구암중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

구암중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 실제 출제 단원은 이차방정식의 풀이 · 이차방정식의 활용 · 이차함수의 그래프입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 한 문항도 없다는 점, 그리고 이차함수의 그래프 (1) 단원에만 8문항이 몰려 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 3 / 중 12 / 중상 5 / 상 0
• 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 8 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 5 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 4 / 10 이차방정식의 활용 2 / 12 이차함수의 그래프 (2) 1
• 대단원 비중: 이차방정식 11문항 · 이차함수 9문항
• 가장 까다로운 구간: 15·16·17번 세 문항 연속 중상

구암중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

구암중학교는 대구 북구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치는 깔끔합니다. 1~9번이 이차방정식, 10~17번이 이차함수, 서술 구간에서 18·19번이 이차방정식, 20번이 이차함수입니다. 순서대로 진행하면 단원이 한 번만 바뀌는 구조라 흐름이 끊기지 않습니다.

이 시험의 성격을 결정하는 건 중 난이도 12문항(60%) 입니다. 상 난이도는 없고, 중상도 5문항뿐입니다. 극단적으로 어려운 문항 없이 중간 구간이 두껍게 깔린 시험입니다. 대신 그만큼 실수 한 번이 그대로 등급으로 이어집니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 12문항

상 난이도가 없습니다. 손도 못 댈 문항은 없다는 뜻이지만, 반대로 중 12문항에서 하나씩 흘리면 그대로 점수 차가 됩니다. 킬러 한 문항을 버리고 나머지를 지키는 전략이 통하지 않습니다.

중상 다섯 문항 중 셋(15·16·17번)이 연속입니다. 그리고 나머지 둘은 8번과 20번, 즉 이차방정식 파트의 끝과 시험지의 마지막입니다. 15번부터 17번까지가 이 시험의 실질적인 승부처입니다.

하 난이도가 세 문항(2·6·10번)뿐이라는 점도 눈여겨보세요. 2번은 이차방정식의 해, 6번은 인수분해를 이용한 풀이, 10번은 이차함수의 정의입니다. 각 파트의 정의·기본기 문항만 하 난이도이고, 나머지는 전부 중 이상입니다.

출제 단원 — 이차함수의 그래프 (1)에 8문항 집중

11 이차함수의 그래프 (1)이 8문항(40%) 으로 압도적입니다. y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)²+q 계열의 기본 그래프와 평행이동을 다루는 단원인데, 전체의 40%가 여기서 나왔습니다.

반대로 12 이차함수의 그래프 (2)는 17번 단 한 문항입니다. y=ax²+bx+c 일반형을 다루는 단원인데 딱 하나만 나왔고, 그마저 중상입니다. 일반형보다 표준형(꼭짓점 형태) 중심으로 출제한 시험입니다.

10 이차방정식의 활용도 2문항(9·19번) 뿐입니다. 활용 비중이 낮은 대신, 이차방정식의 풀이 자체를 9문항(1~8번, 18번)으로 넓게 물었습니다.

시그니처 유형 — "평행이동"과 "부호 읽기"

이 시험을 관통하는 개념은 y=a(x-p)²+q에서 a, p, q가 무엇을 결정하는가 하나입니다.

y=a(x-p)²+q의 그래프가 12·13·15번 세 문항에서, 평행이동이 12·13번에서 쓰였습니다. 그리고 16번은 아예 a, p, q의 부호를 직접 묻습니다. 12번에서 시작한 개념이 16번에서 부호 판정으로 마무리되는 구조입니다.

정리하면 이렇습니다. a의 부호는 볼록한 방향, |a|는 폭, p는 좌우 이동, q는 상하 이동입니다. 그리고 p는 그래프가 오른쪽으로 갈 때 양수라는 부호 방향이 실수 지점입니다.

15번과 16번이 붙어 있는 것도 우연이 아닙니다. 15번은 "그래프가 지나지 않는 사분면"을, 16번은 "a, p, q의 부호"를 묻는데, 16번의 두 번째 유형이 다시 사분면 조건입니다. 두 문항이 같은 사고를 앞뒤로 뒤집어 물었습니다. 꼭짓점의 위치와 볼록한 방향만 확정하면 두 문항이 함께 열립니다.

여기에 다음 유형들이 겹칩니다.

• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 6·9·18·19번 (4회)
• 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이 — 3·8번
• 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 — 5·18번
• 이차방정식의 근의 공식 — 7·18번
• 이차방정식의 활용; 실생활 — 9·19번
• y=ax²의 그래프의 모양과 성질 — 11·14번
• y=ax²+bx+c의 그래프가 축과 만나는 점 — 17·20번

18번 한 문항에 세 가지 풀이법(인수분해·완전제곱식·근의 공식)이 모두 들어 있습니다. 서술형 첫 문항이 "풀이법 총정리" 성격이라는 뜻입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1) — 1·2·4·6·18번, 5문항

1번 중 이차방정식 · 곱셈 공식, 2번 하 이차방정식의 해, 4번 중 중근을 가질 조건 · 중근, 6번 하 인수분해를 이용한 풀이, 18번 중 인수분해를 이용한 풀이 · 완전제곱식을 이용한 풀이 · 근의 공식.

1번이 중 난이도로 시작합니다. "이차방정식인 것을 고르시오" 형태인데, 전개해서 x² 항이 남는지 확인해야 하므로 곱셈 공식이 함께 걸립니다. 첫 문항부터 계산이 필요합니다.

2번과 6번이 하 난이도입니다. 2번은 주어진 수를 대입해 성립하는지 확인, 6번은 인수분해로 근을 구하는 기본 문항입니다. 여기서 시간을 아껴야 뒤가 편합니다.

4번의 중근 조건은 판별식이 0이 되는 미지수를 구하는 표준 문항입니다.

18번은 서술형 첫 문항인데 세 가지 풀이법을 모두 요구합니다. 인수분해가 되면 인수분해로, 안 되면 완전제곱식이나 근의 공식으로 넘어가는 판단이 필요합니다.

2. 이차방정식의 풀이 (2) — 3·5·7·8번, 4문항

3번 중 제곱근을 이용한 풀이 · 근의 활용, 5번 중 완전제곱식의 꼴로 고치기 · 완전제곱식을 이용한 풀이, 7번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이 · 근의 공식, 8번 중상 제곱근을 이용한 풀이 · (x+p)²=q가 근을 가질 조건.

네 문항이 풀이법 네 가지를 하나씩 담당합니다. 3번은 제곱근, 5번은 완전제곱식, 7번은 근의 공식(계수가 분수·소수인 경우 포함), 8번은 근을 가질 조건입니다.

8번이 유일한 중상입니다. (x+p)²=q 꼴에서 근을 가질 조건은 q ≥ 0 하나입니다. q > 0이면 근이 두 개, q = 0이면 중근, q < 0이면 근이 없습니다. 부등호에 등호를 넣을지 말지가 실수 지점입니다.

7번의 "여러 가지 이차방정식" 은 계수가 분수나 소수인 경우입니다. 양변에 최소공배수나 10의 거듭제곱을 곱해 정수로 만들 때, 상수항까지 빠짐없이 곱하는지가 관건입니다.

3. 이차방정식의 활용 — 9·19번, 2문항

9번 중 활용; 실생활 · 인수분해를 이용한 풀이, 19번 중 활용; 실생활 · 인수분해를 이용한 풀이.

두 문항이 완전히 같은 유형 조합입니다. 9번은 선택형, 19번은 서술형으로 두 번 물었습니다. 둘 다 실생활 상황을 x에 대한 이차방정식으로 옮긴 뒤 인수분해로 푸는 구조입니다.

활용이 두 문항뿐이고 둘 다 중 난이도이니, 유형을 하나만 확실히 익혀두면 두 문항이 함께 해결됩니다. 식을 세운 뒤 나온 두 근 중 상황에 맞지 않는 것(음수 길이, 조건 밖의 개수)을 버리는 마무리를 잊지 마세요. 서술형인 19번에서 이 과정을 안 쓰면 감점될 수 있습니다.

4. 이차함수의 그래프 (1) — 10·11·12·13·14·15·16·20번, 8문항

10번 하 이차함수 · 되도록 하는 조건, 11번 중 y=ax²의 그래프의 성질 · 모양, 12번 중 y=a(x-p)²+q의 평행이동 · 그래프, 13번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프 · 평행이동, 14번 중 y=ax²의 그래프의 모양 · 성질, 15번 중상 지나지 않는 사분면의 조건 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 16번 중상 a, p, q의 부호 · 사분면 조건, 20번 중상 y=a(x-p)²+q의 식 구하기 · 축과 만나는 점.

여덟 문항이 하나의 흐름입니다. 10번에서 정의를 확인하고, 11·14번에서 y=ax²의 성질을, 12·13번에서 평행이동을, 15·16번에서 부호와 사분면을, 20번에서 식 구하기로 마무리합니다.

11번과 14번이 같은 두 유형(모양·성질) 을 순서만 바꿔 물었습니다. a의 부호가 볼록한 방향을, |a|가 폭을 결정한다는 두 가지가 전부입니다. |a|가 클수록 폭이 좁아진다는 방향을 헷갈리는 경우가 많으니 그림으로 확인해 두세요.

