하나고 1학년 2학기 중간고사 대수 기출 분석 (2025)
하나고 1학년 2학기 중간고사 대수는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 지수·로그·지수함수·로그함수와 등차수열과 등비수열·수열의 합입니다. 대수 과목의 앞뒤 두 덩어리를 한 시험에 담은 구성입니다.
이 시험의 성격을 결정하는 숫자는 중상 8문항입니다. 20문항 중 40%가 중상이고, 하 난이도는 3문항뿐입니다. 쉬운 문항으로 시간을 벌 여유가 거의 없는 시험입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~14번 선택형, 15~20번 6문항이 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 3 / 중 6 / 중상 8 / 상 3
- 배치 단원: 02 로그 5 / 01 지수 3 / 03 지수함수 3 / 04 로그함수 3 / 08 등차수열과 등비수열 3 / 09 수열의 합 3
- 최다 반복 유형: 로그의 정수 부분과 소수 부분 3회, 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동 3회, 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계 3회
- 최고 난도: 12·17·20번, 12번과 17번은 지수함수와 로그함수의 그래프 교점
하나고 고1 2학기 중간 대수는 어떤 시험인가
하나고등학교는 서울 은평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사에서 하나고는 공통수학2와 대수 두 과목의 수학 시험을 치렀습니다. 이 글은 그중 대수 시험을 다룹니다.
대수 시험은 총 20문항으로, 1~14번이 선택형, 15~20번 6문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 서술형이 30%입니다.
범위는 두 덩어리입니다. 지수와 로그 파트(01 지수 · 02 로그 · 03 지수함수 · 04 로그함수)에서 14문항, 수열 파트(08 등차수열과 등비수열 · 09 수열의 합)에서 6문항입니다. 지수·로그 쪽이 70%로 확실히 무겁습니다.
배치는 단원 순서를 대체로 따릅니다. 1~8번이 지수와 로그의 기본기, 9·10번이 수열, 11~14번이 지수함수와 로그함수, 그리고 서술형에서 다시 섞입니다. 다만 3번에서 갑자기 수열의 합이 나오는 등 완전히 순서대로는 아니니, 시험지를 처음 훑을 때 파트가 어디서 갈리는지 확인하고 들어가는 편이 낫습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항, 하는 3문항뿐
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 15% | 1·2·3 |
| 중 | 6 | 30% | 4·5·6·9·15·16 |
| 중상 | 8 | 40% | 7·8·10·11·13·14·18·19 |
| 상 | 3 | 15% | 12·17·20 |
하 난이도가 1·2·3번 세 문항뿐입니다. 4번부터 바로 중 난이도가 시작되고, 7번부터는 중상이 본격적으로 등장합니다.
중상 8문항이 7·8·10·11·13·14·18·19번으로 시험지 전체에 퍼져 있습니다. 중상이 40%라는 것은 어렵진 않지만 손이 가는 문항이 계속 이어진다는 뜻입니다. 한 문항에 오래 붙잡히면 뒤가 밀립니다.
상 3문항은 12·17·20번입니다. 12번은 선택형 후반, 17번과 20번은 서술형입니다.
서술형 6문항만 보면 중 2(15·16번) · 중상 2(18·19번) · 상 2(17·20번) 입니다. 15번과 16번이 중 난이도라 서술형 구간의 출발이 무겁지 않습니다. 서술형에 들어가면 15·16번부터 확실히 잡고 18·19번, 그다음 17·20번 순서로 가는 것이 정석입니다. 번호 순서대로 풀다가 17번에서 막히면 18·19번(중상)까지 놓칩니다.
출제 단원 — 여섯 단원에 3~5문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 02 로그 | 5 | 2·4·6·8·20 |
| 01 지수 | 3 | 1·5·14 |
| 03 지수함수 | 3 | 7·11·13 |
| 04 로그함수 | 3 | 12·17·18 |
| 08 등차수열과 등비수열 | 3 | 9·10·15 |
| 09 수열의 합 | 3 | 3·16·19 |
02 로그가 5문항으로 가장 많고, 나머지 다섯 단원이 각 3문항씩입니다. 균등에 가까운 배분입니다.
대단원으로 묶으면 지수·로그 14문항(70%), 수열 6문항(30%) 입니다.
단원별 난이도를 겹쳐 보면 어디가 위험한지 보입니다.
- 02 로그 5문항 — 하 1(2번) · 중 2(4·6번) · 중상 1(8번) · 상 1(20번)
- 04 로그함수 3문항 — 중상 1(18번) · 상 2(12·17번). 하·중이 하나도 없습니다.
