반포고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 최신)

반포고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 (1) 입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 12번부터 22번까지 열한 문항이 답을 직접 쓰는 형태라는 점, 그리고 상 난이도가 다섯 문항으로 많다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~11번 선택형, 12~22번은 답을 직접 쓰는 형태(11문항)
• 난이도: 하 2 / 중 8 / 중상 7 / 상 5
• 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 9 / 01 함수의 극한 7 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 02 함수의 연속 2
• 최다 반복 유형: 미정계수의 결정 · 다항함수의 결정 · 함수의 극한에 대한 성질 · 함수가 연속일 조건 각 3회
• 가장 까다로운 구간: 10·11번(선택형 마지막 두 문항), 14·15·17번(서술 구간)

반포고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

반포고등학교는 서울 서초구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다.

이 시험의 성격을 결정하는 건 답안 형태입니다. 1~11번은 선택형인데, 12번부터 22번까지 열한 문항은 값이나 식을 직접 써야 합니다. 전체의 절반입니다. 찍어서 맞힐 여지가 없고, 풀이 과정을 요구하는 문항도 섞여 있습니다.

특히 눈여겨볼 문항이 셋 있습니다.

• 12번 — (가)(나)(다) 빈칸을 채우는 형태입니다. 평균변화율과 미분계수의 관계를 서술한 문장을 완성해야 합니다.
• 19번 — 곱의 미분법 {f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)를 도함수의 정의로 증명하는 문항입니다. 난이도는 하로 분류돼 있지만, 증명을 외워두지 않았다면 손도 못 댑니다.
• 21번 — 평균값 정리와 사잇값 정리를 이어 붙여 도함수의 값이 존재함을 보이는 서술 문항입니다.

정리하면 이 시험은 "계산이 되는가"보다 "정의와 정리를 문장으로 쓸 수 있는가"를 봅니다. 교과서 증명과 정리 진술을 그대로 읽어두는 것이 대비의 절반입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항

상 난이도가 다섯 문항(23%) 입니다. 문항 넷 중 하나가 최고 난도라는 뜻입니다. 여기에 중상 7문항을 더하면 중상 이상이 12문항으로 절반을 넘습니다.

배치도 눈여겨볼 만합니다. 10번과 11번이 선택형의 마지막 두 문항인데 둘 다 상입니다. 선택형을 순서대로 풀다 보면 마지막에 두 번 연속으로 막히는 구조입니다. 그리고 14·15·17번이 서술 구간의 고비입니다.

반대로 1번과 19번이 하 난이도입니다. 1번은 곱의 미분법을 적용하는 계산이고, 19번은 그 곱의 미분법을 증명하는 문항입니다. 같은 공식을 시험 앞과 뒤에서 각각 "쓰는 문제"와 "증명하는 문제"로 낸 셈입니다.

출제 단원 — 미분법 13문항, 극한과 연속 9문항

대단원으로 묶으면 II 다항함수의 미분법 13문항(59%), I 함수의 극한과 연속 9문항(41%) 입니다.

03 미분계수와 도함수가 9문항으로 가장 큰 축입니다. 그런데 이 단원 안에서 난이도가 극단적으로 갈립니다. 1번(하)과 19번(하)이 있는 반면 11번과 15번은 상입니다. 같은 단원인데도 공식 적용은 쉽고, 미분가능성 판정은 어렵습니다.

02 함수의 연속은 13·14번 두 문항뿐인데, 둘 다 서술 구간에 있고 14번은 상입니다. 문항 수는 적어도 버릴 수 없는 단원입니다. 게다가 연속 개념은 4·11·18번의 보조 유형으로도 계속 등장합니다.

04 도함수의 활용 (1)은 4문항으로, 접선의 방정식 2문항(8·18번)과 평균값 정리 2문항(21·22번)입니다. 범위가 도함수의 활용 앞부분까지라 극대·극소나 그래프 개형은 나오지 않았습니다.

시그니처 유형 — "결정" 문제와 "연속일 조건"

이 시험에서 3회씩 반복된 유형이 네 개 있습니다.

• 미정계수의 결정 — 6·7·10번
• 다항함수의 결정 — 3·5·10번
• 함수의 극한에 대한 성질 — 3·4·20번
• 함수가 연속일 조건 — 11·13·18번

앞의 둘이 특히 중요합니다. "극한값 조건 몇 개를 주고 함수 f(x)를 찾아내라" 는 유형이 3·5·10번에 걸쳐 있고, 10번(상)에서 두 유형이 겹칩니다. 분자와 분모의 차수를 비교해 다항함수의 꼴을 먼저 잡고, 극한값 조건으로 계수를 정하는 절차를 반복 연습해야 합니다.

