동북고 2학년 1학기 중간고사 기하 기출 분석 (2025학년)

동북고 2학년 1학기 중간고사 기하는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제는 이차곡선과 이차곡선의 접선 두 단원으로만 이뤄져 있고, 그중 이차곡선이 16문항(80%) 입니다. 그리고 이 시험지에는 답을 직접 쓰는 문항이 하나도 없습니다. 20문항 전부 선택형입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 전부 선택형, 서술·단답 없음
• 난이도: 하 5 / 중 8 / 중상 6 / 상 1(19번)
• 배치 단원: 01 이차곡선 16 / 02 이차곡선의 접선 4(5·12·15·18번)
• 1~5번이 전부 하, 12번부터 중상이 시작되는 깔끔한 계단식 배치
• 세 곡선 비중: 포물선·타원·쌍곡선이 고르게 출제

동북고 고2 1학기 중간은 어떤 시험인가

동북고는 서울 강동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 1학기 중간고사 기하는 총 20문항이고, 정답이 전부 선택지 번호로 기록돼 있어 서술형·단답형이 없는 완전 선택형 시험입니다.

이 시험의 성격을 한마디로 하면 "난이도가 번호 순서대로 올라간다" 입니다. 1~5번 하, 6~11번 중, 12번 이후 중상이 섞이기 시작하고, 19번에 상 난이도 한 문항이 놓입니다. 앞에서부터 순서대로 풀어도 페이스가 무너지지 않는 배치라, 시간 관리가 비교적 쉬운 편입니다.

대신 중 난이도 8문항이 실제 승부처입니다. 상 난이도가 한 문항뿐이라 그 한 개를 틀려도 큰 타격이 아니지만, 6~11번과 14·17번 여덟 문항에서 실수하면 만회할 곳이 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상은 19번 한 문항뿐

하 다섯 문항이 1~5번에 그대로 몰려 있습니다. 포물선의 방정식, 타원의 초점·장축·단축, 쌍곡선의 방정식 두 문항, 그리고 접점이 주어진 포물선의 접선입니다. 정의와 표준형만 외우면 다섯 문항이 확보됩니다.

상 난이도는 19번(쌍곡선의 정의의 활용) 한 문항입니다. 이 시험에서 유일하게 손이 오래 걸리는 문항입니다. 마지막 20번은 중상(길이의 합의 최솟값)이라, 19번에 매달리다 20번을 못 푸는 상황이 가장 아깝습니다.

출제 단원 — 이차곡선 16문항, 접선 4문항

이차곡선이 80% 입니다. 접선은 네 문항이지만 그중 세 문항(12·15·18번)이 중상이라 문항 수보다 부담이 큽니다.

곡선별로 보면 포물선·타원·쌍곡선이 어느 하나로 치우치지 않습니다. 쌍곡선 계열이 3·4·11·14·16·19번, 포물선 계열이 1·5·6·8·9·12·13·15·18·20번, 타원 계열이 2·7·10·17번에 걸쳐 있습니다. 세 곡선 중 하나를 버리는 전략은 통하지 않습니다.

시그니처 유형 — 정의로 돌아가는 문항들

이 시험을 관통하는 발상은 "곡선의 정의를 거리로 다시 쓴다" 입니다.

쌍곡선의 정의의 활용이 3·14·19번 세 문항에서 쓰였습니다. 두 초점까지의 거리의 차가 일정하다는 정의를 식으로 옮기는 순간 대부분 풀립니다. 19번이 상 난이도인 이유는 그 정의를 두 번 겹쳐 써야 하기 때문입니다.

포물선의 정의의 활용은 13번과 20번에서 짝을 이룹니다. 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다는 성질을 쓰면, 20번의 "길이의 합의 최솟값"이 준선 위의 수선 길이 문제로 바뀝니다. 이 변환이 20번의 전부입니다.

그 밖의 반복 유형은 이렇습니다.

