능동중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

능동중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 다항식의 인수분해부터 이차함수의 그래프까지입니다. 이 시험의 성격은 난이도 분포에서 바로 드러납니다. 하 8문항 · 중 12문항으로 스무 문항이 중 이하이고, 중상은 4문항, 상은 한 문항도 없습니다.

핵심 요약

• 24문항 — 인수분해 7문항, 이차방정식 11문항, 이차함수 6문항
• 난이도: 하 8 / 중 12 / 중상 4 / 상 0
• 이차함수는 y=ax²와 y=ax²+q까지 — y=a(x-p)²+q나 y=ax²+bx+c는 출제되지 않음
• 중상 4문항은 7·11·21·23번, 그중 둘(21·23번)이 뒤쪽에 배치
• 완전제곱식이 될 조건이 3회(5·7·11번) 로 이 시험의 시그니처

능동중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

능동중학교는 경기 화성시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 24문항입니다.

배치는 대체로 교과서 순서를 따릅니다. 1~7번 인수분해, 8~16번 이차방정식, 17~20번 이차함수까지는 순서대로입니다. 그런데 마지막 네 문항이 번갈아 배치됩니다. 21번 이차방정식 활용, 22번 이차함수, 23번 이차방정식 풀이, 24번 이차함수입니다.

중상 네 문항 중 둘(21·23번)이 이 마지막 구간에 들어 있습니다. 뒤에서 단원이 왔다 갔다 하는 데다 난도까지 올라가니, 앞의 스무 문항을 얼마나 빨리 정리하느냐가 곧 뒤 네 문항의 시간입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 8문항, 상 0문항

하 난이도가 여덟 문항, 전체의 3분의 1입니다. 이 정도 비중이면 기본기만 정확하면 상당한 점수가 확보되는 시험입니다. 다만 뒤집어 말하면 하 여덟 문항에서 하나라도 흘리면 회복할 킬러 보너스가 없다는 뜻이기도 합니다.

중 12문항이 절반입니다. 결국 이 시험은 하 8 + 중 12 = 스무 문항을 얼마나 깨끗하게 처리하느냐의 싸움입니다.

중상 네 문항(7·11·21·23번) 은 인수분해 끝(7번), 이차방정식 중반(11번), 그리고 뒤쪽(21·23번)에 흩어져 있습니다.

출제 단원 — 인수분해와 이차함수가 각 6문항

대단원으로 묶으면 인수분해 7문항(29%), 이차방정식 11문항(46%), 이차함수 6문항(25%) 입니다. 이차방정식이 절반에 가깝습니다.

여기서 결정적인 사실 하나가 있습니다. 이차함수의 그래프 (2) 단원 문항이 0개입니다. 이 단원은 y=ax²+bx+c를 표준형으로 고치는 곳입니다. 능동중 기말 이차함수 파트는 y=ax²와 y=ax²+q까지만 다뤘습니다. y=a(x-p)²+q도 나오지 않았습니다.

시그니처 유형 — "완전제곱식이 될 조건" 3회

이 시험을 관통하는 개념은 완전제곱식입니다. 완전제곱식이 될 조건이 5·7·11번 세 문항에서 쓰였습니다.

여기가 중요한 지점입니다. 5번과 7번은 인수분해 문항, 11번은 이차방정식 문항입니다. 단원이 다른데 요구하는 식은 하나입니다. x²+ax+b가 완전제곱식이 되려면 b=(a/2)². 이 한 줄이 세 문항을 동시에 엽니다. 그리고 7번과 11번이 이 시험의 중상 네 문항 중 둘입니다.

제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이도 3회(13·14·23번) 등장합니다. (x+p)²=q 꼴에서 제곱근을 취하는 유형입니다. 13번은 하, 14번은 중, 23번은 중상으로 같은 유형이 난이도를 올려 가며 세 번 반복됩니다.

두 번씩 쓰인 유형입니다.

