제일고 2학년 2학기 기말고사 확률과 통계 기출 분석 (2025)
인천 부평구 제일고등학교의 2학년 2학기 기말 확률과 통계는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 단원은 여러 가지 순열과 중복조합과 이항정리 두 개뿐인데, 문항 수가 정확히 10 대 10으로 갈렸습니다. 어느 한쪽을 버리는 전략이 성립하지 않는 시험입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~14번 선택형, 15~20번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 7 / 상 2
- 배치 단원: 01 여러 가지 순열 10문항 · 02 중복조합과 이항정리 10문항
- 최다 반복 개념: 중복조합의 수 7회(1·6·7·12·14·19·20번)
- 상 난이도 2문항(14·19번)이 둘 다 중복조합 계열
제일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
제일고등학교는 인천 부평구에 있는 고등학교입니다. 전국에 제일고라는 이름의 학교가 여럿 있으니, 기출을 찾을 때 지역까지 함께 확인하는 편이 안전합니다. 이 글은 인천 부평구 제일고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 확률과 통계를 다룹니다.
문항은 20개입니다. 정답 기록을 보면 1~14번은 선택형이고, 15~20번 여섯 문항은 답을 직접 써야 하는 형태입니다. 15번과 16번은 1), 2) 두 개의 소문항으로 나뉘어 있습니다.
배치는 두 단원이 번갈아 나옵니다. 여러 가지 순열이 1·2·3·5·8·9·10·11·15·17번, 중복조합과 이항정리가 4·6·7·12·13·14·16·18·19·20번입니다. 4번에서 이미 이항정리가 등장하고, 그다음 5번에서 다시 순열로 돌아옵니다. 단원 순서대로 풀려고 하면 계속 왔다 갔다 하게 되니, 시험지를 받으면 먼저 훑으면서 어느 문항이 어느 단원인지 표시해 두는 편이 낫습니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 2문항, 중상 7문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·3·4 |
| 중 | 7 | 35% | 5·6·7·8·10·15·16 |
| 중상 | 7 | 35% | 9·11·12·13·17·18·20 |
| 상 | 2 | 10% | 14·19 |
하 난이도 네 문항이 1~4번에 그대로 몰려 있습니다. 앞에서 시간을 벌 수 있는 구조입니다. 1번 중복순열, 2번 같은 것이 있는 순열, 3번 원순열, 4번 이항정리 전개식 — 각 단원의 기본 공식을 한 번씩 확인하는 배치입니다.
그다음 5번부터 난이도가 한 칸씩 올라갑니다. 중 7문항, 중상 7문항이 균등하게 깔려 있고, 상은 14번과 19번 딱 두 문항입니다.
주목할 점은 상 두 문항의 성격이 같다는 것입니다. 14번은 방정식·부등식의 해의 개수를 함수의 개수와 묶었고, 19번은 중복조합을 대소가 정해진 경우와 묶었습니다. 둘 다 중복조합을 다른 옷을 입혀 물어본 문항입니다. 중복조합을 확실히 잡으면 이 시험의 최고 난도 두 문항이 동시에 열립니다.
출제 단원 — 10 대 10, 정확히 반반
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 여러 가지 순열 | 10 | 1·2·3·5·8·9·10·11·15·17 |
| 02 중복조합과 이항정리 | 10 | 4·6·7·12·13·14·16·18·19·20 |
두 단원이 정확히 반씩 나눠 가졌습니다. 순열 쪽만 파고 시험장에 들어가면 절반을 통째로 잃습니다.
난이도를 단원별로 다시 보면 성격이 갈립니다. 여러 가지 순열 10문항 중 상은 없고, 중상이 9·11·17번 세 문항입니다. 반면 중복조합과 이항정리 10문항에는 상 2문항(14·19번)이 모두 들어 있고, 중상도 12·13·18·20번 네 문항입니다. 점수가 실제로 빠지는 곳은 중복조합 쪽입니다.