• 타원의 초점, 장축, 단축 — 2번(하), 7번(중), 10번(중), 17번(중)
• 쌍곡선의 점근선 — 11번(중), 16번(중상)
• 포물선의 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 5번(하), 18번(중상)
• 포물선의 방정식 — 1·6·8·9·20번

5번과 18번이 같은 유형인데 난이도가 하와 중상으로 갈립니다. 5번은 접점을 그대로 공식에 넣는 형태이고, 18번은 조건에서 접점을 먼저 찾아야 하는 형태입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 포물선 (1·6·8·9·13번) — 5문항

1번 하 포물선의 방정식, 6번 중 자취의 방정식(포물선), 8번 중 포물선의 방정식, 9번 중 포물선의 평행이동, 13번 중상 포물선의 정의의 활용(초점을 지나는 직선이 주어질 때).

6번의 "자취의 방정식" 이 이 묶음의 핵심입니다. 한 점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점의 자취가 포물선이라는 정의를 직접 식으로 유도하는 유형입니다. 정의를 외우는 것과 정의를 쓰는 것은 다릅니다.

9번의 평행이동은 x 대신 x−m, y 대신 y−n을 넣는 규칙 하나입니다. 다만 초점과 준선도 같이 이동한다는 점을 놓치면 틀립니다.

13번은 초점을 지나는 직선(초점현)이 주어진 형태입니다. 초점현의 양 끝점에서 준선까지의 거리를 각각 초점까지의 거리로 바꿔 더하는 것이 표준 풀이입니다.

2. 타원 (2·7·10·17번) — 4문항

2번 하 타원의 초점·장축·단축, 7번 중 타원의 초점·장축·단축, 10번 중 타원의 평행이동, 17번 중 타원의 초점·장축·단축.

네 문항 중 세 문항이 같은 유형입니다. 그리고 넷 다 상 난이도가 아닙니다. 타원은 이 시험에서 가장 안정적으로 점수를 가져갈 수 있는 곡선입니다.

핵심은 a²=b²+c² 관계 하나입니다. 장축의 길이 2a, 단축의 길이 2b, 초점 사이 거리 2c. 초점이 x축 위인지 y축 위인지에 따라 a와 b의 자리가 바뀌는 것만 조심하면 됩니다.

10번의 평행이동은 포물선의 9번과 같은 논리입니다.

3. 쌍곡선 (3·4·11·14·16·19번) — 6문항

3번 하 쌍곡선의 방정식, 4번 하 쌍곡선의 방정식, 11번 중 쌍곡선의 점근선, 14번 중 쌍곡선의 정의의 활용, 16번 중상 쌍곡선의 점근선, 19번 상 쌍곡선의 정의의 활용.

세 곡선 중 문항 수가 가장 많고 난이도 폭도 가장 넓습니다. 하 두 문항부터 상 한 문항까지 전부 여기 있습니다.

점근선이 11번과 16번 두 문항입니다. 표준형에서 점근선은 y=±(b/a)x입니다. 16번이 중상인 이유는 점근선 조건에서 거꾸로 쌍곡선의 방정식을 결정해야 하기 때문입니다.

19번이 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 두 초점까지의 거리의 차가 2a로 일정하다는 정의를, 삼각형의 변 길이 관계와 함께 써야 합니다.

4. 이차곡선의 접선 (5·12·15·18번) — 4문항

5번 하 포물선의 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우), 12번 중상 포물선과 직선 사이의 거리의 최솟값, 15번 중상 포물선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식, 18번 중상 포물선의 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우).

네 문항 모두 포물선의 접선입니다. 타원·쌍곡선의 접선은 나오지 않았습니다.

접선 문제는 접점이 주어졌는가, 아닌가로 갈립니다. 주어졌으면 공식에 대입해 끝(5·18번)이고, 주어지지 않았으면 접선을 y=mx+n으로 두고 판별식 D=0을 쓰는 쪽(15번)입니다.

