12~18번에서 두세 문항을 과감히 넘기고 서술형부터 확보하는 전략이 유효합니다.

출제 단원 — 벡터 11문항, 공간좌표 7문항

06 벡터의 성분과 내적이 8문항(38%) 으로 최다입니다. 여기에 05 벡터의 연산 3문항을 더하면 벡터 계열만 11문항(52%) 입니다.

04 공간좌표 7문항은 점의 좌표(1·7번), 내분점(9번), 두 점 사이의 거리(12번), 구의 방정식(15·18번), 서술형 21번으로 이어집니다.

07 도형의 방정식 3문항은 5·17·19번입니다. 문항 수는 적지만 상 난이도 17번과 서술형 19번이 여기 있습니다. 공간에서의 직선·평면·구의 방정식은 문항 수만 보고 넘기면 안 되는 단원입니다.

시그니처 유형 — 짝을 이루는 다섯 쌍

이 시험은 특정 유형이 크게 반복되기보다 두 문항씩 짝을 이루는 구조입니다. 2회 반복 유형이 다섯 쌍 있습니다.

• 좌표공간에서의 점의 좌표 — 1·7번
• 벡터의 내적의 성질 — 3·10번
• 선분의 내분점 — 9·21번
• 선분의 내분점의 위치벡터 — 13·14번
• 구의 방정식 — 15·18번

여기서 선분의 내분점이 두 가지 형태로 나온다는 점이 흥미롭습니다. 9번과 서술형 21번은 좌표 계산으로, 13번과 14번은 위치벡터로 같은 개념을 다룹니다.

내분점 공식은 좌표든 벡터든 구조가 같습니다. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점의 위치벡터는 (m·b + n·a)/(m+n) 입니다. 좌표 계산이든 위치벡터든 분자에서 m과 n이 교차한다는 점만 기억하면 네 문항이 한꺼번에 열립니다.

구의 방정식도 15번과 18번이 짝입니다. 15번은 자취로서의 구, 18번은 좌표평면에 접하는 구입니다.

빈출 유형 정리 (2026 기출 기준)

1. 공간좌표의 기본 (1·7번) — 2문항, 둘 다 하

1번 하 좌표공간에서의 점의 좌표·좌표평면 위로의 정사영, 7번 하 삼각형의 무게중심·좌표공간에서의 점의 좌표.

좌표평면에 대한 대칭점과 정사영을 정확히 구분하세요. 점 (a, b, c)의 xy평면 위로의 정사영은 (a, b, 0) 이고, xy평면에 대한 대칭점은 (a, b, -c) 입니다. 이 둘을 헷갈리면 하 난이도를 놓칩니다.

7번의 무게중심은 세 꼭짓점의 좌표를 성분별로 평균 내면 됩니다. 평면에서와 완전히 같고 z좌표만 추가됩니다.

2. 벡터의 기본 (2·3·4번) — 3문항, 전부 하

2번 하 서로 같은 벡터·벡터의 평행, 3번 하 벡터의 내적의 성질, 4번 하 평면벡터가 서로 같을 조건·성분과 크기.

벡터는 크기와 방향만 같으면 같은 벡터입니다. 시작점이 달라도 됩니다.

내적의 성질은 교환법칙, 분배법칙, 그리고 a·a = |a|² 입니다. 특히 마지막 것이 여러 문항에서 계산의 출발점이 됩니다.

3. 벡터의 내적 계산 (6·8·10·11번) — 4문항

6번 중 평면벡터의 내적·평면도형에서 벡터의 연산과 크기, 8번 중 공간벡터의 수직·성분과 크기, 10번 중 내적의 성질·벡터의 크기, 11번 중 두 벡터가 이루는 각의 크기; 성분이 주어진 경우·공간벡터의 연산과 크기.

내적 두 가지 표현을 자유롭게 오가야 합니다.

• 성분 — a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
• 크기와 각 — a·b = |a||b| cos θ

8번의 수직 조건은 a·b = 0 입니다. 성분으로 쓰면 곧바로 방정식이 나옵니다.

11번의 각의 크기는 위 두 표현을 등호로 놓고 cos θ를 구하는 것입니다. 분자는 성분 내적, 분모는 두 크기의 곱입니다.

10번의 벡터의 크기는 |a + b|² = |a|² + 2(a·b) + |b|² 를 전개해 푸는 유형입니다. 이 전개식이 벡터 문제에서 가장 자주 쓰이는 도구입니다.

4. 위치벡터와 내분점 (9·13·14번) — 3문항

9번 중 선분의 내분점·사각형에의 활용, 13번 중 선분의 내분점의 위치벡터·삼각형의 무게중심의 위치벡터, 14번 중상 삼각형에서 위치벡터의 활용·내분점의 위치벡터.

