여의도고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)

여의도고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 2025학년 기준 총 19문항입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 여섯 단원에 3~4문항씩 완벽하게 나눠 냈다는 점입니다. 다항식의 연산 3, 나머지 정리와 인수분해 4, 복소수 3, 이차방정식 3, 이차방정식과 이차함수 3, 여러 가지 방정식 3 — 버릴 단원이 하나도 없습니다.

핵심 요약

• 19문항 — 1~15번 선택형, 16~19번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 5 / 중상 6 / 상 4
• 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 4 / 01 다항식의 연산 3 / 03 복소수 3 / 04 이차방정식 3 / 05 이차방정식과 이차함수 3 / 06 여러 가지 방정식 3
• 최다 반복 유형: 이차방정식의 근의 판별 3회(5·9·10번)
• 가장 까다로운 구간: 18·19번 — 둘 다 상, 둘 다 여러 가지 방정식

여의도고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

여의도고등학교는 서울 영등포구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 19문항입니다. 정답 기록을 보면 1~15번은 선택형, 16~19번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

문항 수가 19개로 많지 않습니다. 그만큼 한 문항의 무게가 큽니다. 그런데 단원 배분은 여섯 개로 최대한 넓게 잡혀 있습니다. 범위 전체를 얕게라도 다 훑어야 하는 시험이라는 뜻입니다.

또 하나 특이한 점은 17번이 증명 서술형이라는 것입니다. 정답 기록을 보면 값이 아니라 논증 과정 자체가 답입니다. 계수가 실수인 이차방정식에서 p+qi가 근이면 p−qi도 근임을 보이는 켤레근 정리의 증명입니다. 답만 맞히는 연습으로는 대비가 안 되는 문항입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항

난이도가 번호순으로 거의 정확하게 올라갑니다. 1~4번 하, 5~7번 중, 8~13번 중상, 14·15번 상. 그리고 서술 구간에서 16·17번이 중으로 잠깐 내려왔다가 18·19번이 다시 상으로 올라갑니다.

이 구조는 시간 배분을 쉽게 만들어 줍니다. 1~7번을 10분 안에 끝내고 8~13번에 절반, 14·15번과 18·19번에 나머지를 쓰는 것이 표준 배분입니다.

16·17번이 중이라는 점을 꼭 기억하세요. 서술 구간의 앞 두 문항이 상대적으로 쉽습니다. 14·15번(상)에서 막혔더라도 16·17번은 반드시 도달해서 잡아야 합니다.

출제 단원 — 여섯 단원 균등 배분

최다 단원이 4문항, 최소 단원이 3문항입니다. 이보다 고를 수 없는 배분입니다.

주목할 곳은 여러 가지 방정식 3문항(13·18·19번) 입니다. 이 세 문항의 난이도가 중상·상·상입니다. 가장 늦게 배우는 단원이 가장 어렵게 나왔습니다. 삼·사차방정식은 진도 막바지에 나가는 내용이라 준비가 얕기 쉬운데, 이 시험은 정확히 그 지점을 찔렀습니다.

반대로 1~4번은 네 단원의 기본형을 하나씩 배치했습니다. 1번 다항식의 전개, 2번 일차식으로 나눈 나머지, 3번 켤레복소수의 계산, 4번 근과 계수의 관계입니다. 네 문항 모두 하 난이도입니다.

시그니처 유형 — 판별식 3회와 켤레근 증명

이 시험을 관통하는 도구는 판별식입니다. 이차방정식의 근의 판별이 5·9·10번 세 문항에 들어갔습니다. 5번은 이차함수와 직선의 위치 관계, 9번은 항등식의 성질, 10번은 두 방정식의 곱 f(x)g(x)=0의 근의 판별과 각각 결합돼 있습니다.

특히 10번의 "두 방정식의 곱의 근의 판별" 이 흥미롭습니다. f(x)g(x) = 0의 근은 f(x)=0의 근과 g(x)=0의 근을 모두 합친 것이니, 각각의 판별식을 따로 따진 뒤 근의 개수를 합치는 구조입니다. 두 판별식의 부호 조합을 경우로 나눠야 해서 중상입니다.

