논공중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

논공중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 실제 출제 단원은 제곱근과 실수 · 다항식의 곱셈과 인수분해 · 이차방정식입니다. 이차함수는 한 문항도 나오지 않았습니다. 같은 대구권 중3 1학기 기말이라도 학교마다 범위가 크게 다르니, 논공중 학생은 이 점을 먼저 확인하세요.

핵심 요약

• 20문항 — 1~15번은 선택형, 16~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 10 / 중상 4 / 상 0
• 대단원 비중: II 다항식의 곱셈과 인수분해 8문항 · I 제곱근과 실수 6문항 · III 이차방정식 6문항
• 이차함수 0문항 — 1학기 전반부(제곱근~이차방정식)만 다룬 시험
• 가장 까다로운 구간: 14·15번 두 문항 연속 중상

논공중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

논공중학교는 대구 달성군에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~15번은 선택형, 16~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

이 시험에서 가장 먼저 확인해야 할 것은 범위입니다. 실제 출제된 단원은 제곱근의 뜻과 성질, 무리수와 실수, 근호를 포함한 식의 계산, 다항식의 곱셈, 다항식의 인수분해, 이차방정식의 풀이와 활용 여섯 갈래입니다. 이차함수는 한 문항도 없습니다. 같은 시기 다른 대구권 중학교 기말고사가 이차함수 중심으로 출제된 것과 대조적입니다.

배치는 교과서 순서를 거의 그대로 따릅니다. 1~5번이 제곱근과 실수, 6~11번이 다항식의 곱셈과 인수분해, 12~15번이 이차방정식입니다. 그리고 서술 구간에서 16번 제곱근 → 17번 다항식의 곱셈 → 18번 인수분해 → 19·20번 이차방정식으로 같은 순서를 한 번 더 반복합니다. 선택형과 서술형이 같은 순서로 두 번 흐르는 구조라 헷갈릴 일이 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 하 6문항

하 난이도가 6문항(30%) 으로 넉넉합니다. 여덟 편의 대구권 중3 1학기 기말 기출 중에서도 기본기 문항 비중이 높은 편입니다.

상 난이도는 없고 중상도 4문항뿐입니다. 극단적으로 어려운 문항 없이 기본기와 표준 유형으로 채워진 시험입니다. 대신 그만큼 실수 한 번이 그대로 등급이 됩니다.

중상 네 문항이 5·11·14·15번입니다. 5번은 제곱근 파트의 마지막, 11번은 인수분해 파트의 마지막, 14·15번은 이차방정식 파트의 마지막 두 문항입니다. 각 파트의 끝 문항이 어렵다는 규칙적인 배치입니다. 파트가 바뀌면 다시 쉬워지니, 한 문항에서 막혔을 때 그 파트를 통째로 포기할 필요가 없습니다.

출제 단원 — 다항식 파트가 8문항으로 최대

대단원으로 묶으면 이렇습니다.

세 대단원이 8 : 6 : 6으로 나뉩니다. 어느 하나도 버릴 수 없는 균등 배치입니다. 다만 다항식 파트가 조금 더 무겁고, 하 난이도 여섯 문항 중 넷(6·7·9·17번)이 여기 있습니다.

이차방정식은 여섯 문항인데 그중 둘(14·15번)이 중상입니다. 문항 수는 제곱근과 같지만 체감 난도는 이차방정식이 높습니다.

시그니처 유형 — "잘못 보고 푼 문제"와 곱셈 공식 ⑤

이 시험에서 가장 눈에 띄는 문항은 11번 중상, "계수 또는 상수항을 잘못 보고 푼 경우" 입니다.

두 사람이 각각 다른 부분을 잘못 보고 인수분해했다는 설정에서, 잘못 본 사람이라도 제대로 본 부분은 맞다는 것이 열쇠입니다. 상수항을 잘못 본 사람은 일차항 계수는 제대로 봤고, 일차항을 잘못 본 사람은 상수항은 제대로 봤습니다. 각각 맞는 정보만 골라 원래 식을 복원합니다. 유형을 모르면 헤매고, 알면 두 줄로 끝납니다.

두 번째로 중요한 것은 곱셈 공식 ⑤ (일차항의 계수가 1이 아닌 두 일차식의 곱) 입니다. 6번과 17번 두 문항에서 쓰였고, (ax+b)(cx+d) 형태를 전개하는 조작입니다. 그리고 "계수 구하기"가 7번과 17번에서 겹칩니다. 17번 한 문항에 6번과 7번의 조작이 모두 들어 있는 셈입니다. 6·7번을 확실히 잡으면 서술형 17번이 따라옵니다.

세 번째는 인수분해가 이차방정식으로 이어지는 흐름입니다.

