자양고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)

자양고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 23문항입니다. 출제 범위는 다항식의 연산부터 여러 가지 방정식까지, 즉 공통수학1 앞쪽 여섯 단원 전체입니다. 이 시험의 성격을 한 줄로 말하면 앞 6문항이 전부 하 난이도이고, 12번부터 끝까지 12문항 중 11문항이 중상 이상이라는 것입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~17번은 선택형, 18~23번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 6 / 중상 8 / 상 3
• 배치 단원: 01 다항식의 연산 7 / 05 이차방정식과 이차함수 6 / 02 나머지 정리와 인수분해 3 / 03 복소수 3 / 04 이차방정식 2 / 06 여러 가지 방정식 2
• 최다 반복 유형: 다항식의 나눗셈 A=BQ+R 4회(3·16·19·22번)
• 상 난이도 3문항이 19·20·23번으로 전부 답을 직접 쓰는 구간에 있음

자양고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

자양고등학교는 서울 광진구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~23번 여섯 문항은 답을 직접 써야 하는 형태입니다.

문항 수 23개는 고1 중간고사 치고 적지 않은 편입니다. 그런데 그중 6문항이 답을 직접 쓰는 형태라 실제 체감 시간은 더 빠듯합니다. 선택형 17문항을 얼마나 빨리 정리하고 18번 이후로 넘어가느냐가 이 시험의 승부처입니다.

배치는 난이도 순서에 거의 정확히 맞춰져 있습니다. 1~6번이 하, 7~11번이 중, 12~18번이 중상, 19·20번이 상입니다. 그러다 21번에서 중으로 한 번 떨어졌다가 22번 중상, 23번 상으로 다시 올라갑니다. 번호가 곧 난이도라고 봐도 무방한 구조라 앞에서 시간을 아끼는 전략이 그대로 통합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항이 최대 덩어리

하 6문항이 1~6번에 그대로 붙어 있습니다. 시험지를 열고 처음 여섯 문항은 확보 구간이라는 뜻입니다. 여기서 시간을 얼마나 줄이느냐가 뒤쪽 중상 8문항을 볼 여유를 만듭니다.

주목할 것은 상 난이도 3문항이 19·20·23번이라는 점입니다. 셋 다 답을 직접 쓰는 문항입니다. 즉 이 시험에서 가장 어려운 세 문항은 찍을 수도 없습니다. 반대로 말하면 선택형 17문항 안에는 상 난이도가 하나도 없습니다.

출제 단원 — 다항식의 연산 7문항이 최다

01 다항식의 연산이 7문항으로 가장 많습니다. 그런데 이 7문항의 난이도가 극과 극입니다. 1·3·4·5번은 하인데, 16번과 22번은 중상입니다. 같은 단원이 시험지 앞과 뒤에 나뉘어 배치되어 있으니 "다항식은 쉬운 단원"이라고 넘겨짚으면 뒤에서 걸립니다.

두 번째로 많은 05 이차방정식과 이차함수 6문항은 더 무겁습니다. 6문항 중 20번과 23번이 상, 17번이 중상입니다. 이 시험에서 가장 많은 점수가 걸린 단원이 여기입니다.

반면 04 이차방정식과 06 여러 가지 방정식은 각 2문항뿐입니다. 범위 이름에 "여러 가지 방정식"이 들어가 있어 비중이 클 것 같지만 실제로는 14·15번 두 문항에 그쳤습니다. 범위 표기만 보고 배분하면 오판하기 쉬운 지점입니다.

시그니처 유형 — "다항식의 나눗셈 A=BQ+R" 4회

이 시험을 관통하는 한 문장은 A를 B로 나눈 몫이 Q, 나머지가 R이면 A = BQ + R입니다.

이 항등식이 3·16·19·22번 네 문항에서 쓰였습니다. 3번은 하 난이도의 기본 계산이지만, 16번은 중상, 19번은 상, 22번도 중상입니다. 같은 도구를 난이도만 올려가며 네 번 물은 셈입니다.