12번의 "거리의 최솟값" 은 한 단계 더 갑니다. 주어진 직선과 평행한 접선을 먼저 찾고, 그 접점에서 직선까지의 거리가 곧 최솟값이라는 구조입니다. 이 발상을 모르면 계산이 끝없이 늘어납니다.

주의 문항 — 중상 6문항과 상 1문항

12번 중상 (포물선과 직선 사이 거리의 최솟값) — 평행한 접선을 찾는 발상이 핵심입니다.

13번 중상 (초점을 지나는 직선) — 초점현과 준선의 관계를 씁니다.

15번 중상 (밖의 점에서 그은 접선) — 판별식 D=0으로 기울기 두 개를 구합니다.

16번 중상 (점근선으로 방정식 결정) — 조건을 거꾸로 읽어야 합니다.

18번 중상 (접점 좌표를 먼저 구하는 접선) — 5번과 같은 유형인데 한 단계가 앞에 붙었습니다.

19번 상 (쌍곡선의 정의의 활용) — 유일한 상 난이도. 시간을 얼마나 쓸지 미리 정해두세요.

20번 중상 (길이의 합의 최솟값) — 마지막 문항이지만 19번보다 쉽습니다. 19번을 넘기고 20번을 먼저 푸는 판단이 유효합니다.

동북고 고2 1학기 중간 기하 대비 학습 순서

1. 포물선·타원·쌍곡선의 표준형 — 1·2·3·4번 대비. 확보 구간.
2. 접점이 주어진 접선의 공식 — 5번 대비. 대입 한 번.
3. 타원의 a²=b²+c² 관계 — 2·7·17번 대비. 세 문항이 같은 공식.
4. 자취의 방정식으로 포물선 유도 — 6번 대비. 정의를 식으로 쓰기.
5. 포물선·타원의 평행이동 — 9·10번 대비. 초점과 준선도 같이 이동.
6. 쌍곡선의 점근선 — 11번 대비.
7. ★ 쌍곡선의 정의(거리의 차가 일정) — 14·19번 대비. 이 시험의 최고 난도로 이어짐.
8. ★ 포물선의 정의(초점거리=준선거리) — 13·20번 대비. 최솟값 문제로 연결.
9. 점근선 조건으로 쌍곡선 결정하기 — 16번 대비. 역방향 사고.
10. 접점을 먼저 구하는 접선 문제 — 18번 대비.
11. 밖의 점에서 그은 접선과 판별식 — 15번 대비.
12. ★ 접선을 이용한 거리의 최솟값 — 12번 대비. 평행 접선 발상.
13. 길이의 합의 최솟값 — 20번 대비. 준선으로 옮겨 일직선 만들기.

자주 나오는 질문

동북고 2학년 1학기 중간 기하는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항이고, 전부 선택형입니다. 답을 직접 쓰는 문항은 없습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

01 이차곡선이 16문항(80%), 02 이차곡선의 접선이 4문항(5·12·15·18번)입니다.

킬러 문항은 어디인가요?

상 난이도는 19번(쌍곡선의 정의의 활용) 한 문항뿐입니다. 나머지 부담은 중상 6문항(12·13·15·16·18·20번)에 있습니다.

어떤 곡선이 제일 많이 나왔나요?

쌍곡선 계열 6문항, 포물선 계열 10문항, 타원 계열 4문항으로 포물선이 가장 많습니다. 다만 접선 4문항이 전부 포물선 접선이라 그렇고, 이차곡선 단원만 보면 세 곡선이 고른 편입니다.

타원 접선이나 쌍곡선 접선도 나오나요?

2025 중간에서는 접선 네 문항이 모두 포물선의 접선이었습니다. 다만 접선 공식 자체는 세 곡선에 대해 같은 구조이므로 함께 정리해 두는 편이 안전합니다.

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