14번이 이 구간의 고비입니다. 삼각형에서 여러 점의 위치벡터를 하나의 기준으로 통일하는 문항입니다.

정석은 한 꼭짓점을 원점으로 잡고 나머지를 두 기본 벡터로 표현하는 것입니다. 예를 들어 A를 기준으로 AB = b, AC = c 로 두면, 삼각형 안의 모든 점을 sb + tc 꼴로 쓸 수 있습니다. 한 점이 두 가지 방법으로 표현되면 계수를 비교해 미지수를 구합니다.

13번의 무게중심의 위치벡터는 (a + b + c)/3 입니다.

5. 공간좌표의 거리와 구 (12·15·18번) — 3문항, 전부 중상

12번 중상 두 점 사이의 거리의 활용·두 점 사이의 거리, 15번 중상 자취의 방정식; 구·구의 방정식, 18번 중상 좌표평면 또는 좌표축에 접하는 구의 방정식·구의 방정식.

구의 방정식 (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r² 에서 중심 (a, b, c)와 반지름 r을 읽는 것이 기본입니다.

18번의 "좌표평면에 접하는 구" 가 핵심 유형입니다. 규칙이 명확합니다.

• xy평면에 접함 — 반지름 = |중심의 z좌표|
• yz평면에 접함 — 반지름 = |중심의 x좌표|
• zx평면에 접함 — 반지름 = |중심의 y좌표|

이 한 줄로 미지수가 하나 줄어듭니다.

15번의 자취의 방정식은 조건을 만족하는 점 (x, y, z)를 잡고 조건을 식으로 옮겨 정리하면 구의 방정식이 나오는 형태입니다. 두 점에서의 거리의 비가 일정한 점의 자취가 구가 되는 유형이 대표적입니다.

6. 입체도형에서의 벡터 (16번) — 중상

16번 중상 입체도형에서 벡터의 연산과 크기·공간벡터의 내적.

정육면체나 정사면체가 주어지고 벡터의 크기나 내적을 구하는 문항입니다. 모서리 벡터 세 개를 기본으로 잡고 나머지를 그 조합으로 표현하는 것이 정석입니다. 정육면체라면 세 모서리 벡터가 서로 수직이므로 내적이 0이 되어 계산이 크게 줄어듭니다.

주의 문항 — 17번 상

17번 상 (직선과 구의 교점 / 좌표공간에서 점과 직선 사이의 거리 / 벡터를 이용한 구의 방정식)

이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 세 개념이 한꺼번에 얽혀 있습니다.

풀이 경로는 두 가지입니다.

첫째, 대입해서 푸는 방법. 직선을 매개변수 t로 표현해 (x, y, z) = (x₀+at, y₀+bt, z₀+ct) 로 놓고, 이를 구의 방정식에 대입합니다. t에 대한 이차방정식이 나오고, 판별식으로 교점의 개수를 판단하거나 근을 구해 교점을 찾습니다.

둘째, 거리로 푸는 방법. 구의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 비교합니다. d < r 이면 두 점에서 만나고, d = r 이면 접하고, d > r 이면 만나지 않습니다. 평면에서 원과 직선의 관계와 완전히 같은 논리입니다.

중심에서 직선까지의 거리를 구할 때는 직선 위의 한 점 A와 중심 P를 잇는 벡터를 방향벡터에 수직인 성분과 평행인 성분으로 분해합니다. 여기서 벡터의 내적이 쓰입니다.

세 번째 유형인 "벡터를 이용한 구의 방정식" 도 함께 정리해 두세요. 지름의 양 끝점 A, B가 주어졌을 때 구 위의 점 P는 (P-A)·(P-B) = 0 을 만족합니다. 지름에 대한 원주각이 직각이라는 성질의 공간 버전입니다.

서술형 3문항 — 19·20·21번, 전부 중

19번 중 (한 점과 방향벡터가 주어진 직선의 방정식 / 한 점과 법선벡터가 주어진 평면의 방정식)

직선의 방정식과 평면의 방정식을 각각 구하는 문항입니다.

• 직선 — 점 (x₀, y₀, z₀)를 지나고 방향벡터가 (a, b, c)이면 (x-x₀)/a = (y-y₀)/b = (z-z₀)/c
• 평면 — 점 (x₀, y₀, z₀)를 지나고 법선벡터가 (a, b, c)이면 a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

방향벡터는 직선과 평행, 법선벡터는 평면과 수직입니다. 이 둘을 바꿔 쓰면 답이 전혀 달라지니 주의하세요. 서술형이므로 어느 것이 방향벡터이고 어느 것이 법선벡터인지 명시하는 것이 좋습니다.

20번 중 (세 점이 한 직선 위에 있을 조건 / 위치벡터)

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AB 벡터와 AC 벡터가 평행해야 합니다. 즉 AC = k·AB 를 만족하는 실수 k가 존재해야 합니다.