• 3번(하) — 나눗셈의 몫과 나머지를 직접 구하는 기본형
• 16번(중상) — 인수 정리와 묶여 삼차식으로 나눈 나머지를 구함
• 19번(상) — 항등식의 계수 비교와 결합된 최고 난도
• 22번(중상) — 나누어떨어질 조건까지 얹힌 서술형

A = BQ + R 한 줄을 세우고 적절한 값을 대입한다는 절차가 네 문항의 공통 뼈대입니다. 이 유형 하나만 확실히 잡아도 4문항이 열립니다.

여기에 다음 유형들이 여러 번 겹칩니다.

• 이차방정식의 근과 계수의 관계로 식의 값 구하기 — 2·13·17번 3회
• 계수 비교법 — 7·10·19번 3회
• 곱셈 공식의 변형(a²+b²+c², a³+b³+c³) — 4·21번
• 복소수의 사칙연산 — 8·18번
• 복소수의 거듭제곱 — 15·18번
• 이차함수의 최대·최소 — 11·20번
• 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소 — 20·23번
• 삼차·사차방정식의 풀이 — 14·15번
• 인수 정리를 이용한 인수분해 — 14·16번

특히 20번과 23번은 유형 구성이 거의 같습니다. 둘 다 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소이고, 둘 다 구간별로 정의된 함수의 그래프와 직선의 교점 개수를 함께 씁니다. 두 개의 상 난이도 문항이 같은 도구를 요구한다는 뜻이라, 이 유형은 반드시 잡아야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 다항식의 연산 (1·3·4·5·16·21·22번) — 7문항

1번 하 다항식의 덧셈과 뺄셈, 3번 하 다항식의 나눗셈; 몫과 나머지, 4번 하 곱셈 공식의 변형, 5번 하 다항식의 전개식에서 계수 구하기, 16번 중상 다항식의 나눗셈; A=BQ+R, 21번 중 곱셈 공식의 변형 · 도형에의 활용, 22번 중상 다항식의 나눗셈; A=BQ+R · 나누어떨어질 조건.

앞 네 문항(1·3·4·5번)은 전부 하입니다. 계산 속도만 있으면 되는 구간이니 여기서 10분을 넘기면 안 됩니다.

21번은 곱셈 공식의 변형을 도형에 얹은 문항입니다. 직육면체의 모서리 길이나 겉넓이·부피 조건에서 a+b+c, ab+bc+ca 같은 값을 읽어내고 곱셈 공식 변형으로 답을 만드는 흐름입니다. 답이 무리수 형태로 나오는 단답형이라 근호 정리까지 정확해야 합니다.

22번은 A=BQ+R에 "나누어떨어질 조건"을 얹은 서술형입니다. 나머지가 0이라는 조건에서 계수를 결정하는 과정을 쓰게 됩니다.

2. 이차방정식과 이차함수 (6·9·11·17·20·23번) — 6문항

6번 하 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계 · 근의 판별, 9번 중 이차함수의 그래프에 접하는 직선의 방정식, 11번 중 이차함수의 최대·최소의 활용, 17번 중상 이차함수의 그래프와 직선의 교점, 20번 상 제한된 범위에서의 최대·최소, 23번 상 제한된 범위에서의 최대·최소.

판별식 D가 이 단원 전체를 관통합니다. 6번은 D의 부호로 x축과의 위치 관계를, 9번은 D=0으로 접선을, 17번은 교점 조건을 봅니다. D > 0이면 두 점에서 만남, D = 0이면 접함, D < 0이면 만나지 않음 — 이 세 줄이 세 문항의 공통 재료입니다.

