영훈고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)
영훈고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 다항식의 연산부터 이차방정식과 이차함수까지, 즉 공통수학1 앞쪽 다섯 단원입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 **중상이 9문항으로 전체의 41%**라는 점, 그리고 9번부터 22번까지 열네 문항 중 열두 문항이 중상 이상이라는 점입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 1~19번은 선택형, 20~22번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 5 / 중 5 / 중상 9 / 상 3
- 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 6 / 03 복소수 5 / 01 다항식의 연산 4 / 05 이차방정식과 이차함수 4 / 04 이차방정식 3
- 최다 반복 유형: 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 3회(16·18·22번), 곱셈 공식의 변형 x²+y², x³+y³ 3회(4·9·19번)
- 상 난이도 3문항은 17·19·21번
영훈고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가
영훈고등학교는 서울 강북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~19번은 선택형, 20~22번 세 문항은 답을 직접 써야 하는 형태입니다.
난이도 배치는 8번을 기점으로 확 갈립니다. 1~8번까지는 하와 중만 나오다가 9번부터 중상이 시작되고, 이후 22번까지 열네 문항 중 열두 문항이 중상 또는 상입니다. 예외는 12번(중)과 20번(하) 둘뿐입니다.
즉 앞 8문항은 실수만 없으면 되는 구간, 9번 이후가 실제 시험입니다. 문항 수는 22개인데 사실상 열네 문항에서 등급이 갈리는 구조라, 1~8번을 얼마나 빨리 통과하느냐가 그대로 점수로 이어집니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 9문항이 41%
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 23% | 1·2·3·6·20 |
| 중 | 5 | 23% | 4·5·7·8·12 |
| 중상 | 9 | 41% | 9·10·11·13·14·15·16·18·22 |
| 상 | 3 | 14% | 17·19·21 |
중상 9문항이 최대 덩어리입니다. 상 난이도 3문항까지 합치면 12문항, 전체의 55%가 중상 이상입니다. 절반 넘는 문항이 한 번에 풀리지 않는다는 뜻입니다.
주목할 것은 하 난이도 20번입니다. 답을 직접 쓰는 세 문항 중 첫 번째인데 난이도가 하입니다. 21번은 상, 22번은 중상이니, 20번은 확실히 챙기고 21·22번에 시간을 몰아주는 배분이 정석입니다.
출제 단원 — 나머지 정리와 인수분해 6문항이 최다
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 02 나머지 정리와 인수분해 | 6 | 3·5·7·11·19·21 |
| 03 복소수 | 5 | 8·13·14·17·20 |
| 01 다항식의 연산 | 4 | 1·4·12·15 |
| 05 이차방정식과 이차함수 | 4 | 6·16·18·22 |
| 04 이차방정식 | 3 | 2·9·10 |
02 나머지 정리와 인수분해가 6문항으로 가장 많습니다. 그리고 이 단원이 이 시험에서 가장 무겁습니다. 6문항 중 19번과 21번이 상, 11번이 중상입니다. 상 난이도 3문항 중 2개가 이 단원에서 나왔습니다.
03 복소수는 5문항입니다. 8·20번은 켤레복소수로 가볍지만, 13·14번이 중상, 17번이 상입니다.
05 이차방정식과 이차함수는 4문항인데, 그중 3문항(16·18·22번)이 같은 유형입니다. 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소가 세 번 반복됐습니다. 문항 수는 적어도 한 유형에 배점이 집중된 단원입니다.
시그니처 유형 — 두 개의 3회 반복
이 시험에는 세 번씩 반복된 유형이 두 개 있습니다.
첫째, 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 — 16·18·22번. 16번은 조건을 만족시키는 이차함수를 먼저 찾아야 하고, 18번은 항등식의 성질과 묶였고, 22번은 답을 직접 쓰는 활용형입니다. 정의역이 제한된 이차함수에서는 꼭짓점이 구간 안에 있는지부터 확인한다 — 이 한 줄이 세 문항의 출발점입니다. 꼭짓점이 구간 밖이면 양 끝값만 비교하면 끝납니다.
둘째, 곱셈 공식의 변형(x²+y², x³+y³) — 4·9·19번. 4번은 중 난이도의 직접 계산이지만, 9번은 이차방정식의 근과 계수의 관계와 결합되고 19번은 상 난이도의 나누어떨어질 조건과 결합됩니다. x+y와 xy를 알면 x²+y²와 x³+y³이 나온다는 변형 공식이 난이도만 올라가며 세 번 쓰였습니다.
여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.
- 이차방정식의 근의 판별 — 2·13번
- 다항식이 나누어떨어질 조건 — 5·19번
- 이차함수의 최대·최소의 활용 — 6·22번
- 계수 비교법 — 7·19번
- 다항식의 나눗셈 A=BQ+R — 7·15번
- 켤레복소수의 성질 — 8·20번
특히 19번이 세 갈래를 한꺼번에 모읍니다. 나누어떨어질 조건(5번), 계수 비교법(7번), 곱셈 공식의 변형(4번)이 전부 들어갔습니다. 앞에서 따로 나왔던 도구 세 개를 한 문항에 합친 것이 이 시험의 최고 난도 설계입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 나머지 정리와 인수분해 (3·5·7·11·19·21번) — 6문항
3번 하 공통부분이 있는 다항식의 인수분해 · 이차식의 인수분해, 5번 중 일차식으로 나누어떨어지는 다항식, 7번 중 계수 비교법 · A=BQ+R, 11번 중상 인수분해와 삼각형의 모양 · 공통부분이 있는 다항식의 전개, 19번 상 다항식이 나누어떨어질 조건 · 계수 비교법 · 곱셈 공식의 변형, 21번 상 나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈.
