청계중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

청계중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 이차방정식의 풀이와 이차함수의 그래프입니다. 배치가 아주 정직합니다. 1~12번이 이차방정식, 13~24번이 이차함수로 정확히 반반입니다. 다만 9번 한 문항만 예외로, 앞 단원인 제곱근이 끼어 있습니다.

핵심 요약

• 24문항 — 1~12번 이차방정식, 13~24번 이차함수로 정확히 12문항씩
• 난이도: 하 4 / 중 12 / 중상 8 / 상 0
• 9번은 "무리수의 정수 부분과 소수 부분" — 범위 앞쪽인 제곱근 단원 문항
• 이차함수의 그래프 (1)이 8문항으로 최다, 그래프 (2)가 4문항
• 이차함수의 그래프의 활용이 4회(16·17·20·23번)

청계중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

청계중학교는 경기 화성시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 24문항입니다.

배치가 대칭적입니다. 앞 12문항이 이차방정식, 뒤 12문항이 이차함수입니다. 중간에 단원이 섞이지 않으니 12번을 넘기는 시점이 시험의 정확한 절반입니다. 시간 관리 기준을 잡기 쉬운 구조입니다.

한 가지 예외가 9번입니다. 배치 단원이 04 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈, 유형은 무리수의 정수 부분과 소수 부분입니다. 이차방정식 구간 한가운데에 1학기 앞 단원인 제곱근 문항이 하나 들어가 있습니다. 난이도는 중상입니다. 범위를 "이차방정식부터"로만 잡고 준비하면 이 문항에서 당황합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 8문항

상 난이도가 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 여덟 문항입니다.

하 난이도 네 문항의 위치가 대칭적입니다. 1·2번(이차방정식 시작), 13·15번(이차함수 시작)입니다. 각 파트의 앞머리에 두 문항씩 깔려 있습니다. 네 문항 다 개념 확인 수준이라 빠르게 넘겨야 합니다.

중상 여덟 문항은 앞뒤로 나뉩니다. 7·9·11·12번이 이차방정식 파트 후반, 20·22·23·24번이 이차함수 파트 후반입니다. 각 파트의 끝에 어려운 문항이 몰려 있는 형태입니다. 12번과 24번이 각 구간의 마지막 관문입니다.

출제 단원 — 이차함수의 그래프 (1)이 8문항으로 최다

이차함수의 그래프 (1)이 8문항으로 압도적입니다. 이 단원은 y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)², y=a(x-p)²+q 를 다루는 곳입니다. 기본형과 평행이동이 시험의 중심이라는 뜻입니다.

이차함수의 그래프 (2)는 4문항입니다. y=ax²+bx+c를 표준형으로 고치는 유형은 상대적으로 적게 나왔습니다.

이차방정식의 활용이 4문항(8·10·11·12번) 으로 풀이 (2)보다 많다는 점도 눈여겨보세요. 그중 11·12번이 중상입니다.

시그니처 유형 — 이차함수 기본형이 짝을 이루며 반복

이 시험에서 네 번 쓰인 유형은 하나입니다. 이차함수의 그래프의 활용 — 16·17·20·23번입니다.

세 번 쓰인 유형은 둘입니다.

• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 9·10·12번
• 이차함수 y=ax²+q의 그래프 — 15·16·19번

그리고 두 번씩 짝을 이룬 유형이 유난히 많습니다.

• 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 — 1·7번
• 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 — 2·11번
• 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 — 10·12번
• y=ax²의 그래프의 성질 · 그래프의 모양 — 13·14번 (두 유형이 두 문항에 나란히)
• y=ax²의 그래프가 지나는 점 — 17·23번
• y=a(x-p)²+q의 그래프 — 18·24번
• y=a(x-p)²의 그래프 — 19·21번
• y=ax²+bx+c의 그래프가 축과 만나는 점 — 20·22번

이 구조가 알려 주는 건 하나입니다. 거의 모든 개념이 최소 두 번씩 나왔습니다. 즉 한 개념을 확실히 잡으면 두 문항이 같이 열리고, 놓치면 두 문항을 같이 잃습니다.

특히 13번과 14번은 같은 두 유형(그래프의 성질 + 그래프의 모양)이 순서만 바뀐 형태입니다. 13번이 하, 14번이 중입니다. 13번을 이해하면 14번은 덤입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1·2·3·4·5·6·7번) — 7문항

1번 하 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기, 2번 하 제곱근을 이용한 풀이 · (x+p)²=q가 근을 가질 조건, 3번 중 한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값 구하기, 4번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이 · 근의 공식, 5번 중 중근을 가질 조건 · 이차방정식의 중근, 6번 중 완전제곱식을 이용한 풀이 · 완전제곱식의 꼴로 고치기, 7번 중상 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 · 다른 한 근 구하기.

