신서고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)

신서고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 다항식의 연산부터 이차방정식과 이차함수까지입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 한 문항도 없다는 점, 그리고 그 대신 중 10문항 · 중상 8문항으로 중간 구간이 두껍게 깔려 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 8 / 상 0
• 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 6 / 01 다항식의 연산 5 / 03 복소수 5 / 05 이차방정식과 이차함수 4 / 04 이차방정식 2
• 복소수가 5문항 — 켤레복소수 관련이 특히 촘촘함
• 답을 직접 쓰는 4문항 중 19번이 하, 20·21번이 중

신서고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

신서고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 써야 하는 형태입니다.

상 난이도가 한 문항도 없습니다. 이것이 이 시험의 성격을 결정합니다. 손도 못 댈 문항은 없다는 뜻이지만, 반대로 중 10문항에서 하나씩 흘리면 그대로 등급이 갈립니다. 킬러 한 문항을 버리고 나머지를 지키는 전략이 통하지 않는 시험입니다.

또 하나 눈여겨볼 점은 답을 직접 쓰는 네 문항의 난이도가 낮은 편이라는 것입니다. 19번이 하, 20·21번이 중, 22번만 중상입니다. 보통 서술형 구간이 가장 어렵기 마련인데 신서고는 반대입니다. 시간이 부족해 19~22번을 못 푸는 것이 가장 큰 손해가 되는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 10문항

중 10문항이 절반에 가깝습니다. 그리고 이 열 문항이 3~21번에 고르게 흩어져 있습니다. 어느 한 구간을 버릴 수 없다는 뜻입니다.

중상 8문항(9·10·12·15·16·17·18번과 22번) 중 일곱 개가 선택형 후반에 몰려 있습니다. 9번부터 18번 사이에서 중상 일곱 개를 만나게 됩니다.

하 4문항(1·2·6·19번) 은 확보 구간입니다. 특히 19번이 서술형인데 하 난이도이니 반드시 챙기세요.

출제 단원 — 나머지 정리와 인수분해 6문항

02 나머지 정리와 인수분해가 6문항으로 최다입니다. 그중 12·15·17번이 중상입니다.

주목할 것은 03 복소수가 5문항이라는 점입니다. 같은 시기 인근 학교들과 비교해도 복소수 비중이 높은 편입니다. 4·9·11·18·20번 다섯 문항이고, 그중 9·18번이 중상입니다. 그리고 이 다섯 문항이 켤레복소수를 중심으로 촘촘히 연결돼 있습니다.

01 다항식의 연산 5문항 중 1·2·6번은 하와 중이지만 22번이 중상입니다. 05 이차방정식과 이차함수는 4문항으로 상대적으로 적습니다.

시그니처 — 복소수 다섯 문항의 연결

이 시험에서 가장 촘촘하게 엮인 구간은 복소수 5문항입니다.

• 4번(중) — 음수의 제곱근의 성질 · 계산
• 9번(중상) — i의 거듭제곱 · 사칙연산 · z 또는 z²이 실수가 될 조건
• 11번(중) — z 또는 z²이 실수가 될 조건 · 켤레복소수의 계산 · 조건을 만족시키는 복소수
• 18번(중상) — 켤레복소수의 성질 · 복소수가 주어질 때의 식의 값 · 켤레복소수의 계산
• 20번(중) — 복소수가 서로 같을 조건 · 켤레복소수의 성질 · 조건을 만족시키는 복소수 (서술형)

"z 또는 z²이 실수가 되기 위한 조건"이 9·11번 두 문항, 켤레복소수 관련이 11·18·20번 세 문항에 걸쳐 있습니다.

정리해야 할 것은 세 줄입니다. z = a+bi (a, b는 실수)일 때 z가 실수 ⇔ b = 0, z²이 실수 ⇔ ab = 0, z가 순허수 ⇔ a = 0이고 b ≠ 0. 여기에 켤레복소수의 합은 실수(2a), 곱도 실수(a²+b²) 라는 성질을 더하면 다섯 문항의 재료가 거의 다 모입니다.

4번의 "음수의 제곱근의 성질" 은 별도로 챙겨야 합니다. a < 0이고 b < 0이면 √a·√b = -√(ab) 라는 예외 규칙입니다.

다른 반복 유형도 있습니다.