3번의 "공통부분이 있는 인수분해" 는 치환이 전부입니다. 반복되는 덩어리를 t로 놓고 인수분해한 뒤 되돌리면 됩니다. 하 난이도이니 반드시 챙기세요.
11번의 "인수분해와 삼각형의 모양" 은 a, b, c 사이의 관계식을 인수분해해서 어떤 삼각형인지 판정하는 유형입니다. (a-b)(b-c)=0 같은 꼴로 만들어 두 변이 같다는 결론을 끌어냅니다. 인수분해 결과를 도형의 언어로 번역하는 단계가 낯설어 중상입니다.
21번의 "나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈" 이 이 시험에서 가장 특이한 문항입니다. 큰 수의 거듭제곱을 어떤 수로 나눈 나머지를 구할 때, 그 수를 x로 두고 다항식의 나머지 정리를 쓰는 발상입니다. 답을 직접 써야 하는 상 난이도라 이 유형을 본 적 없으면 손대기 어렵습니다.
2. 복소수 (8·13·14·17·20번) — 5문항
8번 중 복소수의 뜻과 분류 · 켤레복소수의 성질, 13번 중상 음수의 제곱근의 성질 · 근의 판별, 14번 중상 복소수가 주어질 때의 식의 값 구하기 · 이차식으로 나누었을 때의 나머지, 17번 상 복소수의 거듭제곱 · i의 거듭제곱 · 사칙연산, 20번 하 켤레복소수의 성질 · 계산.
13번은 근호 안이 음수일 때의 예외를 물었습니다. a < 0이고 b < 0이면 √a·√b = -√(ab) 라는 규칙을 놓치면 부호가 뒤집힙니다. 여기에 근의 판별까지 얹혀 중상이 됐습니다.
14번이 이 파트에서 가장 잘 짜인 문항입니다. 특정 복소수가 주어지고, 그 복소수를 근으로 갖는 이차식으로 다항식을 나눈 나머지를 씁니다. 주어진 복소수에서 관계식(예: x²=2x-2)을 뽑아 차수를 낮추는 절차가 핵심입니다.
17번은 i의 거듭제곱 주기를 씁니다. i의 거듭제곱은 4를 주기로 반복되므로 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 됩니다. 상 난이도인 이유는 주기 계산에 사칙연산이 여러 겹 얹혀서입니다.
20번은 켤레복소수의 기본 성질 하나로 끝납니다. 단답형 첫 문항이니 반드시 맞아야 합니다.
3. 다항식의 연산 (1·4·12·15번) — 4문항
1번 하 다항식의 덧셈과 뺄셈, 4번 중 곱셈 공식의 변형; x²+y², x³+y³, 12번 중 곱셈 공식의 변형; a²+b²+c², a³+b³+c³, 15번 중상 몫과 나머지의 변형 · A=BQ+R.
4번과 12번이 짝입니다. 4번은 두 문자, 12번은 세 문자 버전입니다. (x+y)² = x²+2xy+y² 와 (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) 를 둘 다 확실히 세워두면 두 문항이 함께 열립니다.
15번의 "몫과 나머지의 변형" 이 이 단원의 고비입니다. A를 B로 나눈 몫과 나머지를 알 때, A를 2B나 B/2 같은 다른 식으로 나눈 몫과 나머지를 구하는 유형입니다. A = BQ + R을 다시 묶는 조작이라, 식을 정확히 써놓고 계수를 맞춰야 합니다.
4. 이차방정식과 이차함수 (6·16·18·22번) — 4문항
6번 하 이차함수의 최대·최소의 활용, 16번 중상 제한된 범위에서의 최대·최소 · 조건을 만족시키는 이차함수, 18번 중상 제한된 범위에서의 최대·최소 · 항등식의 성질, 22번 중상 이차함수의 최대·최소의 활용 · 제한된 범위에서의 최대·최소 · 그래프와 x축의 교점.
네 문항 중 셋이 "제한된 범위" 를 다룹니다. 정의역이 잘려 있을 때의 최대·최소는 꼭짓점의 x좌표가 구간 안인지 밖인지로 갈립니다. 안에 있으면 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값이 나오고, 밖에 있으면 양 끝값 두 개만 비교하면 됩니다.
22번은 답을 직접 쓰는 활용형입니다. 그래프와 x축의 교점 조건까지 얹혀 있어, 이차함수를 먼저 확정한 뒤 제한된 범위에서 최댓값을 구하는 2단 구조입니다. 답이 분수 형태로 나오므로 약분과 표기까지 정확해야 합니다.