1번과 2번이 확보 구간입니다. 1번은 근을 대입해 미지수를 구하는 것, 2번은 (x+p)²=q에서 제곱근을 취하는 것입니다. 2번에는 "근을 가질 조건"이 붙어 있으니 q≥0 인지도 확인하세요.

1번과 7번이 같은 유형입니다. 1번은 미지수만 구하면 끝나지만, 7번은 미지수를 구한 뒤 완성된 방정식에서 나머지 근까지 가야 합니다. 첫 단계에서 멈추는 것이 7번에서 가장 흔한 실수입니다.

3번의 "한 근이 문자로 주어졌을 때" 는 α가 근이면 aα²+bα+c=0이 성립한다는 사실을 이용합니다. α²을 α와 상수의 식으로 바꿔 차수를 낮추는 것이 요령입니다. 그대로 대입하면 계산이 길어집니다.

5번의 중근 조건은 b=(a/2)² 하나, 6번의 완전제곱식 변형은 x²+ax → (x+a/2)²-(a/2)² 하나입니다. 두 문항 다 표준 계산이라 확보 가능합니다.

2. 무리수의 정수 부분과 소수 부분 (9번) — 1문항

9번 중상 무리수의 정수 부분과 소수 부분 · 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이.

이 시험에서 가장 이질적인 문항입니다. 이차방정식 구간 한가운데에 제곱근 단원 문항이 하나 들어가 있습니다.

절차는 정해져 있습니다. √n 이 어느 두 정수 사이에 있는지 찾아 정수 부분 a를 구하고, 소수 부분은 √n - a 로 씁니다. 예를 들어 √7은 2와 3 사이이므로 정수 부분은 2, 소수 부분은 √7-2입니다. 여기에 이차방정식 풀이가 결합돼 중상이 됐습니다.

1학기 앞 단원이라고 넘기면 그대로 한 문항 손해입니다. 기말 범위에 이 유형이 들어 있다는 걸 알고 준비해야 합니다.

3. 이차방정식의 활용 (8·10·11·12번) — 4문항

8번 중 활용; 연속하는 수, 10번 중 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이, 11번 중상 근이 정수가 될 조건 · 제곱근을 이용한 풀이, 12번 중상 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이.

10번과 12번이 같은 도형 유형입니다. 10번은 중, 12번은 중상입니다. 도형 활용 하나를 잡으면 두 문항이 열립니다.

도형 활용의 절차는 네 단계입니다.

1. 구하려는 값을 x로 둔다
2. 넓이·둘레 조건을 x에 대한 식으로 쓴다
3. 정리해 인수분해로 푼다
4. 길이는 양수라는 조건으로 근 하나를 버린다

4단계를 빠뜨리면 감점입니다.

8번의 "연속하는 수" 는 확보 가능한 활용입니다. 연속하는 세 수를 x-1, x, x+1로 두면 식이 간단해집니다.

11번의 "근이 정수가 될 조건" 은 (x+p)²=q 꼴로 만든 뒤 q가 제곱수여야 근이 정수가 된다는 조건에서 경우를 세는 유형입니다. 조건을 만족하는 값을 빠짐없이 찾아야 합니다.

4. 이차함수의 그래프 (1) (13·14·15·17·19·21·23·24번) — 8문항

13번 하 y=ax²의 그래프의 성질 · 그래프의 모양, 14번 중 그래프의 모양 · 그래프의 성질, 15번 하 y=ax²+q의 그래프, 17번 중 y=ax²의 그래프가 지나는 점 · 그래프의 활용, 19번 중 y=a(x-p)²의 그래프 · y=ax²+q의 그래프, 21번 중 y=a(x-p)²의 그래프, 23번 중상 y=ax²의 그래프가 지나는 점 · 그래프의 활용, 24번 중상 y=a(x-p)²+q의 그래프 · 식 구하기.

여덟 문항이 하나의 흐름으로 이어집니다. y=ax²(13·14·17·23번) → y=ax²+q(15·19번) → y=a(x-p)²(19·21번) → y=a(x-p)²+q(24번) 순으로 평행이동이 한 단계씩 쌓이는 구조입니다.

외워야 할 것은 네 줄입니다.

• y=ax² — 꼭짓점 (0, 0), 축 x=0. a>0이면 아래로 볼록, |a|가 클수록 폭이 좁다.
• y=ax²+q — y축 방향으로 q만큼 이동. 꼭짓점 (0, q), 축 x=0.
• y=a(x-p)² — x축 방향으로 p만큼 이동. 꼭짓점 (p, 0), 축 x=p.
• y=a(x-p)²+q — 두 방향 모두 이동. 꼭짓점 (p, q), 축 x=p.