12번과 13번도 짝입니다. 평행이동과 그래프의 성질을 앞뒤로 뒤집어 물었습니다.

20번은 서술형 마지막입니다. y=a(x-p)²+q의 식을 구한 뒤 x축과의 교점까지 구해야 합니다. 교점을 구하려면 y=0을 대입해 이차방정식을 풀어야 하니, 이차함수 문항인데 이차방정식 풀이가 마무리입니다. 근이 무리수로 나올 수 있으니 근호 표기를 정확히 하세요.

5. 이차함수의 그래프 (2) — 17번, 1문항

17번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프가 축과 만나는 점 · 그래프의 활용.

단 한 문항인데 중상입니다. y=ax²+bx+c 일반형에서 x축과 만나는 점은 y=0을 넣어 얻은 이차방정식의 근, y축과 만나는 점은 x=0을 넣은 상수항이라는 대응이 핵심입니다.

여기에 "그래프의 활용"이 붙어 있어 교점을 구한 뒤 도형의 넓이나 길이로 이어지는 형태입니다. 20번과 같은 유형(축과 만나는 점)을 공유하니, 17번을 풀어봤다면 20번의 마무리가 수월합니다.

주의 문항 — 중상 5문항

8번 중상 ((x+p)²=q가 근을 가질 조건) — 이차방정식 파트의 유일한 중상입니다. 부등호의 등호 포함 여부가 갈립니다.

15번 중상 (지나지 않는 사분면) — 그래프를 직접 그려야 합니다. 꼭짓점·볼록 방향·y절편 세 정보가 필요합니다.

16번 중상 (a, p, q의 부호) — 15번의 역방향입니다. 그림에서 부호를 읽어냅니다.

17번 중상 (일반형과 축의 교점) — 이 시험에서 유일한 일반형 문항입니다.

20번 중상 (식 구하기 + 교점, 서술형) — 함수에서 방정식으로 넘어가는 마무리가 있습니다.

중상 다섯 중 셋(15·16·17번)이 연속입니다. 그 앞의 10~14번이 전부 하·중이니, 14번까지 빠르게 정리하고 15번부터 시간을 쓰는 배분이 필요합니다.

구암중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 뜻과 해 — 1·2번 대비. 전개해서 x² 항 확인하기.
2. 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 6·9·18·19번의 공통 재료. 네 문항에 걸립니다.
3. 중근과 중근을 가질 조건 — 4번 대비.
4. 제곱근을 이용한 풀이 — 3번 대비.
5. 완전제곱식으로 고치기와 풀이 — 5·18번 대비.
6. 근의 공식과 계수가 분수·소수인 경우 — 7·18번 대비.
7. ★ (x+p)²=q가 근을 가질 조건 — 8번 대비. q ≥ 0 한 줄.
8. 실생활 활용 식 세우기와 근 검토 — 9·19번 대비. 같은 유형이 두 번.
9. 이차함수의 정의와 되도록 하는 조건 — 10번 대비. 확보 구간.
10. y=ax²의 모양과 성질 — 11·14번 대비. |a|와 폭의 관계.
11. ★ y=a(x-p)²+q의 평행이동 — 12·13·15번 대비. 이 시험의 시그니처.
12. ★ 지나지 않는 사분면의 조건 — 15·16번 대비. 그래프를 직접 그리기.
13. ★ a, p, q의 부호 판정 — 16번 대비. p의 부호 방향 주의.
14. y=ax²+bx+c와 x축·y축의 교점 — 17·20번 대비.
15. 꼭짓점 정보로 식 구하기 — 20번 대비. 서술형 마지막.

자주 나오는 질문

구암중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 11 이차함수의 그래프 (1)이 8문항(40%) 으로 압도적입니다. 이어서 08 이차방정식의 풀이 (1) 5문항, 09 이차방정식의 풀이 (2) 4문항입니다.

이차함수 일반형은 안 나오나요?

12 이차함수의 그래프 (2)는 17번 한 문항뿐입니다. y=ax²+bx+c 일반형보다 y=a(x-p)²+q 표준형 중심으로 출제된 시험입니다. 다만 17번과 20번에서 x축과 만나는 점을 물으므로 일반형을 아예 건너뛸 수는 없습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 5문항(8·15·16·17·20번)이고, 그중 15·16·17번이 연속으로 붙어 있습니다.

서술형은 몇 문항인가요?

정답 기록 기준 18~20번 세 문항입니다. 18·19번이 중, 20번이 중상입니다.

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