서연중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

서연중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 19문항입니다. 출제 범위는 이차방정식의 풀이와 이차함수의 그래프입니다. 이 시험을 한 문장으로 요약하면 "인수분해로 이차방정식을 푸는 능력을 여섯 번 물었다" 입니다. 19문항 중 여섯 문항이 이 유형에 걸려 있습니다.

핵심 요약

• 19문항 — 1~16번 선택형, 17~19번은 답과 풀이를 직접 쓰는 서술형
• 난이도: 하 4 / 중 9 / 중상 6 / 상 0
• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 6회(4·5·6·7·17·18번) — 이 시험의 시그니처
• 5·6·7번 세 문항 연속으로 도형 활용 — 셋 다 중 이상
• 이차함수는 그래프 (1) 5문항 + 그래프 (2) 5문항으로 균등

서연중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

서연중학교는 경기 화성시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 19문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17·18·19번은 답과 풀이를 직접 쓰는 형태입니다.

배치는 1~7번 이차방정식, 8~16번 이차함수입니다. 그리고 서술형 세 문항이 17번 이차방정식 활용, 18번 이차방정식 풀이, 19번 이차함수 식 구하기로 다시 두 단원을 오갑니다.

문항 수가 19개로 적은 편이라 한 문항의 비중이 큽니다. 한 문항을 틀리면 5%가 넘게 깎입니다. 특히 서술형 세 문항은 배점이 선택형보다 클 가능성이 높아 부분점수 관리가 중요합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 6문항

상 난이도가 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 여섯 문항입니다.

중상의 위치가 특이합니다. 4·6·7번이 이차방정식 파트에 셋, 14·16번이 이차함수 파트에 둘, 그리고 19번 서술형입니다. 이차방정식 파트 7문항 중 세 문항이 중상이라 앞부분 체감 난도가 높습니다.

하 난이도 네 문항(1·3·8·10번) 은 각 파트의 앞머리입니다. 1번 이차방정식의 정의, 3번 근의 공식, 8번 이차함수의 정의, 10번 함숫값입니다. 네 문항 전부 개념 확인 수준입니다.

출제 단원 — 이차함수가 10문항으로 절반 이상

이차함수가 10문항(53%), 이차방정식이 9문항(47%)으로 거의 반반입니다. 이차함수 안에서도 그래프 (1)과 (2)가 5문항씩 균등합니다. 즉 기본형·평행이동(11단원)과 y=ax²+bx+c(12단원)를 똑같이 중요하게 봐야 합니다.

이차방정식 쪽에서는 활용이 4문항으로 가장 많습니다. 풀이 (1) 3문항, 풀이 (2) 2문항보다 많습니다. 계산 연습보다 활용 유형 훈련에 시간을 더 써야 하는 구조입니다.

시그니처 유형 — "인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이" 6회

이 시험에서 압도적으로 많이 쓰인 유형입니다. 4·5·6·7·17·18번 여섯 문항에서 등장합니다. 19문항 중 3분의 1에 가깝습니다.

주목할 점은 여섯 문항 중 넷(5·6·7·17번)이 활용 문항이라는 것입니다. 즉 활용 문제를 세운 뒤 마무리는 결국 인수분해입니다. 근의 공식을 쓰는 문항은 3번 하나뿐입니다. 서연중 기말은 근의 공식보다 인수분해를 압도적으로 많이 요구했습니다.

이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형이 3회(5·6·7번) 로 연속 배치된 것도 특징입니다. 그중 5·6번은 "실생활" 유형이 같이 붙어 있어, 실생활 상황을 도형으로 옮기는 문항으로 보입니다.

이차함수 쪽 반복 유형입니다.

• y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 — 14·15·19번
• y=a(x-p)²+q의 그래프 · 그래프의 평행이동 — 11·12번 (두 유형이 두 문항에 나란히)
• 이차함수의 식 구하기; x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때 — 13·19번

13번과 19번이 같은 유형이라는 게 중요합니다. 선택형 13번에서 연습한 것을 서술형 19번에서 다시 씁니다. 13번을 확실히 이해하면 19번의 출발점이 확보됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1·2·3·4번) — 4문항

1번 하 이차방정식(정의), 2번 중 이차방정식이 중근을 가질 조건 · 이차방정식의 중근, 3번 하 근의 공식, 4번 중상 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 · 활용; 연속하는 수 · 인수분해를 이용한 풀이.