- 03 지수함수 3문항 — 중상 3(7·11·13번). 전부 중상입니다.
- 01 지수 3문항 — 하 1(1번) · 중 1(5번) · 중상 1(14번)
- 08 등차수열과 등비수열 3문항 — 중 2(9·15번) · 중상 1(10번)
- 09 수열의 합 3문항 — 하 1(3번) · 중 1(16번) · 중상 1(19번)
04 로그함수가 이 시험의 최대 난관입니다. 3문항 중 상이 2문항(12·17번), 중상이 1문항(18번). 하나도 쉬운 문항이 없습니다. 그리고 상 3문항 중 2문항이 여기 있습니다.
03 지수함수도 3문항 전부 중상입니다. 지수함수와 로그함수 두 단원 6문항 중 하·중이 하나도 없다는 뜻입니다.
반대로 수열 파트 6문항은 중 3(9·15·16번) · 중상 2(10·19번) · 하 1(3번) 로 상 난이도가 없습니다. 수열은 전부 확보 가능한 구간입니다.
이 대비가 전략을 결정합니다. 수열 6문항을 완전히 확보하고, 지수·로그의 기본 8문항(1~8번)을 정확히 처리한 뒤, 지수함수·로그함수 6문항에 남은 시간을 쓰는 것입니다.
시그니처 유형 — 세 개의 유형이 각각 세 번씩
이 시험에는 세 번 등장한 유형이 세 개 있습니다.
- 로그의 정수 부분과 소수 부분 — 6·8·20번
- 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동 — 7·12·18번
- 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계 — 10·15·19번
세 유형 모두 난이도가 계단식입니다. 로그의 정수·소수 부분은 6번(중) → 8번(중상) → 20번(상), 로그함수의 그래프 이동은 7번(중상) → 12번(상) → 18번(중상), 등차수열의 합과 일반항 관계는 10번(중상) → 15번(중) → 19번(중상)입니다.
"로그의 정수 부분과 소수 부분"이 세 번, 그중 하나가 최고 난도 20번이라는 점이 특히 중요합니다. log N = (정수 부분) + (소수 부분) 으로 쪼갤 때, 정수 부분은 N의 자릿수와, 소수 부분은 N의 최고 자리 숫자와 연결됩니다. 이 대응을 정확히 잡는 것이 세 문항을 여는 열쇠입니다.
"등차수열의 합과 일반항 사이의 관계" 는 Sₙ − Sₙ₋₁ = aₙ (n ≥ 2), S₁ = a₁ 이라는 관계식 하나입니다. 이 한 줄이 세 문항에서 반복해 쓰입니다. 수열 파트를 확보하려면 이것부터 손에 붙여야 합니다.
두 번 나온 유형도 정리해 둘 만합니다.
- 등비수열의 합 — 3·9번
- 상용로그의 값 — 6·20번
- 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점 — 12·17번
- 지수방정식; aˣ 꼴이 반복되는 경우 — 13·18번
- 지수함수의 그래프 위의 점 — 13·17번
- 등차수열의 합 — 15·16번
12번과 17번이 같은 유형(지수함수와 로그함수의 그래프의 교점)이고 둘 다 상 난이도입니다. 상 3문항 중 2문항이 이 유형입니다. 지수함수 y = aˣ 와 로그함수 y = log_a x 가 y = x 에 대해 대칭이라는 성질, 그리고 교점이 y = x 위에 있는 경우와 아닌 경우를 구분하는 것이 이 유형의 핵심입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 워밍업 구간 — 1·2·3번, 전부 하 난이도
1번 지수가 실수인 식의 계산, 2번 로그의 밑의 변환 · 거듭제곱근의 계산, 3번 ∑와 등차수열, 등비수열 · 등비수열의 합.
세 문항이 각각 지수·로그·수열 파트의 기본 계산을 확인합니다.
2번의 "로그의 밑의 변환" 은 log_a b = log_c b / log_c a 공식입니다. 밑이 서로 다른 로그를 하나로 통일할 때 반드시 쓰는 도구입니다.
3번은 ∑ 기호 안에 등차·등비수열이 들어간 형태입니다. ∑를 풀어 등차수열의 합 공식이나 등비수열의 합 공식으로 바꾸면 됩니다. 등비수열의 합은 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1) 입니다.