• 두 다항식의 공통인수 구하기 — 9·18번
• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 19·20번
• 이차방정식의 근의 공식 — 15·19번

9번(인수분해)에서 익힌 것이 18번(서술형 인수분해)으로, 다시 19·20번(이차방정식)으로 이어집니다. 인수분해가 이 시험의 척추입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 제곱근과 실수 — 1·2·3·4·5·16번, 6문항

1번 중 제곱근의 이해 · 제곱근 · √(a²)의 성질, 2번 하 유리수와 무리수 구별하기 · 무리수의 이해, 3번 하 근호가 있는 식의 변형 √(a²b) · a√b, 4번 중 분모의 유리화 · 제곱근의 나눗셈, 5번 중상 세 실수의 대소 관계 · 실수의 대소 관계 · 뺄셈을 이용한 대소 비교, 16번 중 제곱근의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 · 덧셈과 뺄셈.

1번의 "√(a²)의 성질" 이 첫 문항부터 실수 지점입니다. √(a²) = |a| 이고, a가 음수면 -a가 됩니다. 부호 조건이 붙어 있으면 반드시 절댓값으로 처리하세요.

2번과 3번이 하 난이도입니다. 2번은 순환소수와 무리수를 구별하는 문항, 3번은 근호 밖으로 빼내고 안으로 넣는 변형입니다. 확보 구간입니다.

5번이 이 파트의 유일한 중상입니다. 세 실수의 대소 비교는 "차를 구해 부호를 본다" 가 원칙입니다. 근호가 섞여 있으면 제곱해 비교하거나 유리화해 형태를 맞춥니다. 세 개를 한 번에 비교하려 하지 말고 두 개씩 세 번 비교하는 편이 안전합니다.

16번은 서술형 첫 문항입니다. 곱셈·나눗셈·덧셈·뺄셈이 섞인 혼합 계산이라 연산 순서와 부호 관리가 전부입니다.

2. 다항식의 곱셈 — 6·7·8·17번, 4문항

6번 하 다항식과 다항식의 곱셈 · 곱셈 공식 ⑤, 7번 하 곱셈 공식 ①; 합의 제곱 · 계수 구하기, 8번 중 곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 · 유리화를 이용한 덧셈과 뺄셈, 17번 하 계수 구하기 · 곱셈 공식 ⑤.

네 문항 중 셋이 하 난이도입니다. 이 시험에서 가장 안전한 구간입니다.

6·7·17번은 전개와 계수 확인이 전부입니다. (a+b)² = a² + 2ab + b², (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd 두 공식이면 세 문항이 해결됩니다. 17번은 서술형이지만 하 난이도이니 반드시 확보하세요.

8번이 유일한 중입니다. 분모에 근호가 두 개 섞인 형태를 유리화하는데, 분모의 켤레(부호를 바꾼 식)를 분모·분자에 곱하면 (a+b)(a-b) = a² - b² 로 근호가 사라집니다. 유리화한 뒤 덧셈·뺄셈까지 이어지니 중간 결과를 정리해 두고 넘어가세요.

3. 다항식의 인수분해 — 9·10·11·18번, 4문항

9번 하 두 다항식의 공통인수 구하기 · 공통인수를 이용한 인수분해, 10번 중 완전제곱식이 될 조건 · 곱셈 공식 ④, 11번 중상 계수 또는 상수항을 잘못 보고 푼 경우 · 인수분해 공식 종합, 18번 중 인수가 주어진 이차식의 미지수의 값 구하기 · 공통인수 · 인수분해 공식.

10번의 "완전제곱식이 될 조건" 은 일차항 계수의 절반을 제곱한 값이 상수항과 같아야 한다는 한 줄입니다. x² + ax + b가 완전제곱식이면 b = (a/2)² 입니다. 미지수가 상수항 자리에 있는지 일차항 자리에 있는지에 따라 답이 하나일 수도, 두 개일 수도 있으니 양쪽 부호를 모두 확인하세요.

11번이 이 시험의 시그니처입니다. 위에서 설명한 "잘못 보고 푼 경우" 유형입니다.

18번은 "인수가 주어진 이차식" 입니다. x - k가 인수라면 x = k를 대입했을 때 식의 값이 0 이라는 성질을 씁니다. 이 한 줄로 미지수를 구한 뒤, 원래 식을 완전히 인수분해하면 끝납니다.

4. 이차방정식 — 12·13·14·15·19·20번, 6문항

12번 중 이차방정식, 13번 중 완전제곱식의 꼴로 고치기 · 완전제곱식을 이용한 풀이, 14번 중상 이차방정식의 근의 활용 · 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기, 15번 중상 근이 유리수가 될 조건 · 근의 공식, 19번 중 인수분해를 이용한 풀이 · 근의 공식 · 여러 가지 이차방정식의 풀이, 20번 중 활용; 실생활 · 활용; 수 · 인수분해를 이용한 풀이.

