강서고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)

강서고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 5문항으로 많다는 점, 그리고 나머지 정리와 인수분해 한 단원에서만 10문항이 나왔다는 점입니다. 전체의 42%가 한 단원에 몰렸습니다.

핵심 요약

• 24문항 — 1~20번은 선택형, 21~24번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 6 / 중상 9 / 상 5
• 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 10 / 03 복소수 5 / 06 여러 가지 방정식 4 / 05 이차방정식과 이차함수 3 / 04 이차방정식 2
• 최다 반복 유형: 복소수의 거듭제곱 4회(5·11·18·20번), 이차식으로 나누었을 때의 나머지 3회(12·13·24번)
• 상 난이도 5문항이 17·19·20·22·24번으로 뒤쪽에 집중

강서고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

강서고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 24문항입니다. 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21~24번 네 문항은 답을 직접 써야 하는 형태입니다.

문항 수 24개는 고1 중간고사 중에서도 많은 편입니다. 그런데 하 난이도가 4문항뿐입니다. 확보 구간이 1·2·3·5번 네 개밖에 없다는 뜻입니다. 그리고 중상 9문항 + 상 5문항 = 14문항, 전체의 58% 가 한 번에 풀리지 않습니다.

배치를 보면 7번에서 처음 중상이 나오고, 10번 이후로는 중 난이도가 15·21번 둘뿐입니다. 사실상 10번부터 24번까지 열다섯 문항이 계속 중상 이상인 구조입니다. 시간 관리가 이 시험의 첫 번째 과제입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항, 하 4문항

상이 하보다 많습니다. 상 5문항, 하 4문항입니다. 고1 첫 중간고사에서 흔치 않은 분포입니다.

상 5문항의 위치가 17·19·20·22·24번이라는 점도 중요합니다. 전부 뒷부분입니다. 그중 22번과 24번은 답을 직접 쓰는 문항이라 부분점수 외에는 건질 방법이 없습니다.

반대로 1~5번 중 넷이 하입니다. 여기서 5분 이내로 끊고 넘어가는 훈련이 필요합니다.

출제 단원 — 나머지 정리와 인수분해가 10문항

02 나머지 정리와 인수분해가 10문항, 전체의 42% 입니다. 이 시험은 사실상 나머지 정리 단원 시험이라고 봐도 됩니다. 그리고 이 10문항 중 중상이 5개(7·12·13·14·16번), 상이 1개(24번) 입니다.

주목할 점이 하나 더 있습니다. 시험지에 표기된 범위 이름은 "다항식의 연산부터 이차방정식과 이차함수까지"인데, 실제로는 06 여러 가지 방정식에서 4문항이 나왔습니다. 3·10·18·22번이 그것입니다. 반대로 01 다항식의 연산 단원으로 분류되는 문항은 한 개도 없습니다. 곱셈 공식이나 다항식의 나눗셈 자체를 묻기보다 인수분해와 나머지 정리 쪽으로 무게를 옮긴 출제입니다. 범위 표만 보고 준비하면 삼차·사차방정식에서 4문항을 통째로 놓칩니다.

시그니처 유형 — "복소수의 거듭제곱" 4회

이 시험에서 가장 많이 반복된 도구는 복소수의 거듭제곱입니다. 5·11·18·20번 네 문항에서 쓰였습니다.

• 5번(하) — 사칙연산과 함께 나온 기본형
• 11번(중상) — 켤레복소수 계산 · 삼차방정식의 허근 성질과 결합
• 18번(중상) — x³=1, x³=-1의 허근 ω의 성질
• 20번(상) — i의 거듭제곱 · z가 실수가 되기 위한 조건과 결합

i의 거듭제곱은 4주기, ω의 거듭제곱은 3주기입니다. 이 두 주기를 정확히 구분하는 것이 네 문항의 공통 열쇠입니다.

여기에 다음 유형들이 세 번씩 겹칩니다.

• 이차식으로 나누었을 때의 나머지 — 12·13·24번
• 계수 비교법 — 2·14·15번
• 이차방정식의 근과 계수의 관계로 식의 값 구하기 — 1·8·16번
• 복소수 z 또는 z²이 실수가 되기 위한 조건 — 9·17·20번

이차식으로 나눈 나머지 3회(12·13·24번) 가 특히 중요합니다. 나머지가 일차식 ax+b라는 것을 먼저 놓고 A = BQ + (ax+b)로 세운 뒤, 나누는 이차식의 근을 대입해 a, b를 찾는 절차가 전부입니다. 24번은 여기에 복소수까지 들어가 상 난이도가 됐습니다.

두 번씩 겹친 유형도 있습니다.