2. 지수와 로그의 기본 — 4·5·6번, 중 난이도
4번 로그의 밑과 진수의 조건, 5번 xⁿ+x⁻ⁿ 꼴의 식의 값 구하기 · 곱셈 공식을 이용한 식의 계산 · aˣ=k가 주어질 때 식의 값 구하기, 6번 로그의 정수 부분과 소수 부분 · 상용로그의 값.
4번의 "밑과 진수의 조건" 은 log_a b 가 정의되려면 a > 0, a ≠ 1, b > 0 이어야 한다는 것입니다. 미지수가 들어간 로그식에서 이 조건으로 범위를 구하는 유형입니다. 세 조건을 모두 빠짐없이 쓰는 것이 전부입니다.
5번의 "xⁿ + x⁻ⁿ 꼴" 은 대수의 대표 계산 유형입니다. (x + x⁻¹)² = x² + 2 + x⁻² 처럼 곱셈 공식을 이용해 차수를 올리거나 내립니다. x + x⁻¹ 의 값이 주어지면 x² + x⁻², x³ + x⁻³ 를 차례로 구할 수 있습니다.
6번은 로그의 정수 부분과 소수 부분입니다. 이 시험에서 세 번 나온 시그니처 유형의 첫 등장이자, 가장 쉬운 형태입니다. 여기서 개념을 확실히 잡아야 8번과 20번이 열립니다.
3. 중상 구간 (1) — 7·8번
7번 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동 · 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동 · 거듭제곱근을 지수가 유리수인 수로 나타내기, 8번 로그의 정수 부분과 소수 부분 · 로그의 값이 정수가 되도록 하는 조건.
7번은 지수함수와 로그함수의 그래프 이동을 한꺼번에 묻습니다. y = f(x) 를 x축 방향 m, y축 방향 n만큼 평행이동하면 y − n = f(x − m), x축 대칭은 −y = f(x), y축 대칭은 y = f(−x) 입니다. 지수함수와 로그함수 각각에 이 규칙을 적용하는 것이라 개념 자체는 어렵지 않지만, 두 함수를 동시에 다뤄야 해서 중상입니다.
8번의 "로그의 값이 정수가 되도록 하는 조건" 은 log_a b 가 정수 k라면 b = aᵏ 이라는 관계에서 출발합니다. 여기에 정수 부분·소수 부분이 결합됐습니다.
4. 수열 파트 — 9·10번(선택형), 15·16·19번(서술형)
9번 중 부분의 합이 주어진 등비수열 · 등비수열의 합의 활용 · 등비수열의 합, 10번 중상 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계 · ∑의 성질, 15번 중 등차수열의 합 · 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계, 16번 중 로그가 포함된 수열의 합 · 등차수열의 합 · 등차수열의 일반항, 19번 중상 ∑로 표현된 수열의 합과 일반항 · 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계.
수열 6문항에 상 난이도가 없습니다. 이 시험에서 가장 안정적으로 점수를 가져갈 수 있는 구간입니다.
9번의 "부분의 합이 주어진 등비수열" 은 S₃, S₆ 같은 부분합이 주어질 때 첫째항과 공비를 찾는 유형입니다. S₆ / S₃ 를 계산하면 공비의 세제곱 관련 식이 나온다는 점을 이용하면 계산이 크게 줄어듭니다.
10·15·19번이 전부 "등차수열의 합과 일반항 사이의 관계" 를 씁니다. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), a₁ = S₁. n = 1 인 경우를 따로 확인하는 것을 빠뜨리지 마세요. 여기서 실점하는 경우가 가장 많습니다.
16번의 "로그가 포함된 수열의 합" 은 각 항이 로그로 된 수열의 합입니다. 로그의 합은 진수의 곱 이라는 성질로 묶으면 대부분 정리됩니다. 여기에 등차수열의 합이 결합됐습니다.
19번은 ∑로 표현된 수열의 합에서 일반항을 역으로 찾는 유형입니다. 정답이 부등식 범위로 기록돼 있으니 조건을 만족하는 상수의 범위를 구하는 형태입니다.
5. 지수함수·로그함수 — 11·12·13·14번
11번 중상 지수함수를 이용한 수의 대소 비교 · 지수함수의 성질 · 로그 성질 활용, 12번 상 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점 · 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동 · 로그함수를 이용한 수의 대소 비교, 13번 중상 지수부등식이 항상 성립할 조건 · 지수방정식; aˣ 꼴이 반복되는 경우 · 지수함수의 그래프 위의 점, 14번 중상 거듭제곱근.
