동북고 2학년 1학기 중간고사 수학Ⅰ 기출 분석 (2025학년)
동북고 2학년 1학기 중간고사 수학Ⅰ은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험지의 두 가지 특징이 뚜렷합니다. 로그함수 한 단원에서 9문항(41%) 이 나왔다는 점, 그리고 상 난이도가 6문항으로 같은 시기 다른 학교 시험지보다 많다는 점입니다. 로그함수를 못 잡으면 등급이 나오지 않는 시험입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 1~18번 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 4 / 상 6(14·15·17·18·21·22번)
- 배치 단원: 04 로그함수 9 / 01 지수 4 / 02 로그 3 / 05 삼각함수 3 / 03 지수함수 2 / 06 삼각함수의 그래프 1
- 상 6문항 중 넷(14·17·21·22번)이 로그함수
- 삼각함수는 4문항(4·8·10·18번)으로 비중이 낮음
동북고 고2 1학기 중간은 어떤 시험인가
동북고는 서울 강동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 1학기 중간고사 수학Ⅰ은 총 22문항이고, 1~18번이 선택형, 19~22번 네 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.
가장 먼저 확인해야 할 것은 단원 편중입니다. 04 로그함수에서 9문항이 나왔습니다. 02 로그(3문항)와 01 지수(4문항)까지 더하면 지수·로그 계열이 18문항(82%) 입니다. 반대로 06 삼각함수의 그래프는 4번 한 문항뿐이고, 05 삼각함수도 3문항입니다.
범위 이름만 보면 삼각함수의 그래프까지 나가는 시험처럼 보이지만, 실제 배치는 지수·로그에 크게 기울어 있습니다. 시험 대비 시간을 균등하게 배분하면 손해입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 6문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 18% | 1·2·3·4 |
| 중 | 8 | 36% | 5·6·7·8·9·10·12·19 |
| 중상 | 4 | 18% | 11·13·16·20 |
| 상 | 6 | 27% | 14·15·17·18·21·22 |
상 난이도가 6문항입니다. 전체의 27%가 최고 난도라는 뜻입니다. 그리고 그중 14·15·17·18번 네 문항이 연속입니다. 선택형 후반부가 통째로 벽입니다.
하 난이도 네 문항은 1~4번입니다. 로그의 밑의 변환, aˣ=k 꼴 식의 값, 거듭제곱근, 여러 가지 각의 삼각함수. 여기 넷은 무조건 확보해야 합니다.
중 난이도 8문항(5~10·12·19번)이 실질적인 승부처입니다. 상 6문항을 전부 잡기는 어려우므로, 중 8문항과 하 4문항, 즉 12문항을 완전히 지키고 중상 4문항에서 승부를 보는 구도가 현실적입니다.
출제 단원 — 로그함수 9문항이 시험을 지배
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 04 로그함수 | 9 | 7·11·12·13·14·17·20·21·22 |
| 01 지수 | 4 | 2·3·5·15 |
| 02 로그 | 3 | 1·6·16 |
| 05 삼각함수 | 3 | 8·10·18 |
| 03 지수함수 | 2 | 9·19 |
| 06 삼각함수의 그래프 | 1 | 4 |
로그함수 9문항 중 상이 4개(14·17·21·22번), 중상이 2개(11·13번) 입니다. 이 단원 하나에 이 시험의 어려움이 거의 다 들어 있습니다.
특히 서술형 네 문항 중 세 문항(20·21·22번)이 로그함수입니다. 남은 19번만 지수함수입니다. 서술형 대비 = 로그함수 대비라고 봐도 무리가 없습니다.
시그니처 유형 — 로그함수 그래프 위의 점, 그리고 교점
이 시험의 중심 개념은 "그래프 위의 점을 좌표로 놓고 식에 대입한다" 입니다.
로그함수의 그래프 위의 점이 13번(중상)·17번(상)·20번(중상, 서술형) 세 문항에서 쓰였습니다. 셋 다 그래프 위의 점을 (t, logₐt)로 두고 조건을 식으로 옮기는 구조입니다.
