한백중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

한백중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 이차방정식의 풀이와 활용, 그리고 이차함수의 그래프입니다. 이 시험의 성격을 한마디로 요약하면 이차함수 쪽으로 무게가 확 쏠린 시험입니다. 24문항 중 11문항, 거의 절반이 이차함수의 그래프 (1) 단원에서 나왔습니다.

핵심 요약

• 24문항 — 분석표에 기록된 정답이 24문항 모두 ①~⑤ 기호, 즉 전부 선택형
• 난이도: 하 6 / 중 11 / 중상 5 / 상 2
• 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 11 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 6 / 10 이차방정식의 활용 4 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 3
• 최다 반복 유형: 인수분해를 이용한 풀이 3회, 제곱근을 이용한 풀이 3회, y=ax²의 식 구하기 3회, 이차함수의 그래프의 활용 3회
• 최고 난도: 9번·12번 두 문항, 둘 다 이차방정식 파트

한백중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

한백중학교는 경기 화성시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 24문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 24문항 전부가 선택형입니다. 답을 직접 쓰는 문항이 없다는 뜻이라, 부분점수 없이 맞고 틀리는 것만 남습니다.

배치는 명확하게 두 덩어리입니다. 1~12번이 이차방정식, 13~24번이 이차함수입니다. 딱 한 군데, 23번만 이차방정식의 활용으로 돌아옵니다. 이차함수 구간 한복판에 이차방정식 활용 문항이 하나 끼어 있는 셈인데, 좌표평면 위 도형의 넓이를 묻는 문항이라 두 단원을 동시에 쓰게 만든 배치입니다.

문항 수로 보면 이차방정식 13문항, 이차함수 11문항으로 얼추 반반입니다. 그런데 난이도를 얹어 보면 얘기가 달라집니다. 상 난이도 2문항(9·12번)이 둘 다 이차방정식 파트에 있고, 이차함수 파트의 최고 난도는 중상(17·22번)입니다. 점수를 크게 잃는 지점은 앞쪽 이차방정식입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항, 중 11문항

중 난이도가 11문항으로 절반입니다. 여기가 등급을 가르는 구간입니다. 하 6문항은 반드시 확보해야 하는 문항이고, 상 2문항은 시간이 남을 때 붙는 문항입니다. 실질적인 승부는 중 11문항과 중상 5문항, 합쳐서 16문항에서 납니다.

하 난이도 6문항의 위치도 눈여겨보세요. 1·3·7번이 앞쪽, 13·14·18번이 뒤쪽입니다. 즉 이차방정식 파트에도 이차함수 파트에도 확보 문항이 골고루 깔려 있습니다. 앞에서 막혔다고 뒤를 포기하면 13·14·18번까지 같이 날아갑니다. 한 바퀴 훑고 쉬운 것부터 잡는 전략이 유효한 배치입니다.

출제 단원 — 이차함수의 그래프 (1)에 11문항

한 단원에 11문항이 몰린 구조입니다. 24문항 중 46%가 이차함수의 그래프 (1) 하나에서 나왔습니다. 이 단원을 어설프게 알고 들어가면 시험의 절반이 흔들립니다.

반대로 말하면 이 단원만 확실히 잡아도 절반이 확보됩니다. 그리고 이 11문항 중 하 3문항(13·14·18번), 중 6문항(15·16·19·20·21·24번), 중상 2문항(17·22번)으로, 상 난이도가 하나도 없습니다. 개념을 정확히 알면 다 풀리는 구간이라는 뜻입니다.

이차방정식은 08 풀이 (1) 6문항 + 09 풀이 (2) 3문항 + 10 활용 4문항 = 13문항입니다. 세 단원으로 나뉘어 있지만 실제로는 "이차방정식을 어떻게 푸느냐"와 "그걸 어디에 쓰느냐" 두 갈래입니다.

시그니처 — 네 개의 유형이 각각 세 번씩

이 시험에는 세 번 등장한 유형이 네 개 있습니다. 여기가 출제자가 반복해서 확인하고 싶었던 지점입니다.

• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 3·6·23번
• 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 — 7·9·12번
• 이차함수 y=ax²의 식 구하기 — 13·16·17번
• 이차함수의 그래프의 활용 — 17·21·23번

주목할 것은 제곱근을 이용한 풀이가 7·9·12번에 걸쳐 있고, 그중 9번과 12번이 이 시험의 상 난이도 두 문항 전부라는 점입니다. 7번은 하 난이도로 기본형이 나오고, 같은 도구가 9번과 12번에서 각각 다른 옷을 입고 다시 나옵니다. 7번을 맞혔다고 이 유형이 끝난 게 아닙니다.

인수분해를 이용한 풀이도 3·6·23번으로 난이도가 계단식입니다. 3번은 하, 6번은 중상, 23번은 중상입니다. 특히 23번은 좌표평면 위 도형의 넓이를 구하는 과정에서 인수분해가 도구로 쓰입니다.

두 번 나온 유형도 정리해 둘 만합니다.

• 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때, 미지수의 값 구하기 — 2·4번
• 한 근이 주어졌을 때, 다른 한 근 구하기 — 4·8번
• 이차방정식의 근의 공식 — 10·12번
• 이차함수의 함숫값 — 13·16번
• 이차함수 y=ax²의 그래프의 모양 / 성질 — 둘 다 14·15번
• 이차함수 y=ax²의 그래프가 지나는 점 — 17·19번
• 이차함수 y=ax²+q의 그래프 — 18·19번
• 이차함수 y=a(x-p)²의 그래프 — 20·21번
• 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프 — 22·24번

이차함수 뒷부분은 두 문항씩 짝을 지어 진행됩니다. y=ax² → y=ax²+q → y=a(x-p)² → y=a(x-p)²+q 순서로, 식이 한 단계씩 복잡해지면서 각 단계마다 두 문항씩 배치됐습니다. 교과서 전개 순서를 그대로 따라간 배치라 대비 방향이 아주 명확합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1) — 1~6번, 6문항

1번 하 이차방정식, 2번 중 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기 · 두 근이 주어진 이차방정식 구하기, 3번 하 이차방정식의 해 · 인수분해를 이용한 풀이, 4번 중 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기 · 다른 한 근 구하기, 5번 중 이차방정식이 중근을 가질 조건, 6번 중상 인수분해를 이용한 풀이 · 이차방정식의 근의 활용.

2번과 4번이 같은 유형(한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기)으로 연달아 나왔습니다. 다만 2번은 "두 근이 주어진 이차방정식 구하기"와, 4번은 "다른 한 근 구하기"와 묶여 있어 뒷단계가 다릅니다. 근을 대입해 미지수를 구한 뒤 원래 식을 완성하고, 거기서 나머지 근까지 찾는다 — 이 3단계를 한 번에 처리하는 연습이 필요합니다.

5번의 중근 조건은 판별식 D=0 하나로 끝나는 문항이라 반드시 확보하세요. 6번은 이 파트의 유일한 중상입니다. 인수분해로 근을 구한 다음 그 근을 다른 조건에 대입하는 복합형입니다.

2. 이차방정식의 풀이 (2) — 7·9·10번, 3문항

7번 하 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이, 9번 상 제곱근을 이용한 풀이 · 제곱근을 포함한 부등식, 10번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이 · 근의 공식.

9번이 이 시험의 최고 난도 중 하나입니다. 제곱근을 이용해 근을 구한 뒤, 그 근이 어떤 부등식을 만족하는지까지 따져야 합니다. 제곱근을 포함한 부등식은 중3 1학기 앞부분(제곱근과 실수) 내용이라, 기말 범위 밖의 개념을 끌어와 결합한 문항입니다. 앞 단원을 복습하지 않았다면 손도 못 댑니다.

10번의 "여러 가지 이차방정식" 은 계수가 분수·소수이거나 괄호가 있는 식을 정리해서 푸는 유형입니다. 정리 과정에서 실수가 나기 쉬우니 정리 후 한 번 검산하는 습관이 필요합니다.

3. 이차방정식의 활용 — 8·11·12·23번, 4문항

8번 중상 한 근이 무리수일 때 미지수의 값 구하기 · 무리수의 정수 부분과 소수 부분 · 다른 한 근 구하기, 11번 중 활용; 연속하는 수, 12번 상 활용; 정다각형의 대각선 · 근의 공식 · 제곱근을 이용한 풀이, 23번 중상 활용; 좌표평면 위의 도형의 넓이 · 이차함수의 그래프의 활용 · 인수분해를 이용한 풀이.