1번과 3번이 확보 구간입니다. 정의 판별과 근의 공식 직접 적용입니다.

2번의 중근 조건은 x²+ax+b가 중근을 가지려면 b=(a/2)² 라는 식 하나입니다.

4번이 앞부분의 고비입니다. 유형 이름이 셋이나 붙어 있습니다. 두 근으로 이차방정식을 만들고, 그 근이 연속하는 수라는 조건까지 걸린 복합형입니다. 두 근이 α, β면 방정식은 a(x-α)(x-β)=0 이라는 역방향 사고에서 출발해야 합니다.

2. 이차방정식의 활용 (5·6·7번) — 3문항 연속

5번 중 활용; 실생활 · 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이, 6번 중상 활용; 실생활 · 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이, 7번 중상 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이.

세 문항이 사실상 같은 유형입니다. 도형의 변의 길이나 넓이를 미지수로 두고 조건을 이차방정식으로 옮긴 뒤, 인수분해로 푸는 구조입니다.

공통 절차는 네 단계입니다.

1. 구하려는 값을 x로 둔다 (보통 변의 길이)
2. 조건(넓이·둘레·비율)을 x에 대한 식으로 쓴다
3. 정리해서 좌변=0 꼴로 만들고 인수분해한다
4. 길이는 양수라는 조건으로 근 하나를 버린다

4단계를 빠뜨리는 실수가 이 세 문항에서 가장 많이 나옵니다. 근 두 개를 다 쓰면 감점입니다.

5·6번의 "실생활" 유형은 화단에 길을 내거나 종이를 잘라 상자를 만드는 식의 상황이 도형 조건으로 이어지는 문항입니다. 상황 설명이 길어도 결국 그림 하나로 정리됩니다. 읽으면서 그림을 그리는 습관이 시간을 아낍니다.

3. 이차함수의 그래프 (1) (8·9·10·11·12번) — 5문항

8번 하 이차함수 · 되도록 하는 조건, 9번 중 y=ax²의 그래프의 성질 · 그래프의 모양, 10번 하 이차함수의 함숫값, 11번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프의 평행이동 · 그 그래프, 12번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프 · 평행이동.

8번과 10번이 확보 구간입니다. 정의 판별과 함숫값 대입입니다.

11번과 12번이 완전히 같은 두 유형의 조합입니다. y=a(x-p)²+q의 그래프와 평행이동을 서로 순서만 바꿔 물었습니다. 한 문항을 이해하면 다른 문항도 자동으로 풀립니다.

평행이동의 규칙은 두 줄입니다.

• x축 방향으로 m만큼 이동하면 x 대신 (x-m)
• y축 방향으로 n만큼 이동하면 y 대신 (y-n), 즉 우변에 +n

꼭짓점은 (p, q), 축은 x=p 라는 것만 정확하면 두 문항이 같이 열립니다.

4. 이차함수의 그래프 (2) (13·14·15·16·19번) — 5문항

13번 중 이차함수의 식 구하기; x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때 · 그래프가 축과 만나는 점, 14번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프의 평행이동 · 표준형 변형, 15번 중 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 · 표준형 변형, 16번 중상 a, b, c의 부호 · y=a(x-p)²+q에서 a, p, q의 부호, 19번 중상 식 구하기; x축과의 두 교점 · 좌표평면 위의 도형의 넓이 · 표준형 변형 (서술형).

13번의 "x축과의 두 교점" 유형이 이 파트의 핵심입니다. x절편이 α, β일 때 y=a(x-α)(x-β) 로 놓고, 나머지 한 점을 대입해 a를 구합니다. 이 형태를 알면 두 줄로 끝나고, 모르면 연립방정식을 세우다 시간을 다 씁니다.

14·15·19번이 표준형 변형을 요구합니다. y=ax²+bx+c에서 a로 묶고 (b/2a)²를 더하고 빼는 절차입니다. 15번은 이 변형 자체를 묻고, 14번은 변형 후 평행이동까지, 19번은 변형 후 도형의 넓이까지 갑니다.

16번의 부호 판정은 두 형태를 동시에 물었습니다. y=ax²+bx+c에서는 a(볼록 방향)·c(y절편)·b(축의 방정식 x=-b/2a에서 역산), y=a(x-p)²+q에서는 a(볼록)·p(축의 좌우)·q(꼭짓점 상하) 입니다. 두 형태의 대응을 정리해 두어야 합니다.