• 나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈 — 5·17번
• 다항식의 나눗셈 A=BQ+R — 6·15번
• 근과 계수의 관계로 식의 값 구하기 — 10·13번
• 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 — 16·21번

5번과 17번의 "나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈" 이 특이합니다. 큰 수의 거듭제곱을 어떤 수로 나눈 나머지를 구할 때 그 수를 x로 두고 다항식의 나머지 정리를 쓰는 발상입니다. 두 번 나왔으니 반드시 익혀두세요.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 나머지 정리와 인수분해 (3·8·12·15·17·19번) — 6문항

3번 중 인수 정리를 이용한 인수분해 · 일차식으로 나누어떨어지는 다항식, 8번 중 수치 대입법 · 항등식의 성질, 12번 중상 공통부분이 있는 인수분해 · 인수분해와 삼각형의 모양, 15번 중상 이차식으로 나눈 나머지 · A=BQ+R, 17번 중상 나누어떨어질 조건 · x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해 · 나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈, 19번 하 인수분해를 이용한 복잡한 수의 계산 (서술형).

19번이 서술형인데 하 난이도입니다. 큰 수를 문자로 치환해 인수분해로 정리하는 유형이고, 답이 깔끔한 네 자리 수로 떨어집니다. 서술형 네 문항 중 가장 확실한 점수입니다.

12번의 "인수분해와 삼각형의 모양" 은 a, b, c에 대한 관계식을 인수분해해서 (a-b)(b-c)=0 같은 꼴을 만들고 두 변이 같다는 결론을 끌어냅니다. 공통부분 치환과 함께 쓰였습니다.

15번은 이차식으로 나눈 나머지입니다. 나머지를 ax+b로 놓고 나누는 이차식의 두 근을 대입해 a, b를 찾는 절차가 표준입니다.

17번의 "x⁴+ax²+b 꼴 인수분해" 는 복이차식입니다. x²=t로 치환하거나 완전제곱식을 만든 뒤 합차 공식으로 쪼개는 두 가지 길이 있습니다.

2. 다항식의 연산 (1·2·6·7·22번) — 5문항

1번 하 다항식의 덧셈과 뺄셈, 2번 하 전개식에서 계수 구하기 · 곱셈 공식을 이용한 전개, 6번 하 다항식의 나눗셈; 몫과 나머지 · A=BQ+R, 7번 중 곱셈 공식의 변형; x²+y², x³+y³ · 도형에의 활용, 22번 중상 곱셈 공식의 변형; a²+b²+c², a³+b³+c³ · 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대·최소 · 조건을 만족시키는 이차식의 최대·최소.

1·2·6번이 전부 하입니다. 시험지 앞부분에서 시간을 아낄 수 있는 구간입니다.

22번이 이 시험의 마지막 문항이자 서술형 중 유일한 중상입니다. (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) 라는 변형 공식으로 값을 구한 뒤, 완전제곱식으로 정리해 최댓값 또는 최솟값을 찾는 2단 구조입니다. 곱셈 공식과 이차식의 최대·최소가 한 문항에서 만납니다.

7번은 도형 조건에서 x+y와 xy를 읽어낸 뒤 x²+y²이나 x³+y³을 만드는 유형입니다.

3. 복소수 (4·9·11·18·20번) — 5문항

4번 중 음수의 제곱근의 성질 · 계산, 9번 중상 i의 거듭제곱 · 사칙연산 · z가 실수가 될 조건, 11번 중 z가 실수가 될 조건 · 켤레복소수의 계산 · 조건을 만족시키는 복소수, 18번 중상 켤레복소수의 성질 · 복소수가 주어질 때의 식의 값 · 켤레복소수의 계산, 20번 중 복소수가 서로 같을 조건 · 켤레복소수의 성질 · 조건을 만족시키는 복소수 (서술형).

9번의 i의 거듭제곱은 4주기입니다. 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 값이 1, i, -1, -i 중 하나로 정해집니다.

18번의 "복소수가 주어질 때의 식의 값" 은 특정 복소수 z가 주어지고 z에 관한 식의 값을 구하는 유형입니다. z에서 관계식(예: z² = 2z - 2)을 뽑아 차수를 낮추는 방법이 계산량을 크게 줄입니다.

20번은 서술형입니다. 두 복소수가 같으려면 실수부끼리, 허수부끼리 각각 같다는 조건에서 실수 방정식 두 개가 나옵니다. 답이 근호 형태로 떨어지므로 마지막 정리까지 정확해야 합니다.

4. 이차방정식과 이차함수 (13·14·16·21번) — 4문항

13번 중 그래프와 직선의 교점 · 근과 계수의 관계, 14번 중 그래프와 직선의 위치 관계 · x축과의 위치 관계 · 접하는 직선의 방정식, 16번 중상 제한된 범위에서의 최대·최소 · 최대·최소, 21번 중 최대·최소의 활용 · 제한된 범위에서의 최대·최소 (서술형).

13번과 14번 모두 판별식이 핵심입니다. 교점의 x좌표는 두 식을 연립한 이차방정식의 근이고, 위치 관계는 그 판별식의 부호로 결정됩니다. D > 0이면 두 점에서 만남, D = 0이면 접함, D < 0이면 만나지 않음입니다.