함수가 연속일 조건은 11·13·18번에 걸쳐 있는데, 재미있는 건 세 문항의 배치 단원이 전부 다르다는 점입니다. 11번은 미분계수와 도함수, 13번은 함수의 연속, 18번은 도함수의 활용입니다. 연속 조건이 단원을 가리지 않고 계속 튀어나온다는 뜻입니다.

2회씩 겹치는 유형도 정리해 둡니다.

• 곱의 미분법 — 9·19번 / 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 — 1·19번
• 미분법의 공식 — 5·18번
• 미분가능성과 연속성 — 4·15번
• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 9·15번
• 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 7·16번
• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 6·7번
• 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 — 21·22번
• 접선의 기울기 — 1·8번 / 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점 — 8·17번
• 함수의 그래프와 연속 — 11·14번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 기본 (2·3·5·20번) — 4문항

2번 중 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우·합성함수의 극한·극한값 구하기 — 그래프에서 좌극한과 우극한을 읽고, 합성함수 f(g(x))의 극한까지 이어 묻는 형태입니다. 안쪽 함수의 극한이 어느 쪽에서 접근하는지를 따져야 해서 실수가 잦습니다.

3번 중, 5번 중 다항함수의 결정 — 극한 조건으로 함수를 찾습니다. 3번은 극한에 대한 성질과, 5번은 미분법의 공식과 함께 묶여 있습니다.

20번 중 ∞/∞ 꼴의 극한·극한에 대한 성질 — 분자와 분모의 최고차항으로 판단하는 기본형인데, 답을 문자식으로 써야 하는 서술 문항입니다.

2. 극한에 대한 성질과 그 함정 (4번) — 중상

4번 중상 함수의 극한에 대한 성질·함수의 연속·미분가능성과 연속성. "옳은 것을 모두 고르는" 형태로 출제됐습니다. 극한의 성질은 각 극한이 존재할 때만 합·곱으로 쪼갤 수 있다는 전제가 붙는데, 이 전제를 빼면 성립하지 않는 반례가 답을 가릅니다. 연속과 미분가능의 포함 관계까지 묶여 있어 개념 정리가 안 되어 있으면 통째로 틀립니다.

3. 미분계수의 정의를 이용한 극한 계산 (6·7·16번) — 3문항

6번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산·미정계수의 결정 — lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a) 꼴을 f'(a)로 바꿔 읽는 문항입니다. 분모가 x-a가 아닌 형태로 위장돼 있으면 강제로 맞춰 주는 변형이 핵심입니다.

7번 중상, 16번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — f(x+y)=f(x)+f(y)+... 같은 항등식을 주고 도함수를 찾는 유형입니다. x=y=0을 대입해 f(0)을 먼저 구하고, 도함수의 정의에 항등식을 넣는 순서가 정석입니다. 7번은 선택형, 16번은 서술형으로 같은 유형을 두 번 냈습니다.

4. 미분가능성 판정 (9·15번) — 2문항, 15번은 상

9번 중상, 15번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성. 경계점에서 함숫값이 같고(연속), 좌미분계수와 우미분계수도 같아야 한다는 두 조건을 쓰는 유형입니다.

15번은 (1)과 (2)로 나뉘어 각각 여러 개의 값을 답으로 요구합니다. 미분가능하지 않은 점을 빠짐없이 찾아내야 하는데, 경계점 말고도 절댓값이나 근호가 얽힌 지점이 함께 나옵니다. 이 시험에서 가장 답이 많은 문항입니다.

5. 함수의 연속 (13·14번) — 2문항, 14번은 상

13번 중상 함수가 연속일 조건·연속함수의 성질 — 미지수 a의 값을 여러 개 구하는 형태입니다. 답이 하나가 아니라는 점에서, 조건식을 세운 뒤 모든 경우를 나열해야 합니다.

14번 상 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속·최대·최소 정리·그래프와 연속 — 불연속인 함수 f(x)에 (x-a)를 곱했더니 연속이 되는 상황을 다룹니다. (x-a)가 0이 되는 지점에서 f(x)의 발산을 상쇄한다는 구조를 이해해야 합니다. 여기에 최대·최소 정리까지 결합돼 상 난이도가 됐습니다.

6. 접선의 방정식 (8·18번) — 2문항

8번 중상 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우·접선과 수직인 직선·접선의 기울기 — 접점을 (t, f(t))로 놓고 곡선 밖의 점을 지난다는 조건으로 t를 구하는 표준 절차입니다.

18번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우·함수가 연속일 조건·미분법의 공식 — 접점이 주어져 상대적으로 단순하지만, 연속 조건이 함께 걸려 있습니다.

7. 상 난이도 선택형 (10·11번)

10번 상 함수의 극한값의 존재 + 다항함수의 결정 + 미정계수의 결정 — 세 유형이 한 문항에 겹칩니다. 극한값이 존재하기 위한 조건에서 함수의 꼴을 좁히고, 남은 조건으로 계수를 정하는 흐름입니다.

