산정중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

산정중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 25문항입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 범위가 대단히 넓다는 점입니다. 다항식의 곱셈부터 인수분해, 이차방정식 세 단원, 이차함수의 그래프까지 중단원 여덟 개가 한 시험에 들어갔습니다.

핵심 요약

• 25문항 — 1~21번 선택형, 22~25번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 5 / 중 14 / 중상 5 / 상 1(21번)
• 배치 단원 8개 — 06 다항식의 인수분해 6 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 6 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 4 / 10 이차방정식의 활용 3 / 11 이차함수의 그래프 (1) 3 / 05 다항식의 곱셈 1 / 07 인수분해 공식의 활용 1 / 12 이차함수의 그래프 (2) 1
• 최다 반복 유형: 인수분해 공식 5회(2·3·5·6·22번), 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 5회(9·11·16·23·25번)
• 최고 난도: 21번 상 — 이차함수의 그래프의 활용

산정중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

산정중학교는 광주 광산구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 25문항이고, 1~21번이 선택형, 22~25번이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

이 시험을 준비할 때 먼저 알아야 할 것은 범위의 폭입니다. 배치 단원이 여덟 개나 됩니다. 다항식의 곱셈(05)에서 시작해 인수분해(06·07), 이차방정식 세 단원(08·09·10), 이차함수 두 단원(11·12)까지 이어집니다. 중3 1학기 교과서 대부분이 한 시험에 들어온 셈입니다.

배치 순서도 단원 순서를 그대로 따르지 않습니다. 1~6번이 다항식·인수분해, 7~16번이 이차방정식, 17~19번이 이차함수로 흐르다가, 20번에서 갑자기 인수분해로 돌아오고 21번에서 다시 이차함수로 넘어갑니다. 시험지를 처음 훑을 때 이 흐름을 파악해 두면 시간 배분이 수월합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 난이도가 14문항

중 난이도 열네 문항이 전체의 56% 입니다. 이 시험의 성격을 한 문장으로 말하면 "어렵지는 않은데 많다"입니다. 킬러 한두 문항이 아니라, 중 난이도 열네 문항에서 몇 개를 흘리느냐가 점수를 가릅니다.

하 난이도 다섯 문항(1·2·8·17·18번) 은 각 단원의 첫 문항입니다. 1·2번은 인수분해 기초, 8번은 이차방정식의 해, 17·18번은 이차함수의 뜻과 함숫값입니다. 단원이 바뀔 때마다 쉬운 문항으로 시작하는 배치이니, 여기 다섯 문항은 무조건 확보해야 합니다.

상 난이도는 21번 한 문항뿐입니다. 이차함수의 그래프의 활용 문항인데, 선택형 마지막 자리에 놓였습니다.

출제 단원 — 인수분해와 이차방정식 풀이가 각 6문항

대단원으로 묶으면 다항식의 곱셈과 인수분해 8문항(32%), 이차방정식 13문항(52%), 이차함수 4문항(16%) 입니다.

무게중심은 이차방정식입니다. 열세 문항이면 전체의 절반이 넘습니다. 반대로 이차함수는 네 문항뿐이고, 그중 세 문항(17·18·19번)이 기본 개념입니다. 이차함수를 깊이 파기보다 이차방정식을 확실히 다지는 편이 이 시험에서는 효율적입니다.

다만 네 문항밖에 없는 이차함수에 유일한 상 난이도(21번)가 들어 있습니다. 문항 수가 적다고 아예 손을 놓으면 그 한 문항을 통째로 잃습니다.

시그니처 유형 — 인수분해가 시험 전체를 관통한다

이 시험에서 가장 여러 번 쓰인 두 유형은 이름은 달라도 뿌리가 같습니다.

첫째, 인수분해 공식이 2·3·5·6·22번 다섯 문항에서 쓰였습니다. 2·3번은 공식 자체를 묻고, 5번은 다항식의 곱셈에서 계수를 구할 때, 6번은 식의 값을 구할 때, 22번은 인수가 주어진 이차식의 미지수를 구할 때 각각 도구로 등장합니다.

둘째, 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 9·11·16·23·25번 다섯 문항에서 쓰였습니다. 9번은 그 자체를 묻고, 11번은 여러 가지 이차방정식을 정리한 뒤, 16번은 수에 대한 활용에서 세운 식을 풀 때, 23번과 25번은 서답형의 마무리 계산에서 쓰입니다.