여기에 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점이 7번(중)·14번(상)·22번(상, 서술형) 세 문항에서 반복됩니다. 7번에서 가볍게 다룬 개념이 14번에서 대소 비교로, 22번에서 서술형 최종 문항으로 확장됩니다. 두 함수가 y=x에 대해 대칭이라는 한 문장이 세 문항의 공통 열쇠입니다.
그 밖의 반복은 이렇습니다.
- 로그의 성질 — 1·6·11·12·13번 다섯 문항에서 사용
- 로그의 밑의 변환 — 1번(하), 6번(중), 21번(상)
- 삼각함수의 값의 부호 — 4번, 10번, 18번
- 지수가 실수인 식의 계산 — 5번, 15번, 19번
1번과 6번이 같은 유형(로그의 밑의 변환)인데 하와 중으로 갈립니다. 그리고 같은 개념이 21번 서술형에서 산술·기하평균과 결합해 상으로 올라갑니다. 한 개념을 난이도별로 세 번 물은 셈입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 지수 (2·3·5·15번) — 4문항
2번 하 aˣ=k가 주어질 때 식의 값 구하기, 3번 하 거듭제곱근, 5번 중 거듭제곱근을 지수가 유리수인 수로 나타내기(응용), 15번 상 aˣ=bʸ이 주어질 때 식의 값 구하기.
2번과 15번이 같은 계열인데 하와 상입니다. 2번은 aˣ=k 하나만 주어져 대입으로 끝나고, 15번은 aˣ=bʸ 꼴이라 양변에 로그를 취해 x와 y의 관계를 만든 뒤 요구하는 식에 넣어야 합니다. 15번이 상인 이유는 그 관계를 한 번 더 변형해야 하기 때문입니다.
5번은 근호가 겹친 식을 유리수 지수로 바꾸는 응용형입니다. 안쪽부터 차례로 지수로 바꿔 곱해 나가면 됩니다.
2. 로그 (1·6·16번) — 3문항
1번 하 로그의 밑의 변환, 6번 중 로그의 밑의 변환, 16번 중상 상용로그의 실생활에의 활용(일정하게 증가하거나 감소할 때).
밑의 변환 공식 logₐb = log_c b / log_c a 하나로 1·6번이 처리됩니다.
16번은 일정 비율로 증가·감소하는 상황입니다. 초깃값에 비율의 거듭제곱을 곱하는 식을 세우고, 상용로그를 취해 지수를 끌어내리는 절차입니다. 문제에서 주는 log 2, log 3 같은 값을 어디에 쓸지 미리 그려두면 빠릅니다.
3. 지수함수 (9·19번) — 2문항
9번 중 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동, 19번 중 지수함수의 함숫값.
19번은 서술형 첫 문항이자 중 난이도입니다. 서술형 네 문항 중 유일하게 상·중상이 아닙니다. 여기서 시간을 아껴 20~22번에 써야 합니다.
4. 로그함수 (7·11·12·13·14·17·20·21·22번) — 9문항, 최다
7번 중 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점, 11번 중상 로그부등식, 12번 중 로그함수의 최대·최소(y=logₐ(px²+qx+r) 꼴), 13번 중상 로그함수의 그래프 위의 점, 14번 상 로그함수를 이용한 수의 대소 비교, 17번 상 로그함수의 그래프 위의 점, 20번 중상 로그함수의 그래프 위의 점, 21번 상 로그함수의 최대·최소(산술평균과 기하평균의 관계 이용), 22번 상 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점.
12번은 진수의 이차식을 먼저 정리하는 두 단계 문항입니다. 진수의 최솟값을 구하고 로그를 씌웁니다.
14번의 "수의 대소 비교" 는 여러 로그값을 밑을 같게 맞춰 비교하는 유형입니다. 밑을 통일하거나 상용로그로 바꿔 크기를 재는 것이 표준 접근입니다.
21번이 가장 특이한 문항입니다. 로그함수의 최대·최소를 산술평균과 기하평균의 관계로 처리합니다. logₐx + logₓa 같은 꼴에서 두 항의 곱이 상수가 되므로 산술·기하평균을 쓸 수 있고, 등호 성립 조건까지 확인해야 답이 완성됩니다. 서술형이므로 등호 조건을 빠뜨리면 감점 요인입니다.
22번은 이 시험의 마지막 문항이자 서술형 최고 난도입니다. 지수함수와 로그함수 그래프의 교점을 다루므로 y=x 대칭성을 먼저 확보하고 들어가세요.