• 인수 — 1·3번
• 인수분해 공식 (종합) — 3·6번
• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 10·15번
• 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질 — 19·20번
• 이차함수 y=ax²+q의 그래프 — 22·24번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 다항식의 인수분해 (1·2·3·5·6·7번) — 6문항

1번 하 공통인수를 이용한 인수분해 · 인수, 2번 하 인수가 주어진 이차식의 미지수 구하기 · 곱셈 공식(일차항 계수가 1인 두 일차식의 곱), 3번 중 인수분해 공식(종합) · 인수, 5번 중 완전제곱식이 될 조건 · 곱셈 공식(일차항 계수가 1이 아닌 두 일차식의 곱), 6번 중 인수분해 공식(종합) · 인수분해 공식, 7번 중상 완전제곱식이 될 조건 · 인수분해 공식(응용).

1번과 2번이 확보 구간입니다. 1번은 공통인수를 묶어내는 것, 2번은 인수가 주어졌을 때 그 값을 대입해 미지수를 찾는 것입니다. 인수 (x-2)가 주어지면 x=2를 대입했을 때 0이라는 사실 하나면 끝납니다.

3번과 6번의 "인수분해 공식 (종합)" 은 여러 공식 중 어느 것을 쓸지 고르는 유형입니다. 항의 개수와 부호를 보고 a²-b², a²±2ab+b², x²+(a+b)x+ab, acx²+(ad+bc)x+bd 중 맞는 것을 선택합니다.

5번과 7번이 완전제곱식 조건입니다. 7번이 중상인 이유는 응용 형태가 얹혔기 때문입니다. b=(a/2)² 을 세우고 나서 조건을 만족하는 값을 여러 개 찾거나 범위를 따지는 구조입니다.

2. 인수분해 공식의 활용 (4번) — 1문항

4번 하 인수분해 공식을 이용한 수의 계산.

한 문항뿐이고 하 난이도입니다. 99²-1 같은 숫자를 (99+1)(99-1) 로 바꿔 계산하는 유형입니다. a²-b²=(a+b)(a-b) 하나면 됩니다.

3. 이차방정식의 풀이 (1) (8·9·10·11·12번) — 5문항

8번 중 이차방정식의 해, 9번 중 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 · 다른 한 근 구하기, 10번 하 인수분해를 이용한 풀이 · 공통인수로 묶어 인수분해하기, 11번 중상 이차방정식이 중근을 가질 조건 · 완전제곱식이 될 조건, 12번 중 이차방정식의 중근 · 여러 가지 이차방정식의 풀이.

10번이 하 난이도입니다. 공통인수로 묶어 인수분해한 뒤 각 인수를 0으로 놓는 표준 절차입니다. 확보 구간입니다.

9번은 근을 대입해 미지수를 구하고, 완성된 식에서 나머지 근까지 가는 두 단계입니다. 첫 단계에서 멈추면 절반만 맞습니다.

11번이 이 파트의 최고 난도입니다. 중근 조건과 완전제곱식 조건이 결합됐습니다. 앞서 본 것처럼 b=(a/2)² 이 두 개념의 공통 뿌리이므로, 5·7번을 제대로 잡았다면 11번도 같이 열립니다.

4. 이차방정식의 풀이 (2)와 활용 (13·14·15·16·21·23번) — 6문항

13번 하 제곱근을 이용한 풀이, 14번 중 제곱근을 이용한 풀이 · 완전제곱식을 이용한 풀이, 15번 중 활용; 쏘아 올린 물체 · 인수분해를 이용한 풀이, 16번 중 근의 공식, 21번 중상 이차방정식의 근이 정수가 될 조건 · 두 근이 주어진 이차방정식 구하기, 23번 중상 제곱근을 이용한 풀이 · 완전제곱식의 꼴로 고치기.

13번 → 14번 → 23번의 난도 상승을 눈여겨보세요. 셋 다 제곱근을 이용한 풀이인데 13번은 하, 14번은 중, 23번은 중상입니다. 13번은 이미 (x+p)²=q 꼴로 주어진 형태, 14번은 완전제곱식으로 고쳐야 하는 형태, 23번은 고치는 과정이 더 복잡한 형태로 보는 게 자연스럽습니다. 완전제곱식으로 고치는 연습이 세 문항을 좌우합니다.

15번의 "쏘아 올린 물체" 는 높이 식이 주어지고 특정 높이가 되는 시각을 묻는 유형입니다. 근이 두 개 나오는 것이 정상이고(올라갈 때와 내려올 때), 문제가 무엇을 물었는지 확인해야 합니다.