• 항등식의 성질 — 2·16번
• 조립제법 — 3·22번
• 이차함수의 그래프와 직선의 교점 — 8·23번
• 인수분해된 (일차식)×(이차식) 꼴 방정식의 풀이 — 10·22번
• 삼차방정식의 근의 판별 — 10·22번
• 수치 대입법 — 15·16번
• 허수단위 i의 거듭제곱 — 17·20번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 나머지 정리와 인수분해 (2·6·7·12·13·14·15·16·21·24번) — 10문항

2번 하 항등식의 성질 · 계수 비교법, 6번 중 세 문자 곱셈 공식 a³+b³+c³-3abc의 인수분해, 7번 중상 P(ax+b)를 x-α로 나눈 나머지, 12번 중상 이차식으로 나눈 나머지, 13번 중상 이차식으로 나눈 나머지 · f(0)=f(a)=f(2a)=k인 삼차식, 14번 중상 이차식으로 나누어떨어지는 다항식, 15번 중 수치 대입법, 16번 중상 항등식의 성질 · 수치 대입법, 21번 중 x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해, 24번 상 이차식으로 나눈 나머지 · 복소수.

7번의 "P(ax+b)를 x-α로 나눈 나머지" 가 첫 고비입니다. P(2x-1)을 x-1로 나눈 나머지를 묻는 식인데, x=1을 대입하면 P(1)이 된다는 대응을 놓치면 헤맵니다. 겉보기보다 한 줄로 끝나는 문항입니다.

13번의 "f(0)=f(a)=f(2a)=k를 만족시키는 삼차식" 은 특수 유형입니다. 세 점에서 같은 값 k를 가지므로 f(x)-k가 x, x-a, x-2a를 인수로 갖는다는 발상이 열쇠입니다. 이 한 줄을 모르면 접근 자체가 안 됩니다.

21번의 "x⁴+ax²+b 꼴 인수분해" 는 복이차식입니다. x²=t로 치환하거나 완전제곱식을 만든 뒤 합차 공식으로 쪼개는 두 가지 길이 있습니다. 단답형이라 계산 정확도가 필요합니다.

24번은 이 시험의 최고 난도 중 하나입니다. 이차식으로 나눈 나머지에 복소수 조건이 얹혔고, 답 자체가 허수 형태로 나옵니다.

2. 복소수 (5·9·11·17·20번) — 5문항

5번 하 복소수의 사칙연산 · 거듭제곱, 9번 중 켤레복소수의 성질 · z 또는 z²이 실수가 될 조건, 11번 중상 켤레복소수의 계산 · 삼차방정식의 허근 성질 · 거듭제곱, 17번 상 i의 거듭제곱 · 나머지 분류 · z가 실수가 될 조건, 20번 상 복소수의 거듭제곱 · z가 실수가 될 조건 · i의 거듭제곱.

"z 또는 z²이 실수가 되기 위한 조건"이 9·17·20번 세 문항에 걸쳐 있습니다. z = a+bi일 때 z가 실수 ⇔ b=0, z²이 실수 ⇔ ab=0, z가 순허수 ⇔ a=0이고 b≠0 — 이 세 줄을 정확히 구분해야 합니다.

17번은 i의 거듭제곱을 나머지로 분류해 경우의 수를 세는 문항입니다. 지수를 4로 나눈 나머지에 따라 값이 1, i, -1, -i로 갈리므로, 조건을 만족하는 지수의 개수를 세는 구조입니다. 상 난이도인 이유는 주기 계산과 경우의 수가 겹쳐서입니다.

3. 여러 가지 방정식 (3·10·18·22번) — 4문항

3번 하 삼차·사차방정식의 풀이 · 조립제법, 10번 중상 인수분해된 (일차식)×(이차식) 꼴 방정식의 풀이 · 삼차방정식의 근의 판별 · 여러 문자를 포함한 인수분해, 18번 중상 x³=1, x³=-1의 허근의 성질 · 복소수의 거듭제곱, 22번 상 삼차방정식의 근의 판별 · (일차식)×(이차식) 꼴 풀이 · 조립제법.

10번과 22번이 짝입니다. 둘 다 삼차방정식을 (일차식)×(이차식)으로 인수분해한 뒤 이차식 쪽의 판별식으로 근의 개수를 따집니다. 실근이 하나뿐이려면 이차식이 허근을 갖거나 일차식의 근과 중복되어야 하는데, 이 중복 경우를 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실수입니다.

18번의 ω 성질은 x³=1의 허근 ω에 대해 ω³=1, ω²+ω+1=0 두 줄이 전부입니다. 이 두 식으로 차수를 낮추면 됩니다.

4. 이차방정식과 이차함수 (8·19·23번) — 3문항

8번 중 이차함수의 그래프와 직선의 교점 · 근과 계수의 관계, 19번 상 절댓값 기호가 포함된 이차함수의 최대·최소 · 제한된 범위에서의 최대·최소, 23번 중상 이차함수의 그래프와 직선의 교점 · 근호를 포함한 방정식.

19번이 이 시험에서 가장 까다로운 문항입니다. 절댓값이 들어간 이차함수는 절댓값 안의 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나눠 그래프를 그리는 것이 정석입니다. 여기에 정의역까지 제한되면 경우가 늘어납니다. 그림을 정확히 그리지 않으면 최댓값 위치를 놓칩니다.