5. 삼각함수 (4·8·10·18번) — 4문항
4번 하 여러 가지 각의 삼각함수, 8번 중 부채꼴의 둘레의 길이와 넓이의 최대·최소, 10번 중 삼각함수 사이의 관계(sinθ±cosθ, sinθcosθ 이용), 18번 상 삼각함수 사이의 관계(식의 값 구하기).
8번의 부채꼴 최대·최소는 둘레가 고정일 때 넓이의 최댓값을 구하는 형태입니다. 반지름을 변수로 두고 이차함수의 최댓값으로 바꾸는 것이 핵심입니다.
10번과 18번이 같은 계열입니다. (sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ 항등식으로 두 값을 오가는 구조입니다. 18번이 상인 이유는 부호 결정과 추가 변형이 붙기 때문입니다.
주의 문항 — 상 6문항
14번 상 (로그함수를 이용한 수의 대소 비교) — 밑을 통일하는 판단이 필요합니다.
15번 상 (aˣ=bʸ 식의 값) — 로그를 취해 관계식을 만든 뒤 한 번 더 변형합니다.
17번 상 (로그함수의 그래프 위의 점) — 13번의 확장판입니다.
18번 상 (삼각함수 사이의 관계) — 삼각함수 4문항 중 유일한 상.
21번 상 (산술·기하평균을 이용한 최대·최소) — 서술형. 등호 성립 조건 필수 기재.
22번 상 (지수·로그함수 그래프의 교점) — 서술형 마지막 문항.
14~18번 다섯 문항 중 넷이 상입니다. 선택형 후반에서 시간을 잡아먹히면 서술형 19~22번을 손도 못 대게 됩니다. 19번(중)만이라도 먼저 처리하고 돌아오는 전략을 권합니다.
동북고 고2 1학기 중간 대비 학습 순서
- 로그의 밑의 변환 — 1·6번 대비. 21번까지 이어지는 기본 공식.
- 거듭제곱근과 유리수 지수 — 3·5번 대비.
- aˣ=k 꼴 식의 값 — 2번 대비. 확보 구간.
- 여러 가지 각의 삼각함수 — 4번 대비. 확보 구간.
- ★ 지수함수와 로그함수의 그래프의 교점 — 7·14·22번 대비. y=x 대칭.
- 부채꼴의 둘레와 넓이의 최대·최소 — 8번 대비. 이차함수로 변환.
- 지수함수의 평행이동·대칭이동과 함숫값 — 9·19번 대비.
- 삼각함수 사이의 관계 — 10·18번 대비. 항등식과 부호 결정.
- 로그부등식 — 11번 대비. 밑의 범위로 부등호 방향 결정.
- 로그함수의 최대·최소(진수가 이차식) — 12번 대비.
- ★ 로그함수의 그래프 위의 점 — 13·17·20번 대비. 세 번 반복된 최중요 유형.
- 로그함수를 이용한 수의 대소 비교 — 14번 대비. 밑 통일.
- aˣ=bʸ 꼴 식의 값 — 15번 대비.
- 상용로그의 실생활 활용(증가·감소형) — 16번 대비.
- ★ 산술평균과 기하평균으로 최대·최소 — 21번 대비. 등호 조건까지.
자주 나오는 질문
동북고 2학년 1학기 중간 수학Ⅰ은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번이 선택형, 19~22번 네 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
04 로그함수가 9문항(41%) 으로 압도적입니다. 이어서 01 지수 4문항, 02 로그·05 삼각함수 각 3문항, 03 지수함수 2문항, 06 삼각함수의 그래프 1문항입니다.
킬러 문항은 어디인가요?
상 난이도가 14·15·17·18·21·22번 여섯 문항입니다. 그중 14·17·21·22번 네 문항이 로그함수입니다.
삼각함수는 얼마나 나오나요?
4문항(4·8·10·18번) 으로 비중이 낮은 편입니다. 06 삼각함수의 그래프 단원은 4번 한 문항뿐이었습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19~22번 네 문항입니다. 19번만 중 난이도이고 20번은 중상, 21·22번은 상입니다. 21번은 등호 성립 조건을 반드시 적어야 합니다.
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