고산중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)
고산중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 실제 출제 단원은 이차방정식의 풀이 · 이차방정식의 활용 · 이차함수의 그래프입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 5문항이라는 점입니다. 대구 수성구 중학교 시험 중에서도 상위 난도 구간이 두껍게 잡힌 편입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 5 / 중상 6 / 상 5
- 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 7 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 4 / 10 이차방정식의 활용 4 / 12 이차함수의 그래프 (2) 3 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 2
- 대단원 비중: 이차방정식 10문항 · 이차함수 10문항 (정확히 절반씩)
- 최다 반복 유형: 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 4회(2·6·8·18번)
고산중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가
고산중학교는 대구 수성구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치는 네 덩어리입니다. 1~8번이 이차방정식, 9~16번이 이차함수, 그리고 서술 구간에서 17·18번이 이차방정식, 19·20번이 이차함수로 돌아옵니다. 선택형 8+8, 서술형 2+2로 이차방정식과 이차함수가 정확히 10문항씩 나뉩니다.
이 시험의 성격을 결정하는 것은 난이도 분포입니다. 하 4 / 중 5 / 중상 6 / 상 5 — 중 이하가 9문항, 중상 이상이 11문항입니다. 어려운 쪽이 더 많은 시험입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 5문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·9·11 |
| 중 | 5 | 25% | 5·10·14·15·19 |
| 중상 | 6 | 30% | 3·4·6·13·18·20 |
| 상 | 5 | 25% | 7·8·12·16·17 |
상 다섯 문항이 7·8·12·16·17번에 놓여 있습니다. 흩어져 있다는 점이 중요합니다. 7·8번은 선택형 이차방정식 파트의 끝, 12·16번은 이차함수 파트의 중간과 끝, 17번은 서술형의 첫 문항입니다. 어느 구간에서도 방심할 수 없는 배치입니다.
하 난이도 네 문항(1·2·9·11번) 은 각 파트의 시작 지점입니다. 1·2번은 이차방정식의 기본 풀이, 9·11번은 이차함수의 정의와 y=ax²의 식 구하기입니다. 이 넷은 무조건 확보하고 들어가야 합니다.
출제 단원 — 이차함수의 그래프 (1)에 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 11 이차함수의 그래프 (1) | 7 | 9·10·11·13·14·19·20 |
| 08 이차방정식의 풀이 (1) | 4 | 1·2·5·8 |
| 10 이차방정식의 활용 | 4 | 3·6·17·18 |
| 12 이차함수의 그래프 (2) | 3 | 12·15·16 |
| 09 이차방정식의 풀이 (2) | 2 | 4·7 |
11 이차함수의 그래프 (1)이 7문항(35%) 으로 압도적입니다. y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)²+q 계열의 기본 그래프를 다루는 단원인데, 여기만 일곱 문항이 나왔습니다.
반면 09 이차방정식의 풀이 (2)는 2문항뿐입니다. 그런데 그 둘(4·7번)이 각각 중상과 상입니다. 문항 수가 적다고 버릴 단원이 아닙니다.
시그니처 유형 — "이차방정식의 근의 활용"이 상 세 문항을 만든다
상 난이도 다섯 문항 중 세 문항(7·8·17번)이 "이차방정식의 근의 활용" 유형을 공유합니다. 이 시험에서 가장 중요한 사실입니다.
- 7번 상 공통부분이 있는 이차방정식의 풀이 · 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 · 근의 활용
- 8번 상 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 · 인수분해를 이용한 풀이 · 근의 활용
- 17번 상 잘못 보고 푼 이차방정식 · 근의 공식 · 근의 활용
"근을 구하는 것"이 아니라 "근을 재료로 쓰는 것" 이 세 문항의 공통 구조입니다. 두 근이 주어졌을 때 원래 방정식을 복원하거나, 근에 조건을 걸어 미지수를 역추적하는 방식입니다. 근의 공식으로 답을 뽑는 연습만으로는 이 세 문항이 열리지 않습니다.
여기에 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 2·6·8·18번 네 문항에서 재료로 쓰였습니다. 난이도는 하(2번)부터 상(8번)까지 걸쳐 있습니다. 인수분해 속도가 곧 이 시험의 시간 여유입니다.
이차함수 쪽에서는 다음 세 유형이 각각 세 번씩 겹칩니다.
- 이차함수 y=ax²+q의 그래프 — 14·19·20번
- 이차함수 y=a(x-p)²+q의 식 구하기 — 14·19·20번
- 이차함수의 그래프의 활용 — 12·16·20번
14·19·20번이 같은 두 유형으로 묶여 있다는 점을 주목하세요. 14번(중)에서 연습한 것이 19번(중), 20번(중상)에서 그대로 반복됩니다. 14번을 확실히 이해하면 서술형 두 문항이 함께 열립니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 이차방정식의 풀이 (1) — 1·2·5·8번, 4문항
1번 하 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기, 2번 하 두 이차방정식의 공통인 근 · 인수분해를 이용한 풀이, 5번 중 이차방정식이 중근을 가질 조건 · 중근, 8번 상 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 · 인수분해를 이용한 풀이 · 근의 활용.