6번은 활용이지만 하 난이도입니다. 넓이나 길이가 최대가 되는 조건을 묻는 표준형이라 반드시 확보해야 합니다.
5. 이차방정식 (2·9·10번) — 3문항
2번 하 이차방정식의 근의 판별, 9번 중상 f(x)=0의 근으로 f(ax+b)=0의 근 구하기 · 근과 계수의 관계 · 곱셈 공식의 변형, 10번 중상 잘못 보고 푼 이차방정식 · 켤레근 · 그래프와 직선의 위치 관계.
9번의 "f(x)=0의 근으로 f(ax+b)=0의 근 구하기" 는 치환 유형입니다. f(x)=0의 근이 α, β라면 f(ax+b)=0에서는 ax+b = α 또는 ax+b = β 를 풀면 됩니다. 이 대응만 잡으면 나머지는 근과 계수의 관계 계산입니다.
10번의 "잘못 보고 푼 이차방정식" 은 고전 유형입니다. 두 사람이 각각 다른 계수를 잘못 보고 풀었다는 설정에서, 잘못 본 사람이라도 제대로 본 계수는 맞다는 것이 열쇠입니다. 한 사람에게서 두 근의 합, 다른 사람에게서 두 근의 곱을 가져와 원래 방정식을 복원합니다.
주의 문항 — 상 3문항과 중상 9문항
17번 상 (복소수의 거듭제곱) — i의 주기 계산에 사칙연산이 겹칩니다.
19번 상 (나누어떨어질 조건) — 계수 비교법과 곱셈 공식 변형이 함께 들어간 복합형입니다.
21번 상 (나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈) — 수를 다항식으로 바꿔 보는 발상이 필요한 단답형입니다.
9번 중상 (f(ax+b)=0의 근) — 치환 대응을 세우면 풀리지만 처음 보면 막힙니다.
10번 중상 (잘못 보고 푼 이차방정식) — 어느 계수가 살아 있는지 헷갈리기 쉽습니다.
11번 중상 (인수분해와 삼각형의 모양) — 인수분해 결과를 도형 결론으로 옮겨야 합니다.
13번 중상 (음수의 제곱근의 성질) — 부호 예외를 놓치면 그대로 틀립니다.
14번 중상 (복소수와 나머지) — 관계식으로 차수를 낮추는 절차가 필요합니다.
15번 중상 (몫과 나머지의 변형) — A=BQ+R을 다시 묶는 조작입니다.
16·18·22번 중상 (제한된 범위 최대·최소) — 세 문항이 같은 뿌리입니다.
중상 이상 12문항 중 9번 이후에 있는 것이 11개입니다. 앞 8문항을 빠르게 지나가는 것이 유일한 해법입니다.
영훈고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서
- 다항식의 사칙연산 — 1번 대비. 확보 구간.
- ★ 곱셈 공식의 변형 — 4·9·12·19번. 두 문자·세 문자 버전 모두.
- 다항식의 나눗셈 A=BQ+R — 7·15번의 토대.
- 몫과 나머지의 변형 — 15번 대비. 나누는 식이 바뀔 때의 조작.
- 계수 비교법과 항등식 — 7·18·19번 대비.
- 공통부분이 있는 다항식의 인수분해 — 3번 대비. 확보 구간.
- 다항식이 나누어떨어질 조건 — 5·19번 대비.
- 인수분해와 삼각형의 모양 — 11번 대비.
- ★ 나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈 — 21번 대비. 유형을 모르면 못 풂.
- 켤레복소수의 성질 — 8·20번 대비. 확보 구간.
- 음수의 제곱근의 성질 — 13번 대비. 부호 예외 확인.
- 복소수를 근으로 갖는 이차식과 나머지 — 14번 대비.
- i의 거듭제곱 주기 — 17번 대비.
- 이차방정식의 근의 판별 — 2·13번 대비.
- 잘못 보고 푼 이차방정식 — 10번 대비. 유형 암기.
- f(x)=0의 근으로 f(ax+b)=0의 근 구하기 — 9번 대비.
- ★ 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 — 16·18·22번. 배점이 가장 무거운 유형.
자주 나오는 질문
영훈고 1학년 1학기 중간 수학은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 1~19번은 선택형, 20~22번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 02 나머지 정리와 인수분해가 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 복소수 5문항, 다항식의 연산 4문항, 이차방정식과 이차함수 4문항, 이차방정식 3문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 17·19·21번 세 문항입니다. 특히 21번은 나머지 정리를 수의 나눗셈에 적용하는 문항이라 유형을 모르면 손대기 어렵습니다.
어떤 단원부터 공부해야 하나요?
제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소부터입니다. 16·18·22번 세 문항이 걸려 있어 회수가 가장 큽니다. 그다음이 곱셈 공식의 변형(4·9·12·19번)입니다.
난이도가 갑자기 올라가는 지점이 있나요?
9번부터입니다. 1~8번은 하와 중만 나오다가 9번에서 중상이 시작되고, 이후 22번까지 열네 문항 중 열두 문항이 중상 이상입니다.
과년도 영훈고 기출도 볼 수 있나요?
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