자양고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025)

자양고등학교(자양고) 1학년 2학기 중간 공통수학2는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험은 여섯 개 단원이 모두 출제된 균등형입니다. 평면좌표부터 집합의 연산까지 어느 단원도 빠지지 않았고, 집합만 7문항(30%) 으로 상당한 비중을 차지합니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~17번 객관식, 18~23번 답을 직접 쓰는 주관식 6문항
• 난이도: 하 6 / 중 6 / 중상 8 / 상 3
• 배치 단원: 03 원의 방정식 5 / 06 집합의 연산 5 / 01 평면좌표 4 / 04 도형의 이동 4 / 02 직선의 방정식 3 / 05 집합의 뜻과 표현 2
• 여섯 단원이 전부 출제된 균등 배치
• 최다 반복 유형: 두 점 사이의 거리 4회(4·13·17·23번)

자양고 고1 2학기 중간은 어떤 시험인가

자양고는 서울 광진구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 23문항이고, 1~17번이 객관식, 18~23번이 답을 직접 쓰는 주관식입니다.

이 시험의 가장 큰 특징은 범위를 통째로 훑는다는 점입니다. 평면좌표 · 직선의 방정식 · 원의 방정식 · 도형의 이동 · 집합의 뜻과 표현 · 집합의 연산, 여섯 단원이 전부 출제됐고, 문항 수도 2~5개로 고르게 나뉩니다. 한 단원을 통째로 버리는 전략이 통하지 않습니다.

두 번째는 집합의 비중입니다. 집합 문항은 6·10·12·14·21번(연산 5문항)과 3·20번(뜻과 표현 2문항) 으로 총 7문항, 전체의 30%입니다. 도형 파트만 준비하고 집합을 가볍게 보면 3분의 1을 날립니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항, 상 3문항

1~7번 중 여섯 문항이 난이도 하입니다(6번만 중). 앞부분이 확실한 득점 구간입니다.

그러다 8번에서 첫 중상이 나오고, 이후로는 중과 중상이 번갈아 나옵니다. 상 세 문항은 13번 · 16번 · 23번으로 흩어져 있습니다. 특히 13번이 상이라는 점을 기억하세요. 시험지 중간에 갑자기 어려운 문항이 끼어 있는 구조라, 13번에 매달리면 뒤가 무너집니다.

주관식 여섯 문항의 난이도는 18·19번 중, 20번 중상, 21번 중, 22번 중상, 23번 상입니다. 18·19·21번 세 문항이 난이도 중이므로 주관식에서도 확보할 점수가 있습니다.

출제 단원 — 여섯 단원 전부 출제

최다 단원이 5문항, 최소 단원이 2문항입니다. 이 정도면 사실상 균등 배치입니다.

집합의 연산 5문항이 원의 방정식과 함께 최다라는 점이 이 시험의 개성입니다. 게다가 집합의 연산 다섯 문항 중 세 문항(12·14번과 21번 앞의 흐름)이 중상 이상입니다. 집합의 연산은 쉽다는 통념이 통하지 않습니다.

직선의 방정식은 세 문항(1·16·17번) 으로 가장 적지만, 16번이 상, 17번이 중상입니다. 문항 수는 적어도 난도는 높습니다.

시그니처 유형 — 거리와 무게중심이 상 난이도로 이어진다

가장 많이 쓰인 유형은 두 점 사이의 거리로 4·13·17·23번 네 문항에 등장합니다. 그런데 이 네 문항의 난이도가 하 · 상 · 중상 · 상입니다. 가장 기본적인 공식이 이 시험의 최고 난도 문항 두 개(13·23번)에 모두 들어가 있습니다.

삼각형의 무게중심도 5·7·23번 세 문항에 쓰였습니다. 5번(하) · 7번(하) · 23번(상)입니다. 7번에서 연습한 무게중심 공식이 마지막 23번에서 상 난이도 재료로 다시 나옵니다.

점과 직선 사이의 거리는 9·13·17번 세 문항입니다. 이쪽도 중 · 상 · 중상으로 난도가 높습니다.