시그니처 개념 — "중복조합" 7회
이 시험을 관통하는 개념은 하나입니다. 서로 다른 n개에서 중복을 허락해 r개를 뽑는 경우의 수, 즉 중복조합입니다.
중복조합의 수가 1·6·7·12·14·19·20번 일곱 문항에서 쓰였습니다. 20문항 중 7문항이니 세 문항에 하나꼴입니다. 게다가 상 난이도 두 문항이 모두 여기 들어 있습니다.
중복조합이 얼굴을 바꿔 나오는 방식은 이 시험에서 네 가지입니다.
- 방정식·부등식의 해의 개수 — 6·14·20번. x+y+z=n 꼴의 음이 아닌 정수해를 세는 형태입니다.
- 함수의 개수 — 7·12·19번. 정의역과 공역이 주어졌을 때 조건을 만족하는 함수를 세는 형태입니다.
- 대소가 정해진 경우 — 12·19번. f(a)≤f(b)≤f(c) 같은 조건이 붙습니다.
- 순수 조합 계산 — 1번. 중복순열과 함께 기본 확인용으로 나왔습니다.
"중복조합 = 방정식의 해의 개수 = 대소 조건이 있는 함수의 개수" 이 세 가지가 같은 것이라는 감각이 이 시험의 핵심입니다. 셋을 따로 외우면 7문항을 각각 처음부터 풀어야 하고, 하나로 묶어 이해하면 7문항이 한 덩어리가 됩니다.
여기에 다음 개념들이 여러 번 겹칩니다.
- (a+b)ⁿ의 전개식 — 4·13·16·18번, 4회
- 같은 것이 있는 순열 — 2·5·8·15번, 4회
- 원순열 — 3·9·11번, 3회
- 이웃하는(묶음) 순열 — 3·9·15번, 3회
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 순열 기본 3종 (1·2·3번) — 전부 하 난이도
1번 하 중복순열의 수, 2번 하 같은 것이 있는 순열의 경우의 수, 3번 하 원순열의 경우의 수.
각 유형의 대표 공식을 한 번씩 묻습니다. 중복순열 nʳ, 같은 것이 있는 순열 n!/(p!q!…), 원순열 (n-1)! — 이 세 공식이 바로 나오는지가 전부입니다. 여기서 시간을 쓰면 안 됩니다.
3번은 원순열에 이웃하는 조건이 얹혀 있습니다. 이웃하는 것을 하나로 묶고 원순열을 계산한 뒤, 묶음 안의 배열 수를 곱하는 표준 절차입니다.
2. 이항정리 전개식 (4·13·16·18번) — 4문항
4번 하 (a+b)ⁿ의 전개식, 13번 중상 (1+x)ⁿ의 전개식의 응용, 16번 중 (a+b)ⁿ의 전개식, 18번 중상 (a+b)ⁿ의 전개식 · 이항계수의 합 · 이항계수의 성질.
일반항 공식 하나로 네 문항이 열립니다. 4번과 16번은 특정 항의 계수를 직접 묻는 기본형이고, 13번과 18번이 중상입니다.
18번은 이항계수의 합·성질까지 얹혀 있는 문항입니다. ₙC₀+ₙC₁+…+ₙCₙ=2ⁿ, 짝수 번째와 홀수 번째 이항계수의 합이 각각 2ⁿ⁻¹이라는 성질을 알고 있어야 합니다. 전개식에 x=1, x=-1을 대입해 두 식을 만드는 것이 표준 접근입니다.
13번의 (1+x)ⁿ 응용은 여러 개의 전개식을 더하거나, 곱한 뒤 특정 차수의 계수를 모으는 형태입니다. 어느 항끼리 곱해야 원하는 차수가 나오는지 조합을 빠뜨리지 않고 세는 것이 관건입니다.