16번의 "제한된 범위에서의 최대·최소" 는 꼭짓점이 구간 안인지 밖인지만 확인하면 됩니다. 밖이면 양 끝값 두 개만 비교합니다.

21번은 서술형인데 중 난이도입니다. 가격이나 판매량 같은 현실 조건에서 이익이 최대가 되는 값을 찾는 활용형이고, 답이 금액 단위로 나옵니다. 변수를 하나로 줄여 이차식을 만든 뒤 완전제곱식으로 정리하는 표준 흐름입니다.

5. 이차방정식 (5·10번) — 2문항

5번 중 이차식의 인수분해 · 이차방정식의 풀이 · 나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈, 10번 중상 근의 판별 · 계수의 조건이 주어진 근의 판별 · 근과 계수의 관계.

10번은 계수에 조건이 붙은 판별식 문제입니다. 계수가 특정 관계를 만족할 때 근이 어떤 성질을 갖는지 따지는 구조라, 판별식을 계산한 뒤 부호를 결정하는 추가 단계가 필요합니다.

주의 문항 — 중상 8문항

9번 중상 (i의 거듭제곱과 실수 조건) — 주기와 조건 판정이 겹칩니다.

10번 중상 (계수 조건이 주어진 근의 판별) — 판별식의 부호를 결정하는 단계가 추가됩니다.

12번 중상 (인수분해와 삼각형의 모양) — 인수분해 결과를 도형 결론으로 옮겨야 합니다.

15번 중상 (이차식으로 나눈 나머지) — 나머지를 ax+b로 놓는 정석 절차입니다.

16번 중상 (제한된 범위 최대·최소) — 꼭짓점 위치로 경우를 나눕니다.

17번 중상 (나누어떨어질 조건과 복이차식) — 세 유형이 한 문항에 들어갔습니다.

18번 중상 (켤레복소수와 식의 값) — 관계식으로 차수를 낮추는 것이 관건입니다.

22번 중상 (곱셈 공식 변형과 최대·최소) — 마지막 서술형입니다.

상 난이도가 없으므로 이 여덟 문항이 실질적인 최고 난도입니다. 그리고 9~18번 구간에 일곱 개가 몰려 있습니다. 1~8번을 빠르게 통과해 이 구간에 시간을 몰아주는 것이 유일한 전략입니다.

신서고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 다항식의 사칙연산과 전개 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 다항식의 나눗셈; 몫과 나머지 — 6번 대비. 확보 구간.
3. 곱셈 공식의 변형(두 문자·세 문자) — 7·22번 대비.
4. 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대·최소 — 22번 대비. 서술형.
5. 인수 정리와 일차식으로 나누어떨어지는 다항식 — 3번 대비.
6. 수치 대입법과 항등식의 성질 — 8번 대비.
7. 인수분해를 이용한 복잡한 수의 계산 — 19번 대비. 서술형 확보 문항.
8. 공통부분이 있는 인수분해와 삼각형의 모양 — 12번 대비.
9. ★ 이차식으로 나누었을 때의 나머지 — 15번 대비.
10. x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해 — 17번 대비.
11. ★ 나머지 정리를 활용한 수의 나눗셈 — 5·17번 대비. 두 번 나온 유형.
12. 음수의 제곱근의 성질 — 4번 대비. 부호 예외 확인.
13. ★ z, z²이 실수가 되기 위한 조건 — 9·11번 대비.
14. ★ 켤레복소수의 성질과 계산 — 11·18·20번 대비. 복소수 5문항의 중심.
15. i의 거듭제곱(4주기) — 9번 대비.
16. 이차방정식의 근의 판별 — 10·13·14번의 공통 재료.
17. 이차함수와 직선의 교점·위치 관계 — 13·14번 대비.
18. 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 — 16·21번 대비. 21번은 서술형.

자주 나오는 질문

신서고 1학년 1학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 8문항(9·10·12·15·16·17·18·22번)이고, 그중 일곱 개가 9~18번 구간에 몰려 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 02 나머지 정리와 인수분해가 6문항으로 가장 많고, 다항식의 연산과 복소수가 각 5문항입니다. 이차방정식과 이차함수 4문항, 이차방정식 2문항입니다.

복소수 비중이 높은 편인가요?

5문항으로 높은 편입니다. 특히 켤레복소수 관련이 11·18·20번 세 문항, z나 z²이 실수가 될 조건이 9·11번 두 문항에 걸쳐 있습니다. 복소수 단원 정리가 점수에 직결됩니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

19번 인수분해를 이용한 수의 계산(하), 20번 복소수가 서로 같을 조건(중), 21번 이차함수 최대·최소의 활용(중), 22번 곱셈 공식의 변형과 최대·최소(중상) 입니다. 서술형 난이도가 낮은 편이라 시간이 부족해 못 푸는 것이 가장 큰 손해입니다.

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