20번과 23번이 이 시험의 최고 난도입니다. 정의역이 제한된 이차함수에서 최댓값·최솟값을 찾을 때는 꼭짓점이 구간 안에 있는지 밖에 있는지로 경우를 나누는 것이 전부입니다. 구간 밖이면 양 끝값만 비교하면 됩니다. 여기에 미지수가 들어간 구간이 주어지면 경우 나누기가 늘어나면서 상 난이도가 됩니다.

3. 나머지 정리와 인수분해 (7·10·19번) — 3문항

7번 중 수치 대입법 · 계수 비교법, 10번 중 계수 비교법 · 항등식의 성질 · 인수분해 공식, 19번 상 다항식의 나눗셈과 항등식 · A=BQ+R · 계수 비교법.

세 문항 모두 항등식이 뿌리입니다. 7번은 특정 수를 대입해 값을 얻는 수치 대입법, 10번은 양변의 계수를 맞추는 계수 비교법을 주로 씁니다. 어느 쪽이 빠른지 판단하는 감각이 필요합니다. 미지수가 여러 개면 수치 대입, 차수가 낮으면 계수 비교가 대체로 빠릅니다.

19번은 이 시험에서 가장 어려운 문항 중 하나입니다. 나눗셈 항등식을 세운 뒤 계수 비교까지 이어가는 2단 구조이고, 답을 직접 써야 합니다.

4. 복소수 (8·12·18번) — 3문항

8번 중 복소수가 서로 같을 조건 · 조건을 만족시키는 복소수 · 사칙연산, 12번 중상 음수의 제곱근의 성질 · 계산, 18번 중상 복소수의 거듭제곱 · 허수단위 i의 거듭제곱 · 사칙연산.

12번의 "음수의 제곱근의 성질" 이 함정 문항입니다. 근호 안이 음수일 때 곱셈·나눗셈 규칙이 달라지는 지점을 물었습니다. a < 0이고 b < 0이면 √a·√b = -√(ab) 라는 예외를 정확히 알아야 합니다.

18번은 i의 거듭제곱 주기를 씁니다. i의 거듭제곱은 4를 주기로 반복되므로 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 됩니다. 단답형이라 계산 실수가 곧 0점입니다.

5. 이차방정식 (2·13번) — 2문항

2번 하 이차방정식의 켤레근 · 근과 계수의 관계, 13번 중상 미정계수의 결정; 두 이차방정식이 주어진 경우 · 근과 계수의 관계 · 이차방정식의 작성.

2번은 켤레근 성질 하나로 끝나는 문항입니다. 계수가 유리수일 때 한 근이 p+q√m이면 다른 근은 p-q√m, 계수가 실수일 때 한 근이 a+bi면 다른 근은 a-bi입니다.

13번은 두 이차방정식이 근을 공유하거나 조건으로 묶인 상황에서 미정계수를 결정합니다. 근과 계수의 관계로 두 식을 세우고 연립하는 구조라 식을 세우는 순간 대부분 끝납니다.

6. 여러 가지 방정식 (14·15번) — 2문항, 둘 다 중상

14번 중상 삼차방정식과 사차방정식의 활용 · 풀이 · 인수 정리, 15번 중상 삼차방정식의 허근의 성질(x³=1, x³=-1 꼴이 아닌 경우) · 풀이 · 복소수의 거듭제곱.

15번이 이 파트의 고비입니다. 교과서에서 자주 다루는 x³=1의 허근 ω 문제와 달리, 그 꼴이 아닌 삼차방정식의 허근을 다뤘습니다. ω의 성질을 통째로 외운 학생은 여기서 막힙니다. 허근을 근으로 갖는 이차식을 찾아 그 관계식으로 차수를 낮추는 정석 절차가 필요합니다.

14번의 활용은 부피나 길이 조건에서 삼차식을 세우고 인수 정리로 인수분해하는 흐름입니다.

주의 문항 — 상 3문항과 중상 8문항

19번 상 (다항식의 나눗셈과 항등식) — 나눗셈 항등식과 계수 비교가 겹친 단답형입니다.