성분으로 쓰면 각 성분의 비가 같다는 조건이 됩니다. 여기서 미지수를 구합니다.

성분 중 하나가 0인 경우를 조심하세요. 비례식으로 쓸 때 분모가 0이 되므로, 그때는 대응하는 다른 성분도 0이어야 한다는 식으로 따로 처리합니다.

21번 중 (선분의 길이의 합의 최솟값 / 평면에 대하여 대칭인 점 / 선분의 내분점)

대칭이동을 이용한 최단 거리 문제의 공간 버전입니다.

풀이 순서는 이렇습니다.

1. 한 점을 주어진 평면에 대해 대칭이동시킵니다. 예를 들어 xy평면에 대한 대칭점은 z좌표의 부호만 바뀝니다.
2. 대칭점과 다른 점을 직선으로 잇습니다. 이 직선의 길이가 최솟값입니다.
3. 그 직선이 평면과 만나는 점이 답이 되는 점 P입니다.
4. 교점은 직선을 매개변수로 표현하고 평면의 조건(예: z=0)을 대입해 구합니다.

평면에서 배운 "강가에 물 뜨러 가는 최단 경로" 문제와 발상이 완전히 같습니다. 대칭점을 잡는 순간 문제가 직선 하나로 단순해진다는 것이 핵심입니다.

무원고 고2 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 좌표공간의 점, 정사영과 대칭점 — 1번 대비. 정사영과 대칭 구분.
2. 공간에서의 무게중심과 내분점 — 7·9·21번 대비. 성분별 계산.
3. 서로 같은 벡터와 평행 — 2번 대비. 확보 문항.
4. 벡터의 성분과 크기 — 4·8번 대비.
5. ★ 내적의 두 표현 — 3·6·10·11번 대비. 성분 내적과 |a||b|cos θ.
6. |a + b|² 전개식 — 10번 대비. 벡터 계산의 기본 도구.
7. 공간벡터의 수직 조건 a·b = 0 — 8번 대비.
8. 두 벡터가 이루는 각 — 11번 대비.
9. ★ 위치벡터와 내분점의 위치벡터 — 13·14번 대비. 기본 벡터 두 개로 통일.
10. 삼각형에서 위치벡터의 활용 — 14번 대비. 계수 비교.
11. 두 점 사이의 거리 — 12번 대비.
12. 구의 방정식과 자취 — 15번 대비.
13. ★ 좌표평면·좌표축에 접하는 구 — 18번 대비. 반지름 = 중심 좌표의 절댓값.
14. 입체도형에서의 벡터 연산 — 16번 대비. 모서리 벡터로 분해.
15. ★ 직선의 방정식과 평면의 방정식 — 19번 서술형 대비. 방향벡터와 법선벡터 구분.
16. 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 — 20번 서술형 대비. AC = k·AB.
17. ★ 평면에 대한 대칭점과 최단 거리 — 21번 서술형 대비. 대칭 후 직선으로 연결.
18. ★ 직선과 구의 교점 — 17번 대비. 매개변수 대입 또는 중심-직선 거리 비교.

자주 나오는 질문

무원고 2학년 1학기 기말 기하는 몇 문항인가요?

2026학년 기준 21문항입니다. 1~18번이 선택형, 19·20·21번이 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 벡터의 성분과 내적이 8문항으로 가장 많습니다. 04 공간좌표 7문항, 05 벡터의 연산 3문항, 07 도형의 방정식 3문항입니다. 벡터 계열만 합치면 11문항(52%)입니다.

공간도형(삼수선 정리·정사영)도 나오나요?

분석표상 공간도형 단독 문항은 없습니다. 실제 배치는 공간좌표에서 시작해 벡터, 공간에서의 도형의 방정식으로 이어집니다. 다만 1번에 좌표평면 위로의 정사영이 유형으로 포함돼 있습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번 하나입니다. 직선과 구의 교점을 묻는 문항으로, 점과 직선 사이의 거리, 벡터를 이용한 구의 방정식이 함께 얽혀 있습니다.

서술형은 어렵나요?

세 문항 모두 중 난이도입니다. 19번은 직선과 평면의 방정식, 20번은 세 점이 한 직선 위에 있을 조건, 21번은 평면에 대한 대칭점을 이용한 최단 거리입니다. 선택형 후반보다 오히려 쉬우니 반드시 끝까지 도달하세요.

어떤 개념부터 공부해야 하나요?

벡터의 내적부터입니다. 3·6·8·10·11번 다섯 문항이 내적 하나로 묶여 있고, 상 난이도 17번에서도 쓰입니다. 그다음이 위치벡터와 내분점(9·13·14·21번)입니다.

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