11번 상 평균변화율 + 함수가 연속일 조건 + 함수의 그래프와 연속 — 평균변화율을 묻는데 연속 조건이 얽혀 있습니다. 그래프에서 정보를 읽어 평균변화율을 계산하는 형태로 보입니다.

8. 평균값 정리 서술 문항 (12·21·22번) — 3문항

12번 중 평균변화율과 미분계수·평균변화율의 기하적 의미 — (가)(나)(다) 빈칸 채우기입니다. a(x-α)(x-β) 꼴의 식, 두 근의 중점 (α+β)/2, 평균변화율 (f(β)-f(α))/(β-α) 를 각각 써 넣는 구조입니다. 롤의 정리와 평균값 정리의 기하적 의미를 문장으로 정리해 두면 그대로 풀립니다.

21번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 + 사잇값 정리 — 평균값 정리로 두 구간에서 도함수의 값을 각각 얻은 뒤, 사잇값 정리로 그 사이의 값을 갖는 점이 존재함을 보이는 논증형입니다. 답이 아니라 과정을 씁니다.

22번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 + 함수의 증가와 감소 — 조건을 만족하는 함수를 직접 찾아 쓰는 형태입니다.

9. 극한의 도형 활용 (17번) — 상

17번 상 함수의 극한의 활용; 원과 접선 + 곡선 밖의 한 점에서의 접선 + ∞-∞ 꼴의 극한. 원과 접선으로 만든 도형의 길이나 넓이를 변수로 나타낸 뒤 극한을 취하는 유형입니다. 도형 해석과 극한 계산을 모두 요구해서, 이 시험에서 가장 손이 많이 갑니다.

반포고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한과 합성함수의 극한 — 2번 대비. 그래프에서 접근 방향 확인.
2. ★ 극한에 대한 성질의 전제 조건 — 4·20번 대비. 각 극한이 존재할 때만 분리 가능.
3. ★ 다항함수의 결정과 미정계수 — 3·5·10번 대비. 차수 비교 후 계수 확정.
4. ∞/∞, ∞-∞ 꼴의 극한 — 20·17번 대비.
5. 함수가 연속일 조건 — 11·13·18번 대비. 단원을 가리지 않고 반복 등장.
6. ★ (x-a)f(x) 꼴의 연속 — 14번 대비. 상 난이도.
7. 최대·최소 정리와 사잇값 정리 진술 — 14·21번 대비. 문장 그대로 외울 것.
8. 미분계수의 정의와 극한 계산 — 6번 대비. 분모를 x-a 꼴로 맞추는 변형.
9. ★ 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 7·16번 대비. 같은 유형이 선택형·서술형 양쪽에 출제됨.
10. ★ 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 9·15번 대비. 연속 + 좌우 미분계수 일치.
11. ★ 곱의 미분법 증명 — 19번 대비. 도함수의 정의로 유도하는 과정을 통째로 쓸 수 있어야 함.
12. 접선의 방정식 두 유형 — 8·18번 대비. 접점이 주어진 경우와 곡선 밖의 점이 주어진 경우.
13. ★ 평균변화율의 기하적 의미와 평균값 정리 — 12·21·22번 대비. 서술 3문항의 공통 축.
14. 원과 접선의 극한 활용 — 17번 대비. 도형을 변수로 표현한 뒤 극한.

자주 나오는 질문

반포고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~11번이 선택형이고, 12~22번 열한 문항은 값이나 식을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 미분계수와 도함수가 9문항으로 가장 많고, 함수의 극한 7문항, 도함수의 활용 (1) 4문항, 함수의 연속 2문항 순입니다. 대단원으로는 다항함수의 미분법 13문항, 함수의 극한과 연속 9문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 10·11·14·15·17번 다섯 문항입니다. 10·11번은 선택형의 마지막 두 문항이고, 14·15·17번은 서술 구간에 있습니다. 특히 15번은 미분가능하지 않은 점을 빠짐없이 찾아야 해서 부분 실점이 나오기 쉽습니다.

증명 문제가 나오나요?

19번이 곱의 미분법을 도함수의 정의로 증명하는 문항입니다. 난이도는 하로 분류돼 있지만, 증명 과정을 외워두지 않으면 백지가 됩니다. 21번도 평균값 정리와 사잇값 정리를 이어 논증하는 서술 문항입니다. 교과서 증명은 반드시 정리해 두세요.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

미분계수와 도함수부터입니다. 9문항으로 가장 많고, 미분가능성 판정(9·15번)과 항등식 도함수(7·16번)가 각각 두 번씩 나왔습니다. 그다음이 함수가 연속일 조건입니다. 세 문항에 직접 나오고 다른 문항의 보조 조건으로도 계속 등장합니다.

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