11번의 "수의 대소 비교" 는 밑을 통일한 뒤 지수함수의 증가·감소를 이용합니다. 밑이 1보다 크면 증가함수, 0과 1 사이면 감소함수라 부등호 방향이 뒤집힙니다. 이 방향 실수가 가장 흔합니다.
12번은 선택형에서 유일한 상 난이도이고, 정답이 "ㄱ, ㄴ, ㄷ" 형태로 기록된 합답형입니다. 여러 명제의 참·거짓을 각각 판정해야 하니 한 개만 잘못 판단해도 전체가 틀립니다. 지수함수와 로그함수의 그래프 교점이 주제이고, 여기에 평행이동·대칭이동과 대소 비교가 결합됐습니다.
13번의 "지수부등식이 항상 성립할 조건" 은 aˣ 를 t로 치환해 t에 대한 이차부등식이 t > 0 인 모든 t에서 성립할 조건으로 바꾸는 유형입니다. 치환 후 t의 범위가 t > 0 으로 제한된다는 점을 놓치면 답이 달라집니다.
14번의 "거듭제곱근" 은 n제곱근의 정의와 실수 범위에서의 존재 조건을 묻습니다. n이 홀수면 실수 n제곱근이 하나, n이 짝수면 양수에 대해 두 개(양·음), 0에 대해 하나, 음수에 대해 없음 — 이 경우 구분이 핵심입니다.
6. 서술형 상 난이도 — 17·20번
17번 상 로그함수의 역함수 · 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점 · 지수함수의 그래프 위의 점, 20번 상 로그의 정수 부분과 소수 부분 · 상용로그의 값 · 식의 값 구하기.
17번의 "로그함수의 역함수" 는 y = log_a x 의 역함수가 y = aˣ 라는 관계입니다. 두 그래프는 y = x 에 대해 대칭입니다. 이 대칭성을 이용하면 교점 문제가 크게 단순해집니다. 교점이 y = x 위에 있다면 aˣ = x 를 풀면 되고, 그렇지 않은 교점도 y = x 에 대해 짝을 이룹니다.
20번은 마지막 문항이고, 정답이 여러 좌표쌍 형태로 기록돼 있습니다. 로그의 정수 부분과 소수 부분 유형의 최종판입니다. log N 의 정수 부분을 n, 소수 부분을 α 라 하면 log N = n + α, 0 ≤ α < 1 입니다. 조건을 만족하는 (n, α) 쌍을 찾아 나열하는 형태로 보입니다.
이 시험을 준비할 때 로그의 정수 부분과 소수 부분을 최우선으로 두어야 하는 이유가 여기 있습니다. 6번(중) · 8번(중상) · 20번(상), 난이도를 바꿔가며 세 번 나왔고 그중 하나가 마지막 상 난이도입니다.
주의 문항 — 상 3문항과 중상 8문항
12번 상 (지수·로그함수의 그래프 교점, 합답형) — 명제 여러 개를 각각 판정해야 합니다. 하나만 틀려도 전체가 틀립니다.
17번 상 (로그함수의 역함수 + 그래프 교점) — 12번과 같은 주제입니다. y = x 대칭성이 열쇠입니다.
20번 상 (로그의 정수 부분과 소수 부분) — 마지막 문항이자 시그니처 유형의 최종판입니다.
7번 중상 (지수·로그함수의 그래프 이동) — 두 함수를 동시에 다룹니다.
8번 중상 (로그의 값이 정수가 되는 조건) — 6번의 확장판입니다.
10번 중상 (등차수열의 합과 일반항 + ∑의 성질) — n = 1 확인을 빠뜨리지 마세요.
11번 중상 (지수함수를 이용한 대소 비교) — 밑이 0과 1 사이면 부등호가 뒤집힙니다.
13번 중상 (지수부등식이 항상 성립할 조건) — 치환 후 t > 0 조건을 잊지 마세요.
14번 중상 (거듭제곱근) — n의 홀·짝, 진수의 부호로 경우를 나눠야 합니다.
18번 중상 (로그함수의 그래프 이동 + 지수방정식) — 서술형이지만 15~17번보다 접근하기 좋습니다.
19번 중상 (∑로 표현된 수열의 합과 일반항) — 수열 파트라 상대적으로 안정적입니다.
하나고 고1 2학기 중간 대수 대비 학습 순서
- 지수가 실수인 식의 계산, 지수법칙 — 1번 대비. 확보 구간.