두 유형을 합치면 열 문항, 전체의 40%가 인수분해에 걸려 있습니다. 완전제곱식·합차공식·이차식의 인수분해 세 가지를 자동으로 처리하지 못하면 이 시험은 어느 파트에서든 막힙니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 인수분해 공식 (응용) — 3·23번
• 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 — 13·24번
• 이차방정식의 근의 공식 — 14·15번

13번과 24번의 조합이 눈에 띕니다. 13번은 선택형, 24번은 서답형으로 같은 유형을 두 번 물었습니다. (x+p)²=q 꼴에서 제곱근을 취하는 절차는 답을 고르는 수준이 아니라 직접 쓸 수 있을 만큼 익혀야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 다항식과 인수분해 (1~6번, 20번) — 7문항

1번 하 공통인수를 이용한 인수분해, 2번 하 인수분해 공식, 3번 중 인수분해 공식 · 응용, 4번 중 계수 또는 상수항을 잘못 보고 푼 경우, 5번 중 계수 구하기(다항식의 곱셈), 6번 중 인수분해 공식을 이용하여 식의 값 구하기, 20번 중상 인수분해 계수 조건의 경우 세기·특정.

1·2번은 확보 구간입니다. 공통인수로 묶기와 기본 공식 적용입니다.

4번의 "잘못 보고 푼 경우" 는 인수분해판 함정 문제입니다. 원칙은 잘못 본 사람이라도 제대로 본 부분은 맞다는 것입니다. 상수항을 잘못 봤다면 일차항 계수는 살아 있으니, 그 사람이 얻은 인수분해 결과에서 원래 계수를 복원할 수 있습니다.

20번이 이 파트의 유일한 중상입니다. x²+ax+b가 인수분해되도록 하는 정수 a의 개수나 최댓값을 묻는 유형입니다. b를 두 정수의 곱으로 쪼개는 모든 경우를 빠짐없이 나열하는 것이 핵심이고, 음수 조합을 빠뜨리는 실수가 잦습니다.

6번은 07 인수분해 공식의 활용의 유일한 문항입니다. 복잡한 수 계산을 인수분해로 간단히 만드는 유형입니다.

2. 이차방정식의 풀이 (7~14번) — 8문항

7번 중 이차방정식의 뜻, 8번 하 이차방정식의 해, 9번 중 인수분해를 이용한 풀이, 10번 중 중근을 가질 조건, 11번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이, 12번 중상 두 이차방정식의 공통인 근, 13번 중 제곱근을 이용한 풀이, 14번 중 근의 공식을 이용하여 미지수 구하기.

여덟 문항이 교과서 순서 그대로 흘러갑니다. 뜻 → 해 → 인수분해 풀이 → 중근 조건 → 정리 → 제곱근 → 근의 공식 순입니다. 이 순서대로 개념을 훑으면 여덟 문항이 그대로 대비됩니다.

12번이 이 구간의 유일한 중상입니다. 두 이차방정식의 공통근을 구하는 유형인데, 열쇠는 공통근이라면 두 식 모두를 만족한다는 것입니다. 각각 인수분해해서 근을 구한 뒤 겹치는 값을 찾거나, 두 식을 빼서 얻은 일차식을 이용합니다.

10번의 중근 조건은 판별식이 0, 또는 좌변이 완전제곱식이 되는 조건입니다.

14번은 근의 공식을 거꾸로 쓰는 문항입니다. 근이 주어져 있고 계수 안의 미지수를 구하는 형태라, 근의 공식 결과와 주어진 근의 꼴을 비교하는 눈이 필요합니다.

3. 이차방정식의 활용 (15·16번) — 2문항

15번 중상 활용; 삼각형과 사각형 · 근의 공식, 16번 중 활용; 수 · 인수분해를 이용한 풀이.

15번은 도형의 변의 길이를 미지수로 두고 넓이 조건에서 식을 세우는 유형입니다. 근의 공식으로 푼 뒤 길이는 양수이므로 음수 근을 버리는 단계까지가 한 세트입니다.

16번은 연속하는 수나 자릿수를 다루는 유형입니다. 인수분해로 풀리지만, 자연수 조건에 맞지 않는 근을 걸러내는 마무리가 채점 포인트입니다.

4. 이차함수 (17~19번, 21번) — 4문항

17번 하 이차함수의 뜻, 18번 하 이차함수의 함숫값, 19번 중 y=ax²의 그래프의 성질 · 모양, 21번 상 이차함수의 그래프의 활용 · 그래프가 지나는 점.

17·18·19번은 순서대로 뜻 → 함숫값 → 그래프의 성질입니다. 앞의 두 문항은 하 난이도라 반드시 확보해야 합니다.

21번이 이 시험의 유일한 상 난이도이자 선택형 마지막 문항입니다. 그래프 위의 점과 도형을 엮은 형태로 보입니다. 그래프가 지나는 점의 좌표를 식에 대입하는 것이 출발점이고, 거기서 얻은 관계식으로 나머지를 풀어갑니다. 시간이 없다면 서답형 네 문항을 먼저 처리하고 돌아오는 편이 낫습니다.