23번은 교점 조건에 근호가 들어간 방정식이 겹쳤습니다. 근호를 없애기 위해 양변을 제곱하면 무연근이 생기므로 반드시 검산해야 합니다. 답이 분수 형태의 단답이라 정확도가 중요합니다.

5. 이차방정식 (1·4번) — 2문항

1번 하 이차방정식의 켤레근 · 근과 계수의 관계, 4번 중 절댓값 기호를 포함한 방정식 · 이차방정식의 풀이.

1번은 켤레근 성질 하나로 끝납니다. 계수가 실수일 때 한 근이 a+bi면 다른 근은 a-bi입니다.

4번은 절댓값 방정식입니다. 절댓값 안이 0이 되는 지점을 기준으로 구간을 나누고, 각 구간에서 구한 해가 그 구간에 실제로 속하는지 확인하는 절차가 필요합니다. 이 확인을 건너뛰면 틀립니다. 참고로 19번의 절댓값 이차함수와 같은 뿌리입니다.

주의 문항 — 상 5문항

17번 상 (i의 거듭제곱과 나머지 분류) — 4주기와 경우의 수가 겹칩니다.

19번 상 (절댓값 이차함수의 최대·최소) — 구간 나누기와 그래프가 필요합니다.

20번 상 (복소수의 거듭제곱) — 실수가 될 조건과 주기가 함께 걸렸습니다.

22번 상 (삼차방정식의 근의 판별) — 중복근 경우를 빠뜨리기 쉬운 단답형입니다.

24번 상 (이차식으로 나눈 나머지 · 복소수) — 나눗셈 항등식에 복소수가 얹혔습니다.

중상 9문항 중에서도 12·13·14·16번 네 개가 연달아 붙어 있습니다. 전부 나머지 정리 단원입니다. 이 구간에서 페이스가 무너지면 17번 이후를 볼 시간이 없습니다.

강서고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 항등식의 성질과 계수 비교법 — 2·14·15·16번. 확보 구간에서 시작.
2. 수치 대입법 — 15·16번 대비. 계수 비교와 어느 쪽이 빠른지 판단.
3. ★ 이차식으로 나누었을 때의 나머지 — 12·13·24번. 최우선 유형.
4. P(ax+b)를 x-α로 나눈 나머지 — 7번 대비. 대응 관계 하나.
5. f(0)=f(a)=f(2a)=k인 삼차식 — 13번 대비. 유형을 모르면 못 풂.
6. 이차식으로 나누어떨어지는 다항식 — 14번 대비.
7. 세 문자 곱셈 공식 a³+b³+c³-3abc — 6번 대비.
8. x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해 — 21번 대비. 치환 또는 합차 공식.
9. 조립제법과 삼차·사차방정식의 풀이 — 3·22번 대비.
10. ★ 삼차방정식의 근의 판별 — 10·22번 대비. 중복근 경우 확인.
11. 복소수의 사칙연산과 켤레복소수 — 5·9·11번의 토대.
12. z, z²이 실수가 되기 위한 조건 — 9·17·20번 대비.
13. ★ i의 거듭제곱(4주기) — 17·20번 대비.
14. ★ x³=1의 허근 ω의 성질(3주기) — 11·18번 대비.
15. 이차방정식의 켤레근과 근과 계수의 관계 — 1·8·16번 대비.
16. 절댓값 기호를 포함한 방정식 — 4번 대비. 구간별 해 확인.
17. ★ 절댓값 이차함수의 최대·최소 — 19번 대비. 그래프 필수.
18. 이차함수와 직선의 교점, 근호를 포함한 방정식 — 8·23번 대비. 무연근 검산.

자주 나오는 질문

강서고 1학년 1학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~20번은 선택형, 21~24번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

02 나머지 정리와 인수분해가 10문항으로 압도적입니다. 전체의 42%입니다. 이어서 복소수 5문항, 여러 가지 방정식 4문항, 이차방정식과 이차함수 3문항, 이차방정식 2문항입니다.

범위에 삼차·사차방정식이 포함되나요?

시험지 범위 표기는 이차방정식과 이차함수까지지만, 실제로는 여러 가지 방정식 단원에서 4문항(3·10·18·22번)이 나왔습니다. 삼차·사차방정식의 풀이와 근의 판별, ω의 성질까지 준비해야 합니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 5문항(17·19·20·22·24번) 으로 많습니다. 특히 19번(절댓값 이차함수의 최대·최소)과 24번(이차식으로 나눈 나머지와 복소수)이 까다롭습니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

나머지 정리와 인수분해부터입니다. 10문항이 걸려 있어 다른 어떤 단원보다 회수가 큽니다. 그중에서도 이차식으로 나눈 나머지(12·13·24번)를 먼저 잡으세요.

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