1·2번이 하 난이도로 시작합니다. 2번의 "공통인 근"은 두 방정식을 각각 인수분해해 근을 나열한 뒤 겹치는 것을 고르면 됩니다.
8번이 상 난이도인 이유는 방향이 반대이기 때문입니다. 근에서 방정식을 만들어야 합니다. 두 근이 α, β이면 a(x-α)(x-β)=0 이 원래 식이라는 것, 그리고 그 식을 전개했을 때의 계수가 조건과 맞아야 한다는 것을 함께 써야 합니다.
5번의 중근 조건은 판별식이 0이 되는 미지수 값을 구하는 표준 문항입니다. 중 난이도이니 반드시 확보하세요.
2. 이차방정식의 풀이 (2) — 4·7번, 2문항
4번 중상 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 · (x+p)²=q가 근을 가질 조건 · 제곱근의 대소 관계, 7번 상 공통부분이 있는 이차방정식의 풀이 · 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 · 근의 활용.
두 문항뿐인데 중상과 상입니다. 이 단원은 문항 수 대비 난도가 가장 높습니다.
4번의 "(x+p)²=q가 근을 가질 조건" 은 q ≥ 0 하나입니다. q > 0이면 근이 두 개, q = 0이면 중근, q < 0이면 근이 없습니다. 여기에 제곱근의 대소 비교가 붙어 있어 중상이 됐습니다.
7번의 "공통부분이 있는 이차방정식" 은 반복되는 덩어리를 A로 치환해 푸는 유형입니다. 치환 후 A에 대한 이차방정식을 풀고, 반드시 원래 변수로 되돌리는 것이 실수 지점입니다. 여기에 근의 활용까지 얹혀 상 난이도가 됐습니다.
3. 이차방정식의 활용 — 3·6·17·18번, 4문항
3번 중상 한 근이 무리수일 때 미지수의 값 구하기 · 한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값 · 근의 공식, 6번 중상 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이, 17번 상 잘못 보고 푼 이차방정식 · 근의 공식 · 근의 활용, 18번 중상 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이.
네 문항이 전부 중상 이상입니다. 활용 단원에서 점수를 잃기 가장 쉬운 시험입니다.
3번의 "한 근이 무리수" 는 앞쪽 최대 고비입니다. 계수가 유리수인 이차방정식에서 한 근이 a+b√m이면 다른 근은 a-b√m이라는 켤레 성질이 열쇠입니다.
6번과 18번이 같은 유형(삼각형과 사각형) 입니다. 6번은 선택형, 18번은 서술형으로 두 번 물었습니다. 도형의 넓이나 길이를 x로 놓고 식을 세우는 절차가 동일하므로, 6번을 풀어봤다면 18번이 훨씬 수월합니다.
17번의 "잘못 보고 푼 이차방정식" 은 서술 구간의 최대 난관입니다. 상수항을 잘못 본 사람은 일차항 계수는 제대로 봤다, 일차항을 잘못 본 사람은 상수항은 제대로 봤다는 것이 원칙입니다. 맞게 본 정보만 골라 원래 식을 복원한 뒤 근의 공식으로 마무리합니다.
4. 이차함수의 그래프 (1) — 9·10·11·13·14·19·20번, 7문항
9번 하 이차함수가 되도록 하는 조건, 10번 중 이차함수 · 되도록 하는 조건, 11번 하 y=ax²의 식 구하기 · 지나는 점, 13번 중상 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 · a, b, c의 부호, 14번 중 y=ax²+q의 그래프 · y=a(x-p)²+q의 식 구하기, 19번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프 · 식 구하기 · y=ax²+q의 그래프, 20번 중상 y=ax²+q의 그래프 · 식 구하기 · 그래프의 활용.
하 난이도 두 문항(9·11번)이 여기 있습니다. 9번과 10번이 "이차함수가 되도록 하는 조건"을 공유하는데, x² 항의 계수가 0이 되면 안 된다는 한 줄이 전부입니다.
13번의 "지나지 않는 사분면" 이 이 단원의 고비입니다. 그래프를 실제로 그려서 판단해야 합니다. 꼭짓점의 위치와 볼록한 방향, 그리고 y절편 세 정보를 확정하면 사분면이 결정됩니다.
14·19·20번이 한 묶음입니다. y=ax²+q와 y=a(x-p)²+q의 평행이동을 반복해서 묻습니다. q는 위아래, p는 좌우라는 대응, 그리고 y=a(x-p)²+q에서 p의 부호가 그래프 이동 방향과 반대라는 점만 정확히 잡으면 세 문항이 한 번에 열립니다.
5. 이차함수의 그래프 (2) — 12·15·16번, 3문항
12번 상 이차함수의 그래프의 활용 · y=ax²의 그래프가 지나는 점 · y=ax²의 식 구하기, 15번 중 y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 · 그래프의 성질 · 증가·감소하는 범위, 16번 상 그래프의 활용 · 꼴 변형 · 축과 만나는 점.
