성덕고 2학년 1학기 중간고사 수학Ⅰ 기출 분석 (2025학년)

성덕고 2학년 1학기 중간고사 수학Ⅰ은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험지의 가장 큰 특징은 하 난이도가 1·2번 두 문항뿐이라는 점입니다. 3번부터 이미 중상이 나옵니다. 쉬는 구간 없이 20문항을 끝까지 밀고 가야 하는 시험입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번 선택형, 18·19·20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 9 / 상 3(14·15·16번)
• 배치 단원: 02 로그 5 / 03 지수함수 4 / 05 삼각함수 3 / 04 로그함수 3 / 06 삼각함수의 그래프 3 / 01 지수 2
• 최다 반복 유형: 로그의 밑의 변환 3회(6·7·8번)
• "aˣ 꼴이 반복되는 경우"가 5·15·18번 세 문항 — 치환 한 발상이 시험을 관통

성덕고 고2 1학기 중간은 어떤 시험인가

성덕고는 서울 강동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 1학기 중간고사 수학Ⅰ은 총 20문항이고, 1~17번이 선택형, 18~20번 세 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

이 시험을 다른 학교 시험지와 구분 짓는 지점은 난이도 하한선이 높다는 것입니다. 하 난이도가 1번(거듭제곱근을 유리수 지수로)과 2번(로그의 성질) 두 문항뿐이고, 3번부터 이미 중상입니다. 3번은 aˣ=bʸ이 주어질 때 식의 값을 구하는 문항인데, 보통 시험지에서는 중반에 배치되는 유형입니다.

중상이 9문항(45%) 으로 가장 두꺼운 층입니다. 상 3문항(14·15·16번)을 못 잡더라도 중상 아홉 문항을 얼마나 지키느냐가 결과를 결정합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 2문항, 중상 9문항

하가 두 문항뿐입니다. 시험지를 열고 빠르게 처리할 수 있는 구간이 1·2번밖에 없다는 뜻입니다.

상 세 문항이 14·15·16번 연속입니다. 14번은 절댓값 기호를 포함한 삼각함수의 그래프, 15번은 aˣ 꼴이 반복되는 지수부등식, 16번은 로그의 정의입니다. 16번이 상이라는 점이 특이합니다. 로그의 정의 자체는 기본 개념인데, 조건을 만족하는 값을 따지는 형태로 확장돼 최고 난도가 됐습니다.

14~16번 뒤에 17번(중상)이 있고, 그다음이 서술형 18~20번입니다. 18번은 중, 19·20번은 중상입니다. 14~16번에서 막히면 17번과 서술형 전체가 위험합니다. 세 문항을 통째로 넘기고 17번 이후를 먼저 처리하는 판단이 필요합니다.

출제 단원 — 로그 5문항이 최다

02 로그가 5문항으로 가장 많고, 그중 중상 2개(7·8번), 상 1개(16번) 입니다. 로그 단원이 이 시험의 무게중심입니다.

대단원으로 묶으면 지수함수와 로그함수 14문항(70%), 삼각함수 6문항(30%) 입니다. 삼각함수 6문항 중 중상 이상이 4문항(12·13·14·17번) 이라 문항 수보다 부담이 큽니다.

시그니처 유형 — 로그의 밑의 변환 3연타, 그리고 aˣ 치환

이 시험에는 축이 두 개 있습니다.

첫째는 로그의 밑의 변환입니다. 6·7·8번 세 문항 연속으로 쓰였습니다. 6번은 밑을 같게 하는 로그부등식, 7번은 밑의 변환 자체, 8번은 로그의 여러 가지 성질입니다. 세 문항이 나란히 붙어 있어서, 이 공식 하나가 흔들리면 세 문항이 한꺼번에 날아갑니다.

공식은 하나입니다. logₐb = log_c b / log_c a. 여기서 파생되는 logₐb = 1/log_b a, logₐⁿbᵐ = (m/n)logₐb까지 함께 정리해두면 세 문항이 같이 열립니다.

둘째는 "aˣ 꼴이 반복되는 경우" 입니다. 5번(지수방정식, 중), 15번(지수부등식, 상), 18번(지수함수의 최대·최소, 중, 서술형) 세 문항이 같은 발상을 씁니다. aˣ를 t로 치환해 이차방정식·이차부등식·이차함수로 바꾼 뒤, t>0이라는 조건을 잊지 않는 것이 전부입니다. 세 문항의 겉모습은 방정식·부등식·최대최소로 다르지만 첫 줄은 똑같습니다.