즉 이 시험의 상 난이도 세 문항(13·16·23번)은 낯선 개념이 아니라, 익숙한 공식 두세 개를 겹쳐서 만든 문항입니다. 13번은 거리 + 점과 직선 사이의 거리, 23번은 무게중심 + 거리 + 수직 조건입니다.

두 번 겹친 유형도 정리합니다.

• 두 직선의 평행과 수직 — 1·23번
• 일반형 원의 방정식에서 중심과 반지름 구하기 — 8·11번
• 원의 방정식이 되기 위한 조건 — 8·11번
• x축 또는 y축에 접하는 원의 방정식 — 8·22번
• 드모르간의 법칙 — 10·12번
• 집합의 연산을 간단히 하기 — 10·12번
• 삼각형의 넓이 — 16·17번
• 도형의 평행이동; 원 — 18·22번

8번과 11번이 완전히 같은 두 유형 조합입니다. 둘 다 일반형 원의 중심·반지름 구하기와 원이 되기 위한 조건을 묻고, 둘 다 중상입니다. 하나를 풀면 다른 하나도 같은 틀로 풀립니다.

10번과 12번도 마찬가지입니다. 드모르간의 법칙과 집합의 연산 정리가 겹칩니다. 10번이 중, 12번이 중상입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 1~7번 — 여섯 문항이 난이도 하

1번 하 두 직선의 평행과 수직, 2번 하 표준형 원의 방정식에서 중심과 반지름 구하기, 3번 하 서로 같은 집합, 4번 하 선분의 내분점·두 점 사이의 거리, 5번 하 점의 대칭이동·삼각형의 무게중심, 6번 중 여집합과 차집합·방정식 또는 부등식의 해의 집합의 연산·합집합과 교집합, 7번 하 삼각형의 무게중심.

여섯 문항이 공식 한 번 대입으로 끝납니다. 그리고 여섯 단원이 골고루 한 번씩 나옵니다. 직선 → 원 → 집합 → 평면좌표 → 도형의 이동 → 집합 → 평면좌표 순입니다. 기본 공식 점검 구간이라고 보면 됩니다.

6번만 난이도 중입니다. 방정식이나 부등식의 해로 정의된 집합을 다루므로, 먼저 해를 구해 원소를 나열한 뒤 연산해야 합니다.

이 일곱 문항을 10분 안에 끊는 것이 목표입니다.

2. 8~12번 — 원과 집합의 중상 구간 시작

8번 중상 일반형 원의 방정식에서 중심과 반지름·x축 또는 y축에 접하는 원·원의 방정식이 되기 위한 조건, 9번 중 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때·점과 직선 사이의 거리, 10번 중 벤 다이어그램과 집합·드모르간의 법칙·집합의 연산을 간단히 하기, 11번 중상 원의 방정식이 되기 위한 조건·일반형 원에서 중심과 반지름, 12번 중상 집합의 연산의 성질·드모르간의 법칙·집합의 연산을 간단히 하기.

8번과 11번이 짝입니다. 둘 다 x²+y²+Ax+By+C=0을 완전제곱식으로 묶어 중심과 반지름을 읽는 계산에서 출발합니다. 8번에는 축에 접하는 조건이, 11번에는 원이 되기 위한 조건이 붙습니다.

10번과 12번도 짝입니다. 드모르간의 법칙 (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ 로 식을 정리한 뒤 판단합니다. 10번은 벤 다이어그램으로, 12번은 식으로 접근합니다. 그림과 식 양쪽에서 같은 성질을 읽을 수 있어야 두 문항이 함께 풀립니다.

9번은 원과 직선이 두 점에서 만날 조건입니다. 중심에서 직선까지의 거리 < 반지름입니다.

3. 13번 — 시험 중간의 상 난이도

13번 상 좌표를 이용하여 도형의 성질 확인하기·두 점 사이의 거리·점과 직선 사이의 거리.