이 네 줄이 여덟 문항의 전부입니다.

13·15번이 확보 구간입니다. 하 난이도 두 문항이 여기 있습니다.

17번과 23번이 같은 유형(지나는 점 + 그래프의 활용)인데 17번은 중, 23번은 중상입니다. 그래프 위의 점의 좌표를 (t, at²)로 두고 도형 조건을 세우는 것이 공통 접근입니다. 23번은 조건이 한 겹 더 있다고 보면 됩니다.

24번이 이 시험의 마지막 문항입니다. y=a(x-p)²+q의 그래프를 보고 식을 구하는 유형입니다. 꼭짓점을 읽어 p, q를 넣고 다른 한 점을 대입해 a를 구하는 두 단계입니다.

5. 이차함수의 그래프 (2) (16·18·20·22번) — 4문항

16번 중 그래프의 활용 · y=ax²+q의 그래프, 18번 중 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 20번 중상 표준형 변형 · 그래프가 축과 만나는 점 · 그래프의 활용, 22번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프의 평행이동 · 축과 만나는 점.

18번의 "꼭짓점과 다른 한 점" 은 24번과 같은 절차입니다. y=a(x-p)²+q로 놓고 한 점 대입입니다.

20번과 22번이 이 파트의 중상 두 문항입니다. 둘 다 그래프가 축과 만나는 점을 씁니다. x절편은 y=0을 대입해 이차방정식을 풀고, y절편은 x=0을 대입하면 나옵니다. 20번은 여기에 표준형 변형과 도형 활용까지 얹혔고, 22번은 평행이동이 결합됐습니다.

표준형 변형은 y=ax²+bx+c에서 a로 묶고 (b/2a)²를 더하고 빼는 절차입니다. 이 시험에서는 20번 한 문항에서만 명시적으로 요구됐습니다.

청계중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 한 근 대입으로 미지수 구하기 — 1번 확보 구간, 7번의 첫 단계.
2. 제곱근을 이용한 풀이와 근을 가질 조건 — 2번 확보 구간. q≥0 확인.
3. 한 근이 문자일 때 식의 값 — 3번 대비. 차수 낮추기.
4. 여러 가지 이차방정식 정리와 근의 공식 — 4번 대비.
5. 중근을 가질 조건 b=(a/2)² — 5번 대비.
6. 완전제곱식의 꼴로 고치기 — 6번 대비.
7. ★ 미지수 구한 뒤 나머지 근까지 — 7번 대비. 첫 단계에서 멈추지 않기.
8. ★ 무리수의 정수 부분과 소수 부분 — 9번 대비. 앞 단원이지만 반드시 포함.
9. 활용 — 연속하는 수 — 8번 대비. 확보 가능한 활용.
10. ★ 도형 활용 4단계 — 10·12번 두 문항을 한 번에.
11. 근이 정수가 될 조건 — 11번 대비. q가 제곱수.
12. ★ y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)², y=a(x-p)²+q 네 줄 — 13·14·15·19·21·24번을 관통하는 최중요 정리.
13. 그래프 위의 점을 (t, at²)로 두기 — 17·23번 대비.
14. 꼭짓점과 한 점으로 식 구하기 — 18·24번 대비.
15. 그래프가 축과 만나는 점 — 20·22번 대비. y=0, x=0 대입.
16. y=ax²+bx+c의 표준형 변형과 평행이동 — 20·22번 대비.

자주 나오는 질문

청계중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~12번이 이차방정식, 13~24번이 이차함수로 정확히 12문항씩 나뉩니다.

9번은 왜 다른 단원인가요?

9번은 무리수의 정수 부분과 소수 부분을 묻는 문항으로, 배치 단원이 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈입니다. 1학기 앞쪽 단원이지만 기말 범위에 포함돼 출제됐고, 난이도는 중상입니다. 이차방정식부터만 준비하면 놓치는 문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 8문항(7·9·11·12·20·22·23·24번)입니다. 각 파트의 후반부에 몰려 있다는 게 특징입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

이차함수의 그래프 (1)이 8문항(33%) 으로 압도적입니다. y=ax²부터 y=a(x-p)²+q까지 평행이동이 한 단계씩 쌓이는 구성입니다.

무엇부터 준비해야 하나요?

이차함수 네 가지 기본형의 꼭짓점과 축입니다. y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)², y=a(x-p)²+q 각각의 꼭짓점과 축만 정확히 알면 여섯 문항 이상이 열립니다. 그다음이 도형 활용(10·12번) 과 9번의 무리수 유형입니다.

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