그 밖의 반복은 이렇습니다.

• 로그함수의 역함수 — 11번(중), 19번(중상, 서술형)
• 부채꼴의 호의 길이와 넓이, 육십분법과 호도법 — 4번(중), 17번(중상)
• 삼각함수의 최대·최소와 주기 — 14번(상), 20번(중상, 서술형)
• 로그의 성질 — 2번(하), 11번(중)

11번과 19번의 관계를 보세요. 둘 다 로그함수의 역함수입니다. 11번이 선택형 중 난이도, 19번이 서술형 중상입니다. 11번을 정확히 풀었다면 19번의 뼈대는 이미 손에 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 지수 (1·3번) — 2문항

1번 하 거듭제곱근을 지수가 유리수인 수로 나타내기, 3번 중상 aˣ=bʸ이 주어질 때 식의 값 구하기.

1번이 이 시험에서 가장 쉬운 문항입니다. 근호를 유리수 지수로 바꿔 계산하면 됩니다.

3번은 세 번째 문항인데 중상입니다. aˣ=bʸ 꼴이 주어지면 양변에 로그를 취해 x와 y를 로그로 표현하고, 요구하는 식(보통 1/x+1/y 꼴)에 대입합니다. 초반에 배치된 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

2. 로그 (2·7·8·9·16번) — 5문항, 최다

2번 하 로그의 성질, 7번 중상 로그의 밑의 변환, 8번 중상 로그의 여러 가지 성질, 9번 중 상용로그의 실생활에의 활용(관계식이 주어질 때), 16번 상 로그의 정의.

7·8번이 짝입니다. 둘 다 중상이고 밑의 변환을 씁니다. 7번은 상용로그의 값과 함께 나오고, 8번은 여러 성질을 조합합니다.

9번은 관계식이 문제에 주어진 형태라 대입해 계산하면 됩니다. 이 단원에서 상대적으로 안전한 문항입니다.

16번이 상 난이도입니다. 로그의 정의(logₐN=x ⟺ aˣ=N)에 지수함수의 성질까지 얹혀 있습니다. 정의를 지수식으로 되돌려 쓰는 것이 출발점입니다.

3. 지수함수 (5·10·15·18번) — 4문항

5번 중 지수방정식(aˣ 꼴이 반복되는 경우), 10번 중상 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동, 15번 상 지수부등식(aˣ 꼴이 반복되는 경우), 18번 중 지수함수의 최대·최소(aˣ 꼴이 반복되는 경우).

5·15·18번이 같은 치환 발상입니다. aˣ=t로 놓으면 5번은 이차방정식, 15번은 이차부등식, 18번은 이차함수의 최대·최소가 됩니다. t>0 조건과, 정의역이 제한된 경우 t의 범위를 정확히 잡는 것이 세 문항의 공통 실수 지점입니다.

10번의 평행이동·대칭이동은 x 대신 x−m, y 대신 y−n을 넣는 규칙입니다. 대칭이동은 x축이면 y에 −y, y축이면 x에 −x입니다.

4. 로그함수 (6·11·19번) — 3문항

6번 중 로그부등식(밑을 같게 할 수 있는 경우), 11번 중 로그함수의 역함수, 19번 중상 로그함수의 역함수(서술형).

6번은 진수 조건(진수>0)을 먼저 쓰고 밑을 같게 만든 뒤 진수끼리 비교합니다. 밑이 0과 1 사이면 부등호가 뒤집힙니다.

11번과 19번은 y=logₐx의 역함수가 y=aˣ이라는 관계에서 출발합니다. 평행이동이 붙어 있으면 x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 정리하면 됩니다. 19번은 서술형이므로 역함수를 구하는 과정을 단계별로 적어야 합니다.

5. 삼각함수 (4·13·17번) — 3문항

4번 중 부채꼴의 호의 길이와 넓이, 13번 중상 삼각함수 사이의 관계(sinθ±cosθ, sinθcosθ 이용), 17번 중상 삼각함수.

4번과 17번이 같은 계열(부채꼴·호도법) 인데 중과 중상으로 갈립니다. 17번은 부채꼴 조건이 도형이나 다른 조건과 엮여 있습니다.

13번은 (sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ 항등식이 핵심입니다. 두 값 중 하나를 알면 다른 하나가 나오는 구조인데, 제곱근을 벗길 때 부호를 결정하는 근거가 필요합니다.