세 문항 중 둘이 상입니다. 12번과 16번이 모두 "이차함수의 그래프의 활용"인데, 이는 좌표평면 위에 놓인 도형이나 실제 상황을 그래프로 옮겨 푸는 유형입니다. 그래프를 직접 그려야 하고, 조건도 여러 개라 시간이 많이 듭니다.
15번은 중 난이도입니다. y=ax²+bx+c를 완전제곱꼴로 고쳐 꼭짓점과 축을 찾고, 그 축을 기준으로 증가·감소 구간을 읽는 표준 문항입니다. 이 문항은 반드시 확보해야 합니다.
6. 답을 직접 쓰는 17~20번 — 4문항
17번 상 잘못 보고 푼 이차방정식, 18번 중상 활용; 삼각형과 사각형, 19번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프, 20번 중상 y=ax²+q의 그래프 · 그래프의 활용.
서술형 첫 문항이 상 난이도입니다. 17번에서 막히면 남은 세 문항 시간까지 날아갑니다. 17번을 한 번 읽고 유형이 안 잡히면 19번부터 푸는 것이 현실적인 전략입니다.
19번이 중 난이도로 가장 무난합니다. 여기서 확실히 점수를 챙기고 20번으로 넘어가세요.
주의 문항 — 상 5문항
7번 상 (공통부분이 있는 이차방정식) — 치환 후 원래 변수로 되돌리는 것을 잊으면 틀립니다.
8번 상 (두 근이 주어진 이차방정식 구하기) — 근에서 방정식을 만드는 역방향 사고가 필요합니다.
12번 상 (그래프의 활용) — 좌표평면 위 상황을 식으로 옮기는 과정이 길어집니다.
16번 상 (그래프의 활용 + 축과 만나는 점) — 변형과 교점 계산이 이어지는 복합형입니다.
17번 상 (잘못 보고 푼 이차방정식, 서술형) — 과정까지 써야 하는 서술형이라 부담이 큽니다.
상 다섯 문항 중 셋(7·8·17번)이 "근의 활용"으로 묶입니다. 이 유형 하나를 잡으면 이 시험의 상 구간 대부분이 정리됩니다.
고산중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서
- 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 2·6·8·18번의 공통 재료. 속도가 곧 시간입니다.
- 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 — 1번 대비. 확보 구간.
- 두 이차방정식의 공통인 근 — 2번 대비. 확보 구간.
- 중근과 중근을 가질 조건 — 5번 대비.
- ★ 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 — 7·8번 대비. 이 시험의 최중요 유형.
- ★ 이차방정식의 근의 활용 — 7·8·17번 대비. 상 세 문항의 공통 뿌리.
- 공통부분이 있는 이차방정식의 치환 — 7번 대비. 되돌리기 잊지 않기.
- (x+p)²=q가 근을 가질 조건 — 4번 대비. q ≥ 0 한 줄.
- 켤레근; 한 근이 무리수일 때 — 3번 대비.
- ★ 잘못 보고 푼 이차방정식 — 17번 대비. 맞게 본 정보만 쓰는 원칙.
- 삼각형·사각형 활용 식 세우기 — 6·18번 대비. 두 번 나왔습니다.
- 이차함수가 되도록 하는 조건 — 9·10번 대비. 확보 구간.
- y=ax²의 식 구하기와 지나는 점 — 11·12번 대비.
- ★ y=ax²+q, y=a(x-p)²+q 평행이동 — 14·19·20번 대비. 세 문항이 한 묶음.
- y=ax²+bx+c의 꼴 변형과 증가·감소 범위 — 15번 대비. 확보 구간.
- 지나지 않는 사분면의 조건 — 13번 대비. 그래프를 직접 그리기.
- 이차함수의 그래프의 활용 — 12·16·20번 대비. 상 난이도 두 문항의 뿌리.
자주 나오는 질문
고산중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
난이도는 어느 정도인가요?
상 난이도가 5문항(25%) 으로 두꺼운 편입니다. 중상까지 합치면 11문항으로 절반이 넘습니다. 중 이하는 9문항입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 11 이차함수의 그래프 (1)이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 08 이차방정식의 풀이 (1) 4문항, 10 이차방정식의 활용 4문항입니다. 대단원으로는 이차방정식 10문항, 이차함수 10문항으로 정확히 반반입니다.
킬러 문항은 어디에 있나요?
7·8·12·16·17번입니다. 7·8번은 선택형 이차방정식 파트 끝, 12·16번은 이차함수 파트, 17번은 서술형 첫 문항입니다. 한 구간에 몰려 있지 않고 흩어져 있습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
정답 기록 기준 17~20번 네 문항입니다. 이 중 17번이 상, 18·20번이 중상, 19번이 중입니다.
과년도 고산중 기출도 볼 수 있나요?
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