양천고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)

양천고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위는 다항식의 연산부터 이차방정식과 이차함수까지입니다. 이 시험의 가장 실용적인 특징은 답을 직접 쓰는 첫 두 문항(16·17번)이 하 난이도라는 점입니다. 선택형 후반이 어려워도 서술형 앞부분에서 점수를 회수할 수 있는 구조입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~15번은 선택형, 16~21번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 3 / 중 4 / 중상 8 / 상 6
• 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 6 / 05 이차방정식과 이차함수 4 / 03 복소수 4 / 01 다항식의 연산 4 / 04 이차방정식 3
• 최다 반복 유형: 다항식의 나눗셈 A=BQ+R 3회(10·12·14번)
• 16·17번이 하 난이도 서술형 — 반드시 확보할 구간

양천고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~15번은 선택형, 16~21번 여섯 문항은 답을 직접 써야 하는 형태입니다.

서술형이 여섯 문항으로 많은 편입니다. 그런데 난이도 구성이 흥미롭습니다. 16번 하, 17번 하, 18번 중상, 19번 상, 20번 상, 21번 중상입니다. 앞의 두 문항이 하 난이도라 서술형 구간에 들어가면 확실한 점수 두 개가 먼저 기다립니다.

반면 선택형은 뒤로 갈수록 가혹합니다. 10번 상, 11번 중상, 12번 상, 13번 상, 14번 중상, 15번 상입니다. 10~15번 여섯 문항 중 네 개가 상입니다.

전략은 명확합니다. 1~9번을 빠르게 처리한 뒤, 10~15번에서 붙들리지 말고 16·17번으로 넘어가 확보한 다음, 남는 시간으로 상 난이도를 공략합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 6문항, 중상 8문항

중상 8 + 상 6 = 14문항, 전체의 67% 가 한 번에 풀리지 않습니다.

하 3문항이 1번, 16번, 17번이라는 배치가 독특합니다. 1번은 이차함수의 최대·최소, 16번은 다항식의 덧셈과 뺄셈, 17번은 제한된 범위에서의 최대·최소 활용입니다. 세 문항 모두 계산 절차가 정해져 있어 실수만 없으면 되는 문항입니다.

중 4문항(2·3·4·6번) 까지 합하면 확보 가능한 구간은 일곱 문항입니다. 이 일곱 개를 시험 시간의 3분의 1 안에 끝내는 것이 목표입니다.

출제 단원 — 나머지 정리와 인수분해 6문항

02 나머지 정리와 인수분해가 6문항으로 최다입니다. 그중 10번이 상, 8·18·21번이 중상입니다.

01 다항식의 연산 4문항 중 12번과 19번이 상입니다. 다항식의 연산이 "쉬운 앞 단원"이 아니라는 점을 보여줍니다. 16번(하)을 제외하면 나머지 셋이 중상 이상입니다.

05 이차방정식과 이차함수 4문항 중 13번이 상이고, 03 복소수 4문항 중 20번이 상, 04 이차방정식 3문항 중 15번이 상입니다.

상 6문항이 네 단원에 흩어져 있어 특정 단원만 파서 피할 수 없습니다.

시그니처 유형 — "A = BQ + R" 3회

이 시험을 관통하는 도구는 다항식의 나눗셈 항등식 A = BQ + R입니다. 10·12·14번 세 문항에서 쓰였습니다.

• 10번(상) — 수치 대입법 · A=BQ+R · 몫과 나머지
• 12번(상) — A=BQ+R · 나누어떨어질 조건 · x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해
• 14번(중상) — A=BQ+R · 일차식으로 나눈 나머지

세 문항 중 둘이 상입니다. 이 유형이 이 시험에서 가장 무겁게 다뤄졌다는 뜻입니다. A = BQ + R을 세우고, 적절한 값을 대입하거나 계수를 맞춘다 — 이 절차가 공통 뼈대입니다.

다음 유형들도 두 번씩 겹칩니다.

• 이차함수의 최대·최소 — 1·13번
• x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해 — 2·12번
• 조립제법 — 4·18번
• 근과 계수의 관계로 식의 값 구하기(기본·응용) — 5·15번
• 이차방정식의 근의 판별 — 6·20번
• 다항식이 나누어떨어질 조건 — 8·12번
• 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소 — 13·17번
• 일차식으로 나누었을 때의 나머지 — 14·21번

5번과 15번의 관계가 특히 중요합니다. 둘 다 근과 계수의 관계를 기본과 응용 두 층위로 씁니다. 5번은 중상, 15번은 상입니다. 5번을 완전히 이해하면 15번의 절반이 열립니다.

13번과 17번도 짝입니다. 둘 다 제한된 범위에서의 최대·최소인데, 17번은 하, 13번은 상입니다. 같은 유형인데 난이도 차이가 큰 이유는 13번에 조건을 만족시키는 이차함수를 먼저 찾는 단계가 붙어서입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 나머지 정리와 인수분해 (2·4·8·10·18·21번) — 6문항

2번 중 인수분해 공식 · x⁴+ax²+b 꼴 · 공통부분이 있는 인수분해, 4번 중 조립제법을 이용해 항등식의 미정계수 구하기 · 조립제법, 8번 중상 다항식이 나누어떨어질 조건 · 계수 비교법, 10번 상 수치 대입법 · A=BQ+R · 몫과 나머지, 18번 중상 인수 정리 · 조립제법 · 조건이 주어진 인수분해 (서술형), 21번 중상 이차식으로 나눈 나머지 · 항등식의 성질 · 일차식으로 나눈 나머지 (서술형).