그리고 17번의 켤레근 정리 증명이 이 시험의 상징입니다. 계수가 실수인 이차방정식 ax²+bx+c=0에 p+qi를 대입해 실수부와 허수부로 나누면 두 개의 조건식이 나오고, 여기에 p−qi를 대입하면 허수부의 부호만 바뀐 형태가 되어 값이 0임을 보이는 구조입니다. 교과서의 증명을 직접 써보는 연습이 필요합니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 켤레복소수의 성질 — 3·17번
• 곱셈 공식의 변형; x²+y², x³+y³의 값 — 4·12번
• 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소 — 11·14번
• 곱셈 공식의 변형; a²+b²+c², a³+b³+c³의 값 — 12·18번
• 허수단위 i의 거듭제곱 — 13·15번

12번이 두 개의 곱셈 공식 변형을 동시에 씁니다. 그리고 그중 하나(a²+b²+c² 계열)가 18번의 삼차방정식 근과 계수의 관계와 다시 만납니다. 곱셈 공식 변형이 이 시험 전체를 연결하는 재료입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 앞부분 기본형 (1~4번) — 전부 하

1번 곱셈 공식을 이용한 다항식의 전개, 2번 일차식으로 나누었을 때의 나머지, 3번 켤레복소수의 계산 · 켤레복소수의 성질, 4번 이차방정식의 근과 계수의 관계 · 곱셈 공식의 변형.

네 단원의 대표 기본형이 한 문항씩 배치됐습니다. 전부 확보해야 합니다.

4번의 근과 계수의 관계는 두 근의 합이 −b/a, 곱이 c/a라는 것과, α²+β² = (α+β)² − 2αβ 변형이 결합된 표준형입니다.

2. 나머지 정리와 인수분해 (2·6·7·9번) — 4문항

2번 하 일차식으로 나누었을 때의 나머지, 6번 중 x⁴+ax²+b 꼴의 다항식의 인수분해, 7번 중 인수분해를 이용한 복잡한 수의 계산 · 인수분해 공식, 9번 중상 항등식의 성질 · 근의 판별.

6번의 x⁴+ax²+b 꼴은 두 갈래 접근이 있습니다. x²을 t로 치환해 인수분해되면 그대로 끝이고, 안 되면 완전제곱식을 만든 뒤 A²−B² 꼴로 묶습니다. 후자가 안 떠오르면 손이 멈추니 반드시 연습해두세요.

7번의 "인수분해를 이용한 복잡한 수의 계산" 은 큰 수의 계산을 문자로 바꿔 인수분해하는 유형입니다. 예를 들어 반복되는 수를 x로 놓습니다.

3. 복소수 (3·8·15번) — 3문항

3번 하 켤레복소수의 계산 · 성질, 8번 중상 z 또는 z²이 실수가 되기 위한 조건 · 조건을 만족시키는 복소수, 15번 상 i의 거듭제곱 · 복소수의 거듭제곱 · 사칙연산.

15번이 상입니다. i의 4주기(i, −1, −i, 1)만으로는 부족하고, (1+i)² = 2i, (1−i)² = −2i 같은 대표 변형과 결합됩니다. 지수가 큰 복소수 거듭제곱은 먼저 제곱해서 간단한 꼴로 만든 뒤 지수를 나누는 것이 정석입니다.

8번의 "z²이 실수가 될 조건" 은 z = a+bi에서 2ab = 0, 즉 a = 0 또는 b = 0입니다.

4. 이차방정식 (4·10·17번) — 3문항

4번 하 근과 계수의 관계, 10번 중상 두 방정식의 곱 f(x)g(x)=0의 근의 판별 · 근의 판별, 17번 중 이차방정식의 켤레근 · 복소수가 서로 같을 조건 · 켤레복소수의 성질(증명 서술형).

17번이 증명 문항입니다. 난이도는 중이지만 증명을 써본 적이 없으면 백지가 됩니다. 교과서에 실린 켤레근 정리의 증명을 그대로 따라 써보는 연습이 필요합니다. 핵심 논리는 "복소수가 0이려면 실수부와 허수부가 각각 0이어야 한다" 는 조건입니다.

5. 이차방정식과 이차함수 (5·11·14번) — 3문항

5번 중 그래프와 직선의 위치 관계 · 근의 판별, 11번 중상 제한된 범위에서의 최대·최소 · 조건을 만족시키는 이차식의 최대·최소, 14번 상 구간별로 정의된 함수의 그래프와 직선의 교점의 개수 · 제한된 범위에서의 최대·최소.

14번이 상입니다. 구간별로 정의된 함수, 즉 x의 범위에 따라 식이 달라지는 함수의 그래프를 그리고 직선과의 교점 개수를 세는 유형입니다. 그래프를 정확히 그리는 것이 풀이의 90% 입니다. 식만 만지면 절대 안 풀립니다.