5. 서답형 네 문항 (22~25번)

22번 중 인수가 주어진 이차식의 미지수의 값 구하기, 23번 중상 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 · 인수분해 공식(응용), 24번 중 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이, 25번 중상 활용; 도로를 만드는 경우 · 인수분해를 이용한 풀이.

네 문항 중 세 문항이 인수분해로 마무리됩니다. 서답형에서도 인수분해가 중심이라는 뜻입니다.

22번은 인수 하나가 주어졌을 때 미지수를 구하는 유형입니다. 주어진 인수가 0이 되는 x값을 대입하면 식도 0이 된다는 성질을 쓰면 빠르고, 아니면 나머지 인수를 미지수로 놓고 전개해 계수를 비교합니다.

25번의 "도로를 만드는 경우" 는 직사각형 땅에 폭이 일정한 길을 낸 뒤 남는 넓이를 묻는 정형 유형입니다. 길을 가장자리로 몰아 붙여 남는 부분을 하나의 직사각형으로 만드는 것이 표준 풀이입니다. 이 발상을 모르면 계산이 크게 복잡해집니다.

주의 문항 — 중상 5문항 + 상 1문항

12번 중상 (두 이차방정식의 공통인 근) — 이차방정식 파트의 유일한 벽입니다.

15번 중상 (삼각형·사각형 활용) — 식 세우기와 근 거르기가 함께 요구됩니다.

20번 중상 (인수분해 계수 조건 세기) — 경우를 빠짐없이 나열하는 꼼꼼함이 필요합니다.

21번 상 (이차함수 그래프의 활용) — 이 시험의 유일한 상 난이도입니다.

23번 중상 (서답형 인수분해 풀이) — 서답형이라 과정까지 써야 합니다.

25번 중상 (도로를 만드는 경우) — 유형을 알면 빠르고, 모르면 계산에 파묻힙니다.

산정중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 공통인수로 묶기와 기본 인수분해 공식 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. ★ 인수분해 공식 (응용) — 3·23번 대비. 시험 전체의 기본 도구.
3. 계수 또는 상수항을 잘못 보고 푼 경우 — 4번 대비. 제대로 본 부분은 맞다.
4. 다항식의 곱셈에서 계수 구하기 — 5번 대비.
5. 인수분해를 이용한 수의 계산 — 6번 대비.
6. 인수분해 계수 조건의 경우 세기 — 20번 대비. 음수 조합까지 나열.
7. 인수가 주어진 이차식의 미지수 구하기 — 22번 대비.
8. 이차방정식의 뜻과 해 — 7·8번 대비. 확보 구간.
9. ★ 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 9·11·16·23·25번 대비. 다섯 문항짜리 핵심.
10. 중근을 가질 조건 — 10번 대비.
11. 여러 가지 이차방정식의 정리 — 11번 대비. 분수·소수 계수 처리.
12. 두 이차방정식의 공통인 근 — 12번 대비.
13. 제곱근을 이용한 풀이 — 13·24번 대비. 선택형과 서답형 양쪽.
14. 근의 공식과 역으로 미지수 구하기 — 14·15번 대비.
15. 활용; 삼각형과 사각형 / 수 — 15·16번 대비. 근 거르기까지.
16. 활용; 도로를 만드는 경우 — 25번 대비. 길을 가장자리로 모으기.
17. 이차함수의 뜻과 함숫값 — 17·18번 대비. 확보 구간.
18. y=ax²의 그래프의 성질 — 19번 대비.
19. 이차함수 그래프의 활용 — 21번 대비. 지나는 점 대입에서 출발.

자주 나오는 질문

산정중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 25문항입니다. 1~21번은 선택형, 22~25번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

범위가 어디까지인가요?

배치 단원을 보면 다항식의 곱셈(05)부터 이차함수의 그래프 (2)(12)까지 중단원 여덟 개가 들어갔습니다. 중3 1학기 교과서의 대부분이 시험 범위인 셈입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

06 다항식의 인수분해와 08 이차방정식의 풀이 (1)이 각 6문항으로 가장 많습니다. 대단원으로는 이차방정식이 13문항(52%)으로 절반을 넘습니다.

이차함수는 얼마나 나오나요?

네 문항(17·18·19·21번) 뿐입니다. 세 문항은 기본 개념이지만, 유일한 상 난이도인 21번이 여기 들어 있으니 아예 손을 놓아서는 안 됩니다.

킬러 문항이 있나요?

21번 한 문항이 상 난이도입니다. 이차함수의 그래프의 활용 문항이고 선택형 마지막 자리입니다. 중상은 다섯 문항(12·15·20·23·25번)입니다.

서답형은 어떤 유형이 나오나요?

22~25번 네 문항 중 세 문항이 인수분해로 마무리됩니다. 인수가 주어진 이차식, 인수분해를 이용한 이차방정식 풀이, 제곱근을 이용한 풀이, 도로를 만드는 활용입니다.

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