서술형 3문항 — 두 단원을 다시 오간다

17번 중 (이차방정식의 활용; 수) — 두 자리 자연수를 다루는 유형입니다. 십의 자리와 일의 자리를 미지수로 두고 조건을 식으로 옮긴 뒤 인수분해로 풉니다. 정답 기록을 보면 (1)에서 식을 세우고 (2)에서 각 자리 숫자를 답하는 두 단계 구성입니다. 식을 세우는 (1)에 배점이 걸려 있으니 반드시 적어야 합니다.

18번 중 (여러 가지 이차방정식의 풀이) — (1)에서 정리된 이차방정식을 만들고 (2)에서 해를 구하는 구성입니다. 계수가 분수나 소수로 주어진 식을 정수 계수로 고치는 과정이 (1)에 해당합니다. 양변에 최소공배수를 곱할 때 상수항까지 빠짐없이 곱하는지가 실수 지점입니다.

19번 중상 (이차함수의 식 구하기 + 도형의 넓이) — 세 서술형 중 가장 어렵습니다. x축과의 두 교점과 한 점으로 이차함수의 식을 구하고, 그 그래프로 만들어지는 도형의 넓이까지 계산합니다. 정답 기록을 보면 (1)에서 점의 좌표를, (2)에서 넓이를 답하는 구성입니다. (1)을 틀리면 (2)도 연쇄로 틀리므로 (1) 검산이 필수입니다.

서연중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 정의와 근의 공식 — 1·3번 확보 구간.
2. 중근을 가질 조건 b=(a/2)² — 2번 대비.
3. 두 근으로 이차방정식 세우기 — 4번 대비. 역방향 사고.
4. ★ 인수분해로 이차방정식 풀기 — 4·5·6·7·17·18번, 여섯 문항을 관통하는 최중요 절차.
5. ★ 도형 활용 4단계(설정 → 식 → 인수분해 → 근 버리기) — 5·6·7번 대비. 세 문항 연속.
6. 실생활 상황을 그림으로 옮기기 — 5·6번 대비. 읽으며 그리기.
7. 이차함수의 정의와 함숫값 — 8·10번 확보 구간.
8. y=ax²의 그래프의 성질 — 9번 대비.
9. ★ y=a(x-p)²+q의 그래프와 평행이동 — 11·12번 두 문항을 한 번에.
10. ★ x축과의 두 교점으로 식 세우기 y=a(x-α)(x-β) — 13번과 서술형 19번을 연결.
11. ★ y=ax²+bx+c를 표준형으로 변형 — 14·15·19번의 공통 절차.
12. 그래프의 평행이동(12단원) — 14번 대비. 변형 먼저, 이동 나중.
13. a, b, c와 a, p, q의 부호 판정 — 16번 대비. 두 형태의 대응 정리.
14. 두 자리 수 활용 — 서술형 17번 대비. 식 세우기에 배점.
15. 분수·소수 계수 정리 — 서술형 18번 대비. 상수항까지 곱하기.
16. 좌표평면 위 도형의 넓이 — 서술형 19번 대비. (1) 검산 필수.

자주 나오는 질문

서연중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 1~16번은 선택형, 17·18·19번은 답과 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

이차함수의 그래프 (1)과 (2)가 각 5문항으로 공동 최다입니다. 이차방정식 쪽에서는 활용이 4문항으로 풀이보다 많습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 6문항(4·6·7·14·16·19번)입니다. 그중 6·7번이 도형 활용, 19번이 서술형입니다.

무엇을 우선 공부해야 하나요?

인수분해로 이차방정식 푸는 절차입니다. 4·5·6·7·17·18번 여섯 문항이 여기 걸려 있습니다. 근의 공식은 3번 한 문항뿐이라 우선순위가 낮습니다.

서술형은 어디서 나왔나요?

17·18·19번입니다. 17번은 두 자리 수 활용, 18번은 여러 가지 이차방정식의 풀이, 19번은 이차함수의 식 구하기와 도형의 넓이입니다. 세 문항 모두 (1)과 (2)로 나뉜 단계형이라 앞 단계에서 부분점수를 확보할 수 있습니다.

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