- 로그의 기본 성질과 밑의 변환 — 2번 대비. log_a b = log_c b / log_c a.
- 등비수열의 합 공식 — 3·9번 대비. Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1).
- 로그의 밑과 진수의 조건 — 4번 대비. a > 0, a ≠ 1, b > 0 세 가지.
- xⁿ + x⁻ⁿ 꼴의 식의 값 — 5번 대비. 곱셈 공식으로 차수 조절.
- ★★ 로그의 정수 부분과 소수 부분 — 6·8·20번 대비. 세 번 나왔고 마지막 상 난이도입니다. 1순위입니다.
- 상용로그의 값과 자릿수 — 6·20번 대비.
- ★ 지수함수·로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동 — 7·12·18번 대비. 세 번 나왔습니다.
- 로그의 값이 정수가 되도록 하는 조건 — 8번 대비.
- 부분의 합이 주어진 등비수열 — 9번 대비. S₆ / S₃ 활용.
- ★ 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계 — 10·15·19번 대비. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁, n = 1 따로 확인.
- ∑의 성질과 계산 — 10·19번 대비.
- 지수함수를 이용한 수의 대소 비교 — 11번 대비. 밑이 0~1이면 부등호 반전.
- ★ 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점 — 12·17번 대비. 상 3문항 중 두 문항이 이 유형입니다.
- 로그함수의 역함수와 y = x 대칭 — 17번 대비.
- 지수부등식이 항상 성립할 조건 — 13번 대비. aˣ = t 치환, t > 0.
- 지수방정식; aˣ 꼴이 반복되는 경우 — 13·18번 대비. 치환.
- 거듭제곱근의 개수와 존재 조건 — 14번 대비. n의 홀·짝으로 경우 분리.
- 로그가 포함된 수열의 합 — 16번 대비. 로그의 합은 진수의 곱.
- 등차수열의 합과 일반항 — 15·16번 대비. 서술형 확보 구간.
자주 나오는 질문
하나고 1학년 2학기 중간 대수는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~14번은 선택형, 15~20번 6문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
출제 범위는 어디까지인가요?
지수·로그·지수함수·로그함수와 등차수열과 등비수열·수열의 합입니다. 배치 단원 기준으로 01 지수 3문항, 02 로그 5문항, 03 지수함수 3문항, 04 로그함수 3문항, 08 등차수열과 등비수열 3문항, 09 수열의 합 3문항입니다. 지수·로그 파트가 14문항으로 70% 를 차지합니다.
난이도가 높은 편인가요?
하 난이도가 1·2·3번 세 문항뿐이고, 중상이 8문항으로 40% 입니다. 쉬운 문항으로 시간을 벌 여유가 거의 없습니다. 다만 상 난이도는 3문항(12·17·20번)으로 많지 않습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 12·17·20번 세 문항입니다. 12번과 17번이 같은 주제(지수함수와 로그함수의 그래프의 교점) 이고, 20번은 로그의 정수 부분과 소수 부분입니다. 12번은 합답형이라 명제 하나만 잘못 판단해도 전체가 틀립니다.
어느 단원이 가장 어렵나요?
04 로그함수입니다. 3문항 중 상이 2문항(12·17번), 중상이 1문항(18번)으로 쉬운 문항이 하나도 없습니다. 03 지수함수도 3문항 전부 중상입니다. 이 두 단원 6문항에 하·중이 없습니다.
확보하기 좋은 구간은 어디인가요?
수열 파트 6문항(3·9·10·15·16·19번) 입니다. 하 1 · 중 3 · 중상 2로 상 난이도가 하나도 없습니다. 특히 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계(aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁) 하나가 10·15·19번 세 문항을 관통하니, 이것부터 손에 붙이면 효율이 좋습니다.
서술형은 어떻게 접근해야 하나요?
15번과 16번이 중 난이도입니다. 서술형 구간에 들어가면 15·16번을 먼저 확실히 잡고, 18·19번(중상)을 처리한 뒤 17·20번(상)에 붙으세요. 번호 순서대로 풀다가 17번에서 막히면 18·19번까지 놓칩니다.
무엇부터 공부해야 하나요?
로그의 정수 부분과 소수 부분입니다. 6번(중) · 8번(중상) · 20번(상), 난이도를 바꿔가며 세 번 나왔고 그중 하나가 최고 난도 마지막 문항입니다. 그다음이 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계(3문항), 지수·로그함수의 그래프 이동(3문항)입니다.
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