객관식 중간에 갑자기 상 난이도가 나옵니다. 도형의 성질을 좌표평면 위에서 대수적으로 확인하는 유형인데, 좌표를 어디에 어떻게 잡느냐가 난도를 결정합니다. 원점과 축을 잘 활용해 좌표를 단순하게 잡으면 계산이 크게 줄어듭니다.

13번에서 5분 이상 쓰지 마세요. 뒤에 중상 문항이 여섯 개 더 있고, 주관식 여섯 문항도 남아 있습니다.

4. 14~17번 — 객관식 후반부

14번 중상 유한집합의 원소의 개수의 활용; 최댓값과 최솟값·n(A∪B) 공식, 15번 중상 도형의 대칭이동; 직선·삼각형의 외심의 좌표·삼각형의 내심의 좌표, 16번 상 점과 직선 사이의 거리의 최댓값·원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선·삼각형의 넓이, 17번 중상 삼각형의 넓이·점과 직선 사이의 거리·두 점 사이의 거리.

14번은 집합 파트의 최고 난도입니다. n(A∩B)의 최댓값·최솟값을 구하는 유형으로, 두 집합이 포함 관계일 때와 합집합이 전체가 될 때 두 극단을 잡습니다.

15번에 삼각형의 외심과 내심이 함께 나옵니다. 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리, 내심은 세 변에서 같은 거리에 있는 점입니다. 두 개념을 헷갈리면 문항 전체가 틀립니다.

16번이 객관식 최고 난도입니다. 원 위의 점에서 직선까지의 거리가 최대가 되는 상황(중심까지의 거리 + 반지름)과 접선, 넓이가 겹쳤습니다.

17번은 16번과 "삼각형의 넓이"로 이어집니다. 16번이 어려웠다면 17번은 상대적으로 정리된 형태이니 포기하지 마세요.

5. 18~23번 — 주관식 여섯 문항

18번 중 원 위의 점에서의 접선의 방정식·도형의 평행이동, 19번 중 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값·두 점을 지나는 직선의 방정식, 20번 중상 조건을 만족시키는 집합의 개수·부분집합의 개수·여러 가지 부분집합의 개수, 21번 중 조건을 만족시키는 집합 구하기·부분집합 구하기·특정 원소를 갖거나 갖지 않는 부분집합의 개수, 22번 중상 도형의 평행이동; 원·도형의 대칭이동; 원·x축 또는 y축에 접하는 원, 23번 상 삼각형의 무게중심·두 점 사이의 거리·두 직선의 평행과 수직.

18·19·21번이 난이도 중입니다. 주관식 여섯 중 절반이 표준 유형이니 반드시 확보하세요.

18번은 원 위의 점에서의 접선 공식 한 번에 평행이동이 얹힌 형태입니다. 19번은 대칭이동으로 최단거리를 만드는 표준형입니다.

21번은 조건을 만족시키는 집합을 직접 나열하는 문항입니다. 개수가 아니라 집합 자체를 답으로 쓰므로, 빠뜨리지 않고 전부 나열했는지 확인하세요.

20번은 부분집합의 개수를 세는 문항입니다. 특정 원소의 포함 여부가 고정되면 2^(n−k)라는 규칙이 뼈대입니다.

22번은 원을 평행이동하고 대칭이동한 뒤 축에 접하는 조건을 묻습니다. 이동 순서를 정확히 지켜야 하고, 답이 여러 개 나올 수 있으니 경우를 빠짐없이 쓰세요.

23번이 시험 마지막이자 상 난이도입니다. 무게중심 · 거리 · 수직 조건 세 가지가 겹쳤습니다. 7번에서 쓴 무게중심 공식이 재료로 쓰이니, 기본 공식을 정확히 알고 있다면 진입 자체는 가능합니다.

주의 문항 — 상 3문항과 중상 8문항

8번 중상 (일반형 원의 중심·반지름) — 11번과 같은 틀입니다.

11번 중상 (원이 되기 위한 조건) — 8번과 함께 준비하세요.

12번 중상 (드모르간과 집합의 연산) — 10번의 확장판입니다.