2번의 "x⁴+ax²+b 꼴" 은 복이차식입니다. x²=t로 치환하거나, 완전제곱식을 만든 뒤 합차 공식으로 쪼개는 두 가지 길이 있습니다. 치환으로 인수분해가 안 되면 후자를 씁니다.

4번의 "조립제법으로 항등식의 미정계수 구하기" 는 다항식을 (x-a)의 거듭제곱 꼴로 전개할 때 계수를 조립제법 반복으로 얻는 유형입니다. 절차만 알면 빠르게 끝납니다.

10번이 상 난이도입니다. 수치 대입법으로 값을 얻고, 그 값을 나눗셈 항등식에 넣어 몫과 나머지를 결정하는 다단계 구조입니다.

21번은 서술형입니다. 나머지를 ax+b로 놓고 나누는 이차식의 근을 대입해 a, b를 찾는 절차가 표준이고, 일차식으로 나눈 나머지 조건이 재료로 주어집니다. 답이 정수 하나로 떨어집니다.

2. 이차방정식과 이차함수 (1·11·13·17번) — 4문항

1번 하 이차함수의 최대·최소, 11번 중상 그래프와 직선의 교점 · x축과의 교점, 13번 상 제한된 범위에서의 최대·최소 · 조건을 만족시키는 이차함수 · 최대·최소, 17번 하 제한된 범위에서의 최대·최소 · 최대·최소의 활용 (서술형).

1번은 완전제곱식으로 정리해 꼭짓점을 읽는 기본형입니다. 시험지 첫 문항이자 확보 문항입니다.

17번이 서술형인데 하 난이도입니다. 넓이나 이익이 최대가 되는 값을 찾는 활용형이고, 답이 세 자리 정수로 떨어집니다. 서술형 여섯 문항 중 가장 확실한 점수이니 반드시 챙기세요.

13번은 상입니다. 조건에서 이차함수를 확정하는 단계가 먼저 오고, 그다음 제한된 범위에서 최대·최소를 구합니다. 꼭짓점이 구간 안인지 밖인지로 경우를 나누는데, 미지수가 얹히면 경우가 늘어납니다.

11번은 교점 문제입니다. 교점의 x좌표는 두 식을 연립한 이차방정식의 근이므로, 교점 문제를 방정식 문제로 번역하면 됩니다.

3. 복소수 (3·7·9·20번) — 4문항

3번 중 복소수의 사칙연산 · 곱셈 공식의 변형; x²+y², x³+y³, 7번 중상 복소수의 거듭제곱 · 켤레복소수의 성질 · 복소수가 주어질 때의 식의 값, 9번 중상 z 또는 z²이 실수가 될 조건 · i의 거듭제곱 · 켤레복소수의 계산, 20번 상 음수의 제곱근의 성질 · 근의 판별 · 음수의 제곱근의 계산 (서술형).

9번의 세 줄 정리가 핵심입니다. z = a+bi (a, b는 실수)일 때 z가 실수 ⇔ b = 0, z²이 실수 ⇔ ab = 0, z가 순허수 ⇔ a = 0이고 b ≠ 0. 여기에 i의 거듭제곱은 4주기라는 성질이 함께 쓰입니다.

20번이 상 난이도 서술형입니다. 근호 안이 음수일 때의 예외 규칙, 즉 a < 0이고 b < 0이면 √a·√b = -√(ab), a > 0이고 b < 0이면 √a/√b = -√(a/b) 를 정확히 적용해야 합니다. 여기에 근의 판별까지 얹혀 있고, 답이 복소수 형태로 나옵니다. 부호 하나가 틀리면 답 전체가 어긋납니다.

7번의 "복소수가 주어질 때의 식의 값" 은 z에서 관계식(예: z² = 2z - 2)을 뽑아 차수를 낮추는 방법이 계산량을 크게 줄입니다.

4. 다항식의 연산 (12·14·16·19번) — 4문항

12번 상 A=BQ+R · 나누어떨어질 조건 · x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해, 14번 중상 A=BQ+R · 일차식으로 나눈 나머지, 16번 하 다항식의 덧셈과 뺄셈 (서술형), 19번 상 곱셈 공식의 변형; x²+1/x², x³+1/x³ · 공통부분이 있는 사차방정식의 풀이 · 도형에의 활용 (서술형).

16번은 서술형 첫 문항이자 하 난이도입니다. A와 B가 주어지고 A-B를 구하는 형태로, 답이 이차식으로 나옵니다. 동류항 정리만 정확하면 되는 문항이니 절대 놓치지 마세요.