6. 여러 가지 방정식 (13·18·19번) — 3문항, 중상 1 + 상 2

13번 중상 x³=1, x³=−1의 허근의 성질 · i의 거듭제곱, 18번 상 삼차방정식의 작성 · 삼차방정식의 근과 계수의 관계 · 곱셈 공식의 변형, 19번 상 근이 주어진 삼·사차방정식 · 삼차방정식과 사차방정식의 결합 · 나누어떨어질 조건.

이 단원이 시험의 정점입니다.

13번의 ω 성질은 두 줄로 요약됩니다. ω³ = 1이고 ω² + ω + 1 = 0. 이 두 식만 있으면 대부분의 계산이 한 줄로 줄어듭니다.

18번의 삼차방정식의 근과 계수의 관계는 세 근을 α, β, γ라 할 때 α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγ를 계수로 표현하는 것입니다. 이차방정식의 확장이라 외워두지 않으면 시작을 못 합니다.

19번은 삼차와 사차가 결합된 문항입니다. 근이 주어졌으니 대입해 조건식을 만들고, 나누어떨어질 조건으로 이어집니다.

주의 문항 — 상 4문항

14번 상 (구간별 함수의 그래프와 교점 개수) — 그래프를 정확히 그려야 합니다.

15번 상 (i의 거듭제곱 + 복소수의 거듭제곱) — 대표 변형 암기가 필요합니다.

18번 상 (삼차방정식의 작성 + 근과 계수의 관계) — 삼차 근과 계수의 관계 암기 필수.

19번 상 (근이 주어진 삼·사차방정식) — 마지막 문항이자 결합형입니다.

14·15번이 선택형 마지막 두 문항으로 나란히 상입니다. 여기서 시간을 다 쓰면 서술 구간에 못 갑니다. 16·17번이 중 난이도라는 사실을 알고 들어가면, 14·15번을 과감히 건너뛰는 판단이 쉬워집니다.

여의도고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 1~4번 기본형 4종 — 전개, 나머지 정리, 켤레복소수, 근과 계수의 관계.
2. ★ 판별식과 그래프의 위치 관계 — 5·9·10번을 관통하는 최다 반복 개념.
3. x⁴+ax²+b 꼴의 인수분해 — 6번 대비. 치환과 완전제곱 두 갈래.
4. 인수분해를 이용한 수의 계산 — 7번 대비.
5. z 또는 z²이 실수가 될 조건 — 8번 대비.
6. 항등식의 성질 — 9번 대비.
7. 두 방정식의 곱의 근의 판별 — 10번 대비. 판별식 두 개를 경우로.
8. 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소 — 11·14번 대비.
9. ★ 곱셈 공식의 변형 (x²+y², a²+b²+c², a³+b³+c³) — 4·12·18번을 잇는 재료.
10. ★ x³=1의 허근 ω의 성질 — 13번 대비. ω³=1, ω²+ω+1=0.
11. 구간별로 정의된 함수의 그래프 — 14번 대비. 그리기 연습.
12. i의 거듭제곱과 복소수의 거듭제곱 — 13·15번 대비. (1±i)² 변형 암기.
13. ★ 켤레근 정리의 증명 — 17번 대비. 교과서 증명을 직접 써보기.
14. 삼차방정식의 근과 계수의 관계 — 18번 대비. 세 식 암기.
15. 삼·사차방정식의 풀이와 나누어떨어질 조건 — 19번 대비.

자주 나오는 질문

여의도고 1학년 1학기 중간 공통수학1은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 1~15번은 선택형, 16~19번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

나머지 정리와 인수분해가 4문항으로 가장 많지만 차이가 크지 않습니다. 나머지 다섯 단원이 전부 3문항씩이라 여섯 단원이 사실상 균등합니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 14·15·18·19번 네 문항입니다. 14·15번은 선택형 마지막 두 문항, 18·19번은 서술 구간 마지막 두 문항으로 각각 짝을 이룹니다.

여러 가지 방정식은 얼마나 나오나요?

13·18·19번 세 문항이고 난이도가 중상·상·상입니다. 가장 늦게 배우는 단원인데 가장 어렵게 나왔습니다. 삼·사차방정식과 ω의 성질을 반드시 챙기세요.

증명 문제가 나온다던데 사실인가요?

17번이 켤레근 정리의 증명 서술형입니다. 계수가 실수인 이차방정식에서 p+qi가 근이면 p−qi도 근임을 보이는 문항입니다. 교과서 증명을 직접 써보는 연습이 필요합니다.

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