12번은 "이차방정식인 것 고르기" 입니다. 전개해서 x² 항이 남는지 확인하는 정의 문항입니다.

13번의 완전제곱식 만들기는 x² 항의 계수로 묶고, 일차항 계수의 절반을 제곱해 더하고 빼는 절차입니다.

14번과 15번이 이 파트의 고비입니다. 14번의 "근의 활용" 은 근을 구하는 게 아니라 근을 재료로 쓰는 유형입니다. 주어진 근을 대입해 미지수를 구하고, 그 미지수로 다시 다른 것을 계산하는 두 단계입니다.

15번의 "근이 유리수가 될 조건" 이 가장 낯선 문항입니다. 근의 공식에서 근호 안의 값(b² - 4ac)이 완전제곱수여야 근이 유리수가 됩니다. 이 한 줄을 알면 조건식이 바로 세워지고, 모르면 손을 못 댑니다. 반드시 짚고 넘어가세요.

19번과 20번은 서술형인데 둘 다 중 난이도입니다. 19번은 풀이법 세 가지를 상황에 맞게 고르는 문항, 20번은 실생활 상황을 식으로 옮기는 활용 문항입니다. 20번은 두 근 중 상황에 맞지 않는 것을 버리는 마무리를 서술 과정에 반드시 쓰세요.

주의 문항 — 중상 4문항

5번 중상 (세 실수의 대소 관계) — 제곱근 파트의 유일한 중상입니다. 두 개씩 나눠 비교하세요.

11번 중상 (잘못 보고 푼 인수분해) — 유형을 모르면 막히고, 알면 두 줄입니다.

14번 중상 (이차방정식의 근의 활용) — 근을 구하는 게 아니라 재료로 쓰는 유형입니다.

15번 중상 (근이 유리수가 될 조건) — 판별식이 완전제곱수라는 조건이 핵심입니다.

중상 네 문항이 각 파트의 마지막 자리(5·11·14·15번)에 규칙적으로 놓여 있습니다. 파트 초반은 쉽고 끝이 어려운 구조이니, 막히면 다음 파트로 넘어갔다가 돌아오는 것이 유리합니다.

논공중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. √(a²) = |a| 와 부호 처리 — 1번 대비. 첫 문항부터 함정입니다.
2. 유리수와 무리수 구별 — 2번 대비. 확보 구간.
3. 근호가 있는 식의 변형 (√(a²b) ↔ a√b) — 3번 대비. 확보 구간.
4. 분모의 유리화와 제곱근의 나눗셈 — 4·8번 대비.
5. ★ 세 실수의 대소 비교 — 5번 대비. 차의 부호로 판단.
6. 제곱근의 혼합 계산 — 16번 대비. 서술형 첫 문항.
7. 곱셈 공식 ①·⑤ 와 계수 구하기 — 6·7·17번 대비. 하 난이도 세 문항.
8. 곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 — 8번 대비. 켤레 곱하기.
9. 공통인수를 이용한 인수분해 — 9·18번 대비.
10. 완전제곱식이 될 조건 — 10번 대비. 부호 양쪽 확인.
11. ★ 계수·상수항을 잘못 보고 푼 경우 — 11번 대비. 이 시험의 시그니처.
12. 인수가 주어진 이차식 — 18번 대비. 대입해서 0 되는 성질.
13. 이차방정식의 정의와 완전제곱식 풀이 — 12·13번 대비.
14. ★ 이차방정식의 근의 활용 — 14번 대비.
15. ★ 근이 유리수가 될 조건 — 15번 대비. 판별식이 완전제곱수.
16. 인수분해·근의 공식으로 푸는 여러 가지 이차방정식 — 19번 대비.
17. 실생활 활용 식 세우기와 근 검토 — 20번 대비. 서술 마지막.

자주 나오는 질문

논공중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~15번은 선택형, 16~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

이차함수는 안 나오나요?

2025학년 기말고사에서는 한 문항도 나오지 않았습니다. 제곱근과 실수, 다항식의 곱셈과 인수분해, 이차방정식 세 대단원만 출제됐습니다. 같은 시기 다른 대구권 중학교가 이차함수 중심으로 출제한 것과 다르므로, 범위 공지를 반드시 확인하세요.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 다항식의 곱셈과 06 다항식의 인수분해가 각 4문항으로 가장 많습니다. 대단원으로 묶으면 II 다항식의 곱셈과 인수분해 8문항, I 제곱근과 실수 6문항, III 이차방정식 6문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 4문항(5·11·14·15번)입니다. 넷 다 각 파트의 마지막 자리에 놓여 있습니다.

서술형은 몇 문항인가요?

정답 기록 기준 16~20번 다섯 문항입니다. 17번이 하, 나머지 넷이 중 난이도로 서술 구간에는 중상 이상이 없습니다.

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