활용 네 문항 중 세 문항이 중상 이상입니다. 이 시험에서 가장 부담스러운 구간입니다.

8번은 "한 근이 무리수" 라는 조건이 핵심입니다. 계수가 유리수인 이차방정식에서 한 근이 a+b√c 꼴이면 다른 근은 켤레인 a-b√c 라는 사실을 알아야 합니다. 여기에 무리수의 정수 부분·소수 부분까지 얹혀 있습니다.

12번 정다각형의 대각선은 n각형의 대각선 개수가 n(n-3)/2라는 공식에서 이차방정식이 나오는 유형입니다. 공식을 모르면 시작조차 못 하니, 대각선 개수 공식은 반드시 외워두세요.

23번은 이차함수 구간에 끼어 있는 이차방정식 활용입니다. 그래프에서 도형을 만들고 넓이 조건으로 이차방정식을 세운 뒤 인수분해로 푸는 3단 구조입니다.

4. 이차함수의 기초와 y=ax² — 13~17번, 5문항

13번 하 이차함수의 함숫값 · y=ax²의 식 구하기, 14번 하 y=ax²의 그래프의 성질 · 모양, 15번 중 y=ax²의 그래프의 모양 · 성질, 16번 중 y=ax²의 식 구하기 · 함숫값, 17번 중상 y=ax²의 그래프가 지나는 점 · 식 구하기 · 그래프의 활용.

13·14번이 하, 15·16번이 중, 17번이 중상. 난이도가 정확히 계단식으로 올라갑니다. 출제자가 의도적으로 배치한 흐름입니다.

14번과 15번은 같은 두 유형(모양·성질)을 순서만 바꿔 물었습니다. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다, a>0이면 아래로 볼록·a<0이면 위로 볼록 — 이 두 문장이 두 문항의 전부입니다. 하나는 하, 하나는 중인 이유는 15번이 여러 그래프를 비교하게 만들었기 때문입니다.

17번은 이 구간의 고비입니다. 그래프가 지나는 점을 이용해 a를 구하고, 그 식으로 또 다른 값을 계산하는 2단 구조입니다.

5. 평행이동으로 확장되는 이차함수 — 18~22·24번, 6문항

18번 하 y=ax²+q의 그래프, 19번 중 y=ax²+q의 그래프 · y=ax²의 그래프가 지나는 점, 20번 중 y=a(x-p)²의 그래프 · y=a(x-p)²+q의 식 구하기, 21번 중 y=a(x-p)²의 그래프 · 이차함수의 그래프의 활용, 22번 중상 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 24번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프의 평행이동 · y=a(x-p)²+q의 그래프.

이 여섯 문항은 하나의 흐름입니다. y=ax²을 위아래로 옮기면 y=ax²+q, 좌우로 옮기면 y=a(x-p)², 둘 다 옮기면 y=a(x-p)²+q. 꼭짓점이 (0,0) → (0,q) → (p,0) → (p,q)로 이동하는 규칙 하나를 정확히 잡으면 여섯 문항이 한꺼번에 열립니다.

22번의 "지나지 않는 사분면" 이 이 구간의 최고 난도입니다. 꼭짓점 위치와 볼록 방향, y절편의 부호를 종합해서 그래프의 개형을 머릿속에 그려야 합니다. 직접 좌표평면에 대충이라도 그려보는 것이 가장 빠른 길입니다.

24번은 평행이동 문항입니다. y=a(x-p)²+q를 x축 방향으로 m, y축 방향으로 n만큼 옮기면 y=a(x-p-m)²+q+n. 부호를 헷갈리지 않는 것이 전부입니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 5문항

9번 상 (제곱근을 이용한 풀이 + 제곱근을 포함한 부등식) — 기말 범위 앞쪽 단원과 결합했습니다. 제곱근과 실수 단원을 복습하지 않았으면 접근이 안 됩니다.

12번 상 (정다각형의 대각선) — 대각선 개수 공식을 모르면 식조차 세울 수 없습니다. 공식 암기가 선행 조건입니다.

6번 중상 (인수분해 풀이 + 근의 활용) — 앞쪽 배치인데 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

8번 중상 (한 근이 무리수) — 켤레근 개념을 알면 빠르고, 모르면 헤맵니다.