3. 중복조합의 여러 얼굴 (6·7·12·14·19·20번) — 6문항
6번 중 방정식과 부등식의 해의 개수, 7번 중 중복조합의 수; 함수의 개수, 12번 중상 함수의 개수 · 대소가 정해진 경우, 14번 상 방정식·부등식의 해의 개수 · 함수의 개수, 19번 상 함수의 개수 · 대소가 정해진 경우, 20번 중상 방정식과 부등식의 해의 개수.
이 시험의 승부처입니다. 6문항 중 중상 이상이 네 개입니다.
6번과 20번은 방정식·부등식 해의 개수입니다. x+y+z=n의 음이 아닌 정수해는 ₃H_n으로 바로 세지만, x≥1 같은 조건이 붙으면 변수를 치환해 조건을 없앤 뒤 세는 것이 정석입니다. 부등식은 여유 변수를 하나 더 두어 등식으로 바꿉니다.
7번·12번·19번은 함수의 개수입니다. 정의역 원소를 순서대로 나열했을 때 함숫값이 커지지 않는(또는 작아지지 않는) 조건이면 중복조합, 엄격히 커지는 조건이면 조합입니다. 이 구분을 한 줄로 판단할 수 있어야 합니다.
14번과 19번이 상 난이도인 이유는 두 겹으로 묶였기 때문입니다. 14번은 해의 개수 문제를 함수 언어로 바꿔 물었고, 19번은 대소 조건이 있는 함수를 다시 중복조합으로 환원해야 합니다. 한 번 번역하고 끝나는 게 아니라 두 번 번역해야 하는 구조입니다.
4. 순열의 응용 (5·8·9·10·11번) — 5문항
5번 중 최단 거리로 가는 경우의 수 · 같은 것이 있는 순열, 8번 중 같은 것이 있는 순열 · 자연수의 개수 (2), 9번 중상 원순열 · 이웃하는 순열, 10번 중 자연수의 개수 (1), 11번 중상 회전대칭·목걸이 배열 · 원순열.
5번의 최단 거리 문제는 격자에서 오른쪽 이동과 위쪽 이동을 문자로 바꿔 같은 것이 있는 순열로 계산하는 유형입니다. 지나야 하는 점이나 지나면 안 되는 구간이 있으면 구간을 나눠 곱합니다.
11번의 회전대칭·목걸이 배열이 이 파트에서 가장 까다롭습니다. 원순열을 구한 뒤 뒤집어서 같아지는 경우를 2로 나누는지 아닌지를 판단해야 합니다. 목걸이·팔찌처럼 뒤집을 수 있는 상황인지 문제 조건에서 확인하고 들어가세요.
8번과 10번의 자연수의 개수는 숫자 카드로 몇 자리 수를 만드는 유형입니다. 맨 앞자리에 0이 올 수 없다는 제약을 빼먹지 않는 것이 실수 방지의 전부입니다.
5. 답을 직접 쓰는 15~20번 — 6문항
15번 중 같은 것이 있는 순열 · 이웃하는 순열 · 순서가 정해진 경우, 16번 중 (a+b)ⁿ의 전개식, 17번 중상 여집합을 이용한 경우의 수 · 함수의 개수, 18번 중상 이항정리 종합, 19번 상 중복조합 · 대소 조건, 20번 중상 방정식과 부등식의 해의 개수.
여섯 문항 중 네 문항이 중상 이상입니다. 앞의 14문항을 빠르게 정리하고 뒤에 시간을 남겨야 하는 이유입니다.
15번과 16번은 소문항이 2개씩 있습니다. 부분 점수를 챙길 수 있는 구간이니 1) 먼저 확실히 잡고 2)로 넘어가세요.
17번의 여집합을 이용한 경우의 수는 "적어도 하나는 ~"이나 "~가 아닌 경우"를 물을 때 전체에서 반대 경우를 빼는 유형입니다. 직접 세는 것보다 여집합이 훨씬 빠른 상황을 알아보는 눈이 필요합니다.