20번 상 (제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소) — 구간과 꼭짓점의 위치로 경우를 나눠야 합니다.

23번 상 (제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소) — 20번과 같은 유형이 서술형으로 다시 나왔습니다. 조건을 만족시키는 이차함수를 찾는 과정이 추가됐습니다.

12번 중상 (음수의 제곱근의 성질) — 부호 예외를 놓치면 그대로 틀립니다.

13번 중상 (미정계수의 결정) — 두 방정식을 연립하는 과정이 길어집니다.

14·15번 중상 (삼차·사차방정식) — 15번의 허근 처리가 특히 낯섭니다.

16번 중상 (A=BQ+R) — 인수 정리와 결합돼 삼차식으로 나눈 나머지를 묻습니다.

17번 중상 (이차함수와 직선의 교점) — 조건을 만족시키는 이차함수 결정까지 이어집니다.

18번 중상 (복소수의 거듭제곱) — 주기를 잘못 세면 답이 어긋납니다.

22번 중상 (A=BQ+R · 나누어떨어질 조건) — 서술형이라 과정 기술이 필요합니다.

중상과 상을 합치면 11문항, 전체의 절반에 가깝습니다. 그리고 그중 12번부터 끝까지 이어지는 구간에 집중돼 있습니다. 1~11번을 빠르게 마치는 것이 유일한 시간 확보 방법입니다.

자양고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 다항식의 사칙연산과 곱셈 공식 — 1·5번 대비. 확보 구간.
2. 곱셈 공식의 변형 — 4·21번 대비. a²+b²+c², a³+b³+c³ 꼴 암기.
3. ★ 다항식의 나눗셈 A=BQ+R — 3·16·19·22번. 이 시험의 시그니처.
4. 삼차식으로 나누었을 때의 나머지 — 16·22번 대비.
5. 항등식과 계수 비교법·수치 대입법 — 7·10·19번 대비.
6. 인수 정리를 이용한 인수분해 — 14·16번 대비.
7. 복소수의 사칙연산과 서로 같을 조건 — 8번 대비.
8. 음수의 제곱근의 성질 — 12번 대비. 부호 예외 확인.
9. i의 거듭제곱 주기 — 18번 대비.
10. 이차방정식의 켤레근 — 2번 대비. 확보 구간.
11. 근과 계수의 관계 — 2·13·17번을 관통하는 도구.
12. 미정계수의 결정과 이차방정식의 작성 — 13번 대비.
13. 삼차·사차방정식의 풀이와 활용 — 14번 대비.
14. ★ 삼차방정식의 허근의 성질 — 15번 대비. ω 암기로는 부족함.
15. 판별식과 그래프의 위치 관계 — 6·9·17번의 공통 재료.
16. ★ 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 — 20·23번 대비. 배점이 가장 무거운 유형.

자주 나오는 질문

자양고 1학년 1학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~23번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 01 다항식의 연산이 7문항으로 가장 많고, 05 이차방정식과 이차함수가 6문항으로 뒤를 잇습니다. 나머지 정리와 인수분해, 복소수가 각 3문항, 이차방정식과 여러 가지 방정식이 각 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19·20·23번 세 문항입니다. 셋 다 답을 직접 쓰는 문항이라 찍기가 통하지 않습니다. 20번과 23번은 둘 다 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소를 다루므로, 이 유형 하나를 잡으면 두 문항이 함께 열립니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

다항식의 나눗셈부터입니다. A=BQ+R 유형이 3·16·19·22번 네 문항에 걸쳐 있어 투자 대비 회수가 가장 큽니다. 그다음이 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소(20·23번)입니다.

앞부분은 쉬운 편인가요?

1~6번이 전부 하 난이도입니다. 다만 12번부터는 23번까지 12문항 중 11문항이 중상 이상이라 난이도가 급격히 올라갑니다. 앞에서 아낀 시간이 그대로 뒤쪽 점수가 됩니다.

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