13번 상 (좌표를 이용한 도형의 성질) — 시험 중간의 함정, 오래 붙잡지 마세요.

14번 중상 (원소의 개수의 최댓값·최솟값) — 집합 파트 최고 난도입니다.

15번 중상 (외심과 내심) — 두 개념을 혼동하면 전부 틀립니다.

16번 상 (거리의 최댓값과 접선) — 객관식 최고 난도입니다.

17번 중상 (삼각형의 넓이) — 16번보다 정리된 형태입니다.

20번 중상 (부분집합의 개수) — 주관식, 경우 나누기가 핵심입니다.

22번 중상 (원의 이동과 접하는 조건) — 답이 여러 개일 수 있습니다.

23번 상 (무게중심·거리·수직) — 마지막 문항, 익숙한 공식들의 조합입니다.

13번과 16번이 객관식 중간과 후반에 배치된 상 난이도라는 점이 이 시험의 시간 함정입니다. 두 문항을 넘기고 주관식 18·19·21번(중)을 먼저 확보하는 순서를 권합니다.

자양고 고1 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 두 직선의 평행과 수직 — 1번, 23번의 재료.
2. 표준형 원의 방정식 읽기 — 2번 대비. 확보 구간.
3. 서로 같은 집합 — 3번 대비. 확보 구간.
4. ★ 선분의 내분점과 두 점 사이의 거리 — 4번, 13·17·23번의 재료.
5. ★ 삼각형의 무게중심 — 5·7번, 23번의 재료. 세 번 쓰입니다.
6. 점의 대칭이동 — 5번, 15·19·22번의 뿌리.
7. 해의 집합의 연산 — 6번 대비. 먼저 해를 구해 원소 나열.
8. ★ 일반형 원의 방정식에서 중심과 반지름 — 8·11번 대비. 완전제곱식 변형.
9. 축에 접하는 원의 방정식 — 8·22번 대비. 중심을 (a, ±a)로.
10. 원과 직선의 위치 관계 — 9번 대비. 거리와 반지름 비교.
11. ★ 드모르간의 법칙과 집합의 연산 정리 — 10·12번 대비. 그림과 식 양쪽으로.
12. 유한집합의 원소의 개수의 최댓값·최솟값 — 14번 대비. 집합 최고 난도.
13. 삼각형의 외심과 내심 — 15번 대비. 두 개념 구분이 관건.
14. 원 위의 점에서의 접선 공식 — 18번 대비. 주관식 확보 구간.
15. 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 — 19번 대비. 주관식 확보 구간.
16. 부분집합의 개수와 조건을 만족시키는 집합 — 20·21번 대비.
17. 점과 직선 사이의 거리의 최댓값 — 16번 대비. 중심까지의 거리 + 반지름.
18. 삼각형의 넓이 — 16·17번 대비.
19. 좌표를 이용한 도형의 성질 확인 — 13번 대비. 좌표를 단순하게 잡기.

자주 나오는 질문

자양고 1학년 2학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~17번이 객관식, 18~23번이 답을 직접 쓰는 주관식입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

원의 방정식과 집합의 연산이 각 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 평면좌표 4문항, 도형의 이동 4문항, 직선의 방정식 3문항, 집합의 뜻과 표현 2문항입니다. 여섯 단원이 모두 출제된 균등 배치입니다.

집합은 얼마나 나오나요?

일곱 문항(3·6·10·12·14·20·21번) 으로 전체의 30%입니다. 그중 집합의 연산이 다섯 문항이고, 12번과 14번은 중상 난이도입니다. 집합을 가볍게 보면 안 되는 시험입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 세 문항(13·16·23번) 입니다. 13번이 객관식 중간에, 16번이 객관식 후반에, 23번이 주관식 마지막에 배치돼 있습니다. 13번에서 시간을 오래 쓰면 뒤가 무너지므로 넘기는 판단도 필요합니다.

주관식은 어렵나요?

18·19·21번이 난이도 중, 20·22번이 중상, 23번이 상입니다. 여섯 문항 중 셋은 표준 유형이니 확보할 수 있습니다.

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