주의 문항 — 중상 이상 9문항
9번 중상 (원순열 · 이웃하는 순열) — 묶음 처리와 원순열이 겹칩니다.
11번 중상 (회전대칭·목걸이 배열) — 뒤집기를 따지는지가 갈림길입니다.
12번 중상 (함수의 개수 · 대소가 정해진 경우) — 조건을 중복조합으로 번역해야 합니다.
13번 중상 ((1+x)ⁿ 전개식의 응용) — 여러 전개식을 다뤄야 합니다.
14번 상 (방정식의 해의 개수 · 함수의 개수) — 두 언어를 오갑니다.
17번 중상 (여집합을 이용한 경우의 수) — 반대 경우를 세는 발상 전환이 필요합니다.
18번 중상 (이항계수의 합과 성질) — x=1, x=-1 대입 테크닉을 알아야 합니다.
19번 상 (중복조합 · 대소가 정해진 경우) — 이 시험에서 가장 무거운 문항입니다.
20번 중상 (방정식과 부등식의 해의 개수) — 마지막 문항이라 시간에 쫓기기 쉽습니다.
중상 이상 아홉 문항 중 여섯 개(12·13·14·18·19·20번)가 중복조합과 이항정리 단원입니다.
제일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 중복순열·같은 것이 있는 순열·원순열 기본 공식 — 1·2·3번 대비. 확보 구간.
- 이항정리 일반항 공식 — 4·16번 대비. 확보 구간.
- ★ 중복조합 ₙHᵣ의 정의와 조합으로 바꾸는 식 — 6·7·12·14·19·20번을 관통합니다.
- 방정식의 음이 아닌 정수해 세기 — 6·20번 대비. 조건이 붙으면 치환.
- 부등식 해의 개수 — 여유 변수 추가로 등식화.
- ★ 함수의 개수와 중복조합의 대응 — 7·12·19번 대비. 커지지 않으면 중복조합, 엄격히 커지면 조합.
- 대소가 정해진 함수 — 12·19번 대비. 이 시험 최고 난도의 뿌리.
- 이웃하는 순열(묶음) — 3·9·15번 대비.
- 최단 거리로 가는 경우의 수 — 5번 대비. 격자 경로를 문자 나열로 바꾸기.
- 자연수의 개수 — 8·10번 대비. 맨 앞자리 0 제외 잊지 않기.
- ★ 회전대칭·목걸이 배열 — 11번 대비. 뒤집기 여부 판단.
- 여집합을 이용한 경우의 수 — 17번 대비. "적어도"가 보이면 반대부터.
- 이항계수의 합과 성질 — 18번 대비. x=1, x=-1 대입.
- (1+x)ⁿ 전개식의 응용 — 13번 대비. 여러 전개식의 계수 모으기.
- 순서가 정해진 경우의 수 — 15번 대비.
자주 나오는 질문
제일고 2학년 2학기 기말 확률과 통계는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~14번은 선택형, 15~20번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 더 많이 나오나요?
여러 가지 순열 10문항, 중복조합과 이항정리 10문항으로 정확히 반반입니다. 다만 상 난이도 두 문항이 모두 중복조합과 이항정리 쪽에 있습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 14번과 19번 두 문항입니다. 둘 다 중복조합 계열이고, 하나는 방정식의 해의 개수, 다른 하나는 대소가 정해진 함수의 개수로 위장돼 있습니다.
어떤 개념부터 공부해야 하나요?
중복조합입니다. 20문항 중 7문항에서 쓰였고 상 두 문항이 모두 여기에 있습니다. 중복조합·방정식의 해·함수의 개수 세 가지가 같은 것이라는 점을 먼저 잡으세요.
서답형은 어떤 문항인가요?
15~20번 여섯 문항입니다. 15번과 16번은 소문항이 두 개씩 있고, 나머지 네 문항은 값을 하나 씁니다. 중상 이상이 네 문항이라 시간 배분이 중요합니다.
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