17번 중상 (y=ax²의 그래프가 지나는 점) — 이차함수 파트의 첫 번째 벽입니다.

22번 중상 (지나지 않는 사분면의 조건) — 개형을 그려야 하는 문항입니다.

23번 중상 (좌표평면 위의 도형의 넓이) — 이차방정식과 이차함수를 동시에 씁니다. 이 시험에서 가장 융합적인 문항입니다.

중상 이상 7문항 중 4문항(6·8·9·12번)이 12번 이전에 몰려 있습니다. 앞에서 시간을 다 쓰면 뒤쪽 이차함수의 하·중 문항까지 놓칩니다. 막히면 표시하고 넘어가는 판단이 특히 중요한 배치입니다.

한백중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 뜻과 해 — 1·3번 대비. 확보 구간입니다.
2. 인수분해를 이용한 풀이 — 3·6·23번을 관통합니다. 가장 먼저 손에 익혀야 합니다.
3. 한 근이 주어졌을 때 미지수·다른 근 구하기 — 2·4·8번 대비. 대입 후 원래 식을 복원하는 절차.
4. 중근을 가질 조건 — 5번 대비. 판별식 D=0.
5. 제곱근을 이용한 풀이 — 7번은 확보, 9·12번의 뿌리.
6. ★ 제곱근을 포함한 부등식 복습 — 9번 대비. 기말 범위 밖이지만 결합돼 나왔습니다.
7. 근의 공식과 여러 가지 이차방정식 — 10·12번 대비. 정리 후 검산.
8. ★ 켤레근 개념 — 8번 대비. 계수가 유리수면 무리수 근은 켤레로 짝을 이룹니다.
9. 활용; 연속하는 수 — 11번 대비.
10. ★ 정다각형의 대각선 공식 — 12번 대비. n(n-3)/2 암기.
11. 이차함수의 함숫값 — 13·16번 대비. 확보 구간.
12. y=ax²의 그래프의 모양과 성질 — 14·15번 대비. a의 부호와 절댓값 두 가지.
13. y=ax²의 식 구하기와 지나는 점 — 13·16·17번 대비. 세 번 나온 유형입니다.
14. ★ y=ax²+q, y=a(x-p)², y=a(x-p)²+q의 그래프 — 18~22·24번을 전부 커버합니다. 이 시험의 최대 득점 구간.
15. 그래프의 평행이동 — 24번 대비. 부호 주의.
16. 지나지 않는 사분면의 조건 — 22번 대비. 개형 그리기.
17. 좌표평면 위의 도형의 넓이 — 23번 대비. 그래프에서 이차방정식을 세우는 연습.

자주 나오는 질문

한백중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 분석표에 기록된 정답이 전부 ①~⑤ 기호라, 모두 선택형으로 확인됩니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 11 이차함수의 그래프 (1)이 11문항으로 압도적입니다. 24문항의 46%입니다. 이어서 08 이차방정식의 풀이 (1) 6문항, 10 이차방정식의 활용 4문항, 09 이차방정식의 풀이 (2) 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 9번과 12번 두 문항입니다. 9번은 제곱근을 이용한 풀이에 부등식이 결합된 문항, 12번은 정다각형의 대각선 공식을 쓰는 활용 문항입니다. 둘 다 이차방정식 파트에 있습니다.

이차함수 파트는 어렵나요?

이차함수 11문항 중 상 난이도는 하나도 없습니다. 중상이 17번과 22번 두 문항이고 나머지는 하와 중입니다. 개념을 정확히 알면 대부분 풀리는 구간이라, 여기서 점수를 확보하는 것이 전략의 핵심입니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

이차함수의 그래프부터입니다. 문항 수가 11개로 가장 많고 난이도도 낮은 편이라 투자 대비 효율이 가장 좋습니다. 그다음 이차방정식의 풀이, 마지막으로 활용 순서를 추천합니다.

앞 단원(제곱근과 실수)도 봐야 하나요?

네. 8번의 무리수 근, 9번의 제곱근을 포함한 부등식이 1학기 앞 단원 개념과 직접 연결됩니다. 기말 범위만 보고 들어가면 이 두 문항이 막힙니다.

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