6. 삼각함수의 그래프 (12·14·20번) — 3문항

12번 중상 삼각방정식(이차식의 꼴), 14번 상 절댓값 기호를 포함한 삼각함수의 그래프, 20번 중상 삼각함수의 최대·최소와 주기(서술형).

12번은 sinθ를 t로 치환해 이차방정식으로 만드는 표준형입니다. −1 ≤ t ≤ 1 제한을 빼먹으면 답이 늘어납니다. 5·15·18번의 지수 치환과 발상이 같습니다.

14번이 이 단원의 최고 난도입니다. 절댓값이 붙은 삼각함수의 그래프를 그려야 하고, 최대·최소와 주기까지 함께 물었습니다.

20번은 서술형 마지막 문항입니다. 14번과 같은 "최대·최소와 주기" 유형인데 절댓값이 빠져 중상입니다. 14번을 못 풀었더라도 20번은 잡을 수 있습니다.

주의 문항 — 중상 9문항과 상 3문항

3번 중상 (aˣ=bʸ 식의 값) — 초반 배치라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

7·8번 중상 (로그의 밑의 변환 연속) — 공식 하나로 두 문항. 대비 효율이 높습니다.

10번 중상 (지수함수의 평행·대칭이동) — 규칙 적용의 정확도 문제입니다.

12번 중상 (삼각방정식 이차식 꼴) — 치환 후 범위 확인.

13번 중상 (sinθ±cosθ) — 부호 결정 근거 필요.

14번 상 (절댓값 삼각함수 그래프) — 그림을 그려야 보입니다.

15번 상 (aˣ 반복 지수부등식) — 치환 후 t의 범위 되돌리기.

16번 상 (로그의 정의) — 정의를 지수식으로 되돌려 조건을 따집니다.

17번 중상 (삼각함수) — 14~16번 직후라 시간이 부족해지기 쉽습니다.

19·20번 중상 (서술형 후반) — 11번과 14번에서 각각 개념을 가져옵니다.

성덕고 고2 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 거듭제곱근과 유리수 지수 — 1번 대비. 유일한 확보 구간.
2. 로그의 정의와 성질 — 2번 대비, 16번까지 연결.
3. ★ 로그의 밑의 변환 — 6·7·8번 대비. 세 문항 연속, 이 시험의 최우선.
4. 로그의 여러 가지 성질 조합 — 8번 대비.
5. 상용로그의 실생활 활용(관계식형) — 9번 대비.
6. ★ aˣ=t 치환 — 5·15·18번 대비. 방정식·부등식·최대최소 세 문항 공통.
7. 지수함수의 평행이동과 대칭이동 — 10번 대비.
8. 로그부등식(밑을 같게) — 6번 대비. 진수 조건 먼저.
9. ★ 로그함수의 역함수 — 11·19번 대비. 선택형과 서술형 한 쌍.
10. aˣ=bʸ 꼴 식의 값 — 3번 대비. 양변에 로그.
11. 부채꼴의 호의 길이·넓이와 호도법 — 4·17번 대비.
12. 삼각함수 사이의 관계(sinθ±cosθ) — 13번 대비. 부호 결정.
13. 삼각방정식(이차식 꼴) — 12번 대비. t 범위 −1~1.
14. ★ 삼각함수의 최대·최소와 주기 — 14·20번 대비. 상과 서술형 한 쌍.
15. 절댓값을 포함한 삼각함수의 그래프 — 14번 대비. 최고 난도.
16. 로그의 정의로 조건 따지기 — 16번 대비.

자주 나오는 질문

성덕고 2학년 1학기 중간 수학Ⅰ은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번이 선택형, 18~20번 세 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

난이도가 어느 정도인가요?

하 난이도가 1·2번 두 문항뿐이고 중상이 9문항(45%) 입니다. 3번부터 이미 중상이 나오는 구조라, 쉬는 구간이 거의 없습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

02 로그가 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 03 지수함수 4문항, 05 삼각함수·04 로그함수·06 삼각함수의 그래프가 각 3문항, 01 지수가 2문항입니다.

킬러 문항은 어디인가요?

상 난이도는 14·15·16번 세 문항 연속입니다. 14번은 절댓값을 포함한 삼각함수의 그래프, 15번은 aˣ 꼴이 반복되는 지수부등식, 16번은 로그의 정의입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

18·19·20번 세 문항입니다. 18번이 중, 19·20번이 중상입니다. 18번은 aˣ 치환, 19번은 로그함수의 역함수, 20번은 삼각함수의 최대·최소와 주기입니다.

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