19번은 상 난이도입니다. 역수 꼴 변형(x + 1/x) 이 핵심인데, 여기에 사차방정식 풀이와 도형 조건까지 얹혔습니다. 역수 꼴 변형은 두 줄입니다. x + 1/x를 제곱하면 x² + 1/x² + 2, 세제곱하면 x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x)입니다. 답이 근호를 포함한 형태로 나오므로 마지막 정리까지 정확해야 합니다.

12번은 A=BQ+R에 복이차식 인수분해가 결합된 상 난이도입니다.

5. 이차방정식 (5·6·15번) — 3문항

5번 중상 근과 계수의 관계로 식의 값 구하기(기본·응용), 6번 중 근의 판별 · 계수의 조건이 주어진 근의 판별, 15번 상 미정계수의 결정; 두 이차방정식이 주어진 경우 · 근과 계수의 관계(응용·기본).

5번과 15번이 같은 도구를 씁니다. 두 근의 합은 -b/a, 곱은 c/a이고, 여기서 α²+β² = (α+β)² - 2αβ, α³+β³ = (α+β)³ - 3αβ(α+β) 같은 값이 나옵니다.

15번이 상인 이유는 두 이차방정식이 함께 주어졌기 때문입니다. 두 방정식의 근 사이에 관계가 있을 때, 각각의 근과 계수의 관계를 세우고 연립해 미정계수를 찾습니다. 식을 세우는 순간 대부분 끝나지만, 어떤 관계를 쓸지 판단하는 데 시간이 걸립니다.

주의 문항 — 상 6문항

10번 상 (수치 대입법과 A=BQ+R) — 다단계 계산이라 시간이 걸립니다.

12번 상 (A=BQ+R와 복이차식) — 두 도구를 동시에 씁니다.

13번 상 (제한된 범위 최대·최소) — 이차함수를 먼저 확정하는 단계가 붙습니다.

15번 상 (두 이차방정식의 미정계수) — 어떤 관계를 세울지 판단이 필요합니다.

19번 상 (역수 꼴 변형과 사차방정식) — 서술형이고 답이 근호 형태입니다.

20번 상 (음수의 제곱근의 성질) — 부호 예외를 놓치면 전체가 틀립니다.

선택형 10~15번 중 네 개가 상입니다. 여기서 시간을 다 쓰면 16·17번(하 난이도 서술형) 을 놓치게 됩니다. 이 시험에서 가장 아까운 실점이 그것입니다.

양천고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 다항식의 덧셈과 뺄셈 — 16번 대비. 서술형 확보 문항.
2. 이차함수의 최대·최소 — 1번 대비. 확보 구간.
3. 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소의 활용 — 17번 대비. 서술형 확보 문항.
4. 인수분해 공식과 x⁴+ax²+b 꼴 — 2·12번 대비.
5. 조립제법과 항등식의 미정계수 — 4·18번 대비.
6. 인수 정리와 조건이 주어진 인수분해 — 18번 대비. 서술형.
7. ★ 다항식의 나눗셈 A=BQ+R — 10·12·14번. 이 시험의 시그니처.
8. 다항식이 나누어떨어질 조건 — 8·12번 대비.
9. 수치 대입법과 계수 비교법 — 8·10번 대비.
10. ★ 이차식으로 나누었을 때의 나머지 — 21번 대비. 서술형.
11. 복소수의 사칙연산과 켤레복소수 — 3·7·9번의 토대.
12. z, z²이 실수가 되기 위한 조건과 i의 거듭제곱 — 9번 대비.
13. ★ 음수의 제곱근의 성질 — 20번 대비. 상 난이도 서술형.
14. ★ 근과 계수의 관계(기본·응용) — 5·15번 대비.
15. 이차방정식의 근의 판별 — 6·20번 대비.
16. 미정계수의 결정; 두 이차방정식 — 15번 대비. 상 난이도.
17. 이차함수와 직선의 교점 — 11번 대비.
18. ★ 곱셈 공식의 변형; x²+1/x², x³+1/x³ — 19번 대비. 상 난이도 서술형.
19. 공통부분이 있는 사차방정식의 풀이 — 19번 대비. 치환.

자주 나오는 질문

양천고 1학년 1학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~15번은 선택형, 16~21번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

서술형이 많은 편인가요?

여섯 문항으로 많은 편입니다. 그런데 16번과 17번이 하 난이도입니다. 다항식의 덧셈·뺄셈과 이차함수 최대·최소의 활용이라 절차만 정확하면 확실한 점수입니다. 시간이 부족해 이 두 문항을 못 푸는 것이 가장 큰 손해입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 6문항(10·12·13·15·19·20번) 입니다. 특히 선택형 10~15번 중 네 개가 상이라 여기서 시간 관리가 중요합니다. 서술형 19·20번도 상입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 02 나머지 정리와 인수분해가 6문항으로 가장 많습니다. 이차방정식과 이차함수, 복소수, 다항식의 연산이 각 4문항, 이차방정식이 3문항입니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

다항식의 나눗셈 A=BQ+R부터입니다. 10·12·14번 세 문항에 걸쳐 있고 그중 둘이 상 난이도입니다. 그다음이 근과 계수의 관계(5·15번), 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소(13·17번)입니다.

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