21번의 "근이 정수가 될 조건" 은 (x+p)²=q에서 q가 제곱수여야 한다는 조건으로 경우를 세는 유형입니다. 여기에 두 근으로 방정식을 만드는 역방향 작업까지 붙어 중상이 됐습니다.

5. 이차함수의 그래프 (17·18·19·20·22·24번) — 6문항

17번 하 이차함수의 함숫값, 18번 중 이차함수가 되도록 하는 조건 · 이차함수, 19번 하 y=ax²의 그래프의 성질 · 그래프의 모양, 20번 중 y=ax²의 그래프의 성질, 22번 중 y=ax²+q의 그래프 · y=ax²의 그래프가 지나는 점, 24번 하 y=ax²+q의 그래프.

여섯 문항 중 셋(17·19·24번)이 하 난이도이고, 중상 이상은 하나도 없습니다. 이 시험에서 가장 안전한 구간입니다.

y=ax²의 성질은 네 줄이면 끝납니다.

• a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록
• |a|가 클수록 폭이 좁다
• 꼭짓점은 원점, 축은 y축(x=0)
• y=ax²와 y=-ax²는 x축에 대칭

y=ax²+q는 여기에 한 줄만 더합니다. y축 방향으로 q만큼 평행이동, 꼭짓점은 (0, q). 22번과 24번이 이 한 줄로 풀립니다.

18번의 "이차함수가 되도록 하는 조건" 은 정리했을 때 x²의 계수가 0이 아니어야 한다는 것입니다.

능동중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 공통인수로 묶기와 인수의 뜻 — 1번 확보 구간.
2. 인수가 주어졌을 때 대입해 미지수 찾기 — 2번 확보 구간.
3. 인수분해 공식 네 가지 골라 쓰기 — 3·6번 대비.
4. ★ 완전제곱식이 될 조건 b=(a/2)² — 5·7·11번 세 문항을 관통하는 최중요 개념.
5. a²-b²로 수 계산하기 — 4번 확보 구간.
6. 인수분해로 이차방정식 풀기 — 10번 확보 구간, 15번의 마무리 도구.
7. 한 근 대입 → 미지수 → 나머지 근 — 9번 대비. 두 단계 다 가기.
8. 이차방정식의 중근 — 12번 대비.
9. ★ 완전제곱식으로 고쳐 제곱근으로 풀기 — 13·14·23번 대비. 난도가 올라가며 세 번 반복.
10. 근의 공식 — 16번 대비.
11. 활용 — 쏘아 올린 물체 — 15번 대비. 답이 둘일 수 있음.
12. 근이 정수가 될 조건과 두 근으로 방정식 세우기 — 21번 대비.
13. 이차함수의 함숫값 — 17번 확보 구간.
14. 이차함수가 되도록 하는 조건 — 18번 대비.
15. ★ y=ax²의 그래프의 성질 네 줄 — 19·20번 확보 구간.
16. y=ax²+q의 평행이동과 꼭짓점 (0, q) — 22·24번 대비.

자주 나오는 질문

능동중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~7번 인수분해, 8~16번 이차방정식, 17~20번 이차함수 순이고, 마지막 21~24번은 이차방정식과 이차함수가 번갈아 배치됐습니다.

이차함수는 어디까지 나왔나요?

y=ax²와 y=ax²+q까지입니다. y=a(x-p)²+q나 y=ax²+bx+c의 표준형 변형은 출제되지 않았습니다. 이차함수 여섯 문항 중 셋이 하 난이도로, 이 시험에서 가장 안전한 구간입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 4문항(7·11·21·23번)입니다. 그중 21·23번이 뒤쪽에 배치돼 있어 시간이 부족하면 손해가 큽니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 다항식의 인수분해 6문항과 이차함수의 그래프 (1) 6문항이 공동 최다입니다. 대단원으로는 이차방정식이 11문항(46%) 으로 가장 큽니다.

무엇을 우선 공부해야 하나요?

완전제곱식이 될 조건(b=(a/2)²) 입니다. 5·7·11번 세 문항이 이 하나에 걸려 있고, 중상 두 문항이 여기 포함됩니다. 그다음이 완전제곱식으로 고쳐 제곱근으로 푸는 절차(13·14·23번) 입니다.

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