대구북중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

대구북중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 이차방정식 · 이차함수이고, 문항 수로 보면 이차함수 쪽이 13문항으로 훨씬 무겁습니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 한 문항도 없다는 점, 그리고 1~6번 여섯 문항이 전부 하 난이도로 깔려 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 9 / 중상 5 / 상 0
• 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 9 / 12 이차함수의 그래프 (2) 4 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 3 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 2 / 10 이차방정식의 활용 2
• 대단원 비중: 이차함수 13문항(65%) · 이차방정식 7문항(35%)
• 최다 반복 유형: 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프 4회(3·11·13·16번)
• 가장 까다로운 구간: 15~17번 세 문항 연속 중상

대구북중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

대구북중학교는 대구 북구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18·19·20번은 답을 직접 서술하는 형태입니다.

배치가 꽤 특이합니다. 1번은 이차방정식, 2~5번은 이차함수, 6~9번은 다시 이차방정식, 10~17번은 다시 이차함수, 그리고 18·19번 서술형이 이차방정식의 활용, 20번 서술형이 다시 이차함수입니다. 단원 순서대로 흘러가지 않고 두 대단원을 여러 번 왕복합니다.

그래서 이 시험은 한 단원만 붙잡고 있다가는 중간에 끊깁니다. 이차방정식과 이차함수를 동시에 손에 쥐고 있어야 페이스가 유지됩니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 하 6문항

하 난이도 여섯 문항이 1~6번에 그대로 몰려 있습니다. 시험지를 열면 앞쪽 여섯 문항은 빠르게 통과할 수 있게 설계돼 있다는 뜻입니다. 여기서 시간을 벌어 뒤로 넘기는 것이 이 시험의 기본 전략입니다.

상 난이도가 없습니다. 손도 못 댈 문항은 없다는 뜻이지만, 반대로 중 난이도 9문항에서 하나씩 흘리면 그대로 등급이 갈립니다. 킬러 하나 버리고 나머지 지키는 전략이 통하지 않는 구조입니다.

중상 다섯 문항은 12번과 15·16·17번, 그리고 서술형 19번입니다. 15~17번이 세 문항 연속 중상이라 이 구간에서 시간이 크게 새어 나갑니다.

출제 단원 — 이차함수 그래프에 13문항 집중

11 이차함수의 그래프 (1)이 9문항으로 전체의 45% 를 가져갑니다. 여기에 12 이차함수의 그래프 (2) 4문항을 더하면 이차함수만 13문항(65%) 입니다.

반대로 이차방정식은 풀이 (1) 2문항 + 풀이 (2) 3문항 + 활용 2문항 = 7문항(35%) 에 그칩니다. 그런데 이 7문항 중 활용 두 문항이 모두 서술형(18·19번) 이라는 점을 놓치면 안 됩니다. 문항 수는 적지만 배점이 큰 자리를 이차방정식의 활용이 차지하고 있습니다.

시그니처 유형 — "y=a(x-p)²+q의 그래프" 4회

이 시험을 관통하는 개념은 꼭짓점 (p, q)와 폭을 결정하는 a, 이 두 가지입니다.

이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프가 3·11·13·16번 네 문항에서 쓰였습니다. 하 난이도인 3번부터 중상인 16번까지 난이도를 넓게 걸치며 반복됩니다. 꼭짓점의 좌표를 즉시 읽어내는 훈련이 이 시험의 점수를 가장 크게 좌우합니다.

세 번씩 반복된 유형도 셋입니다.

• 이차함수 y=ax²의 그래프가 지나는 점 — 4·17·20번
• 이차방정식의 근의 공식 — 7·9·19번
• 이차함수의 그래프의 활용 — 15·16·17번

주목할 조합은 4번과 20번입니다. 하 난이도인 4번에서 쓴 "지나는 점을 대입해 a를 구한다"는 절차가, 서술형 20번에서 그대로 다시 나옵니다. 4번을 맞혔다면 20번의 절반은 이미 푼 셈입니다.

두 번씩 겹치는 유형은 다음과 같습니다.

• 이차함수 y=ax²의 식 구하기 — 4·20번
• 이차함수 y=ax²+q의 그래프 — 5·16번
• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 6·17번
• 이차함수 y=a(x-p)²+q의 식 구하기 — 11·15번
• y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 — 12·14번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1·6·7·8·9번) — 5문항

1번 하 이차방정식의 해, 6번 하 한 근이 주어졌을 때 다른 한 근 구하기 · 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기 · 인수분해를 이용한 풀이, 7번 중 근의 공식을 이용하여 미지수의 값 구하기, 8번 중 완전제곱식의 꼴로 고치기 · 완전제곱식을 이용한 풀이, 9번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이 · 중근 · 근의 공식.

6번은 이 파트의 관문입니다. 한 근을 대입해 미지수를 먼저 구하고, 그 값을 넣은 식을 인수분해해 나머지 근을 찾는 두 단계입니다. 대입 → 인수분해 순서를 헷갈리지 않는 것이 전부입니다.

8번의 완전제곱식 고치기는 x의 계수의 절반을 제곱해 더하고 빼는 절차입니다. 여기서 양변에 더하는지, 한 변에서 더하고 빼는지를 섞으면 답이 어긋납니다.

9번은 여러 풀이법을 한 문항에 섞어 놓았습니다. 인수분해가 되는지 먼저 보고, 안 되면 근의 공식으로 넘어가는 판단이 필요합니다.

2. 이차함수의 기초 (2·3·4·5번) — 4문항, 전부 하

2번 이차함수 · y=ax²의 그래프의 성질, 3번 y=ax²의 그래프의 모양 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 4번 y=ax²의 식 구하기 · 그래프가 지나는 점, 5번 y=ax²+q의 그래프.

하 난이도 네 문항이 전부 여기 모여 있습니다. 반드시 다 맞아야 하는 확보 구간입니다.

이 네 문항은 a의 부호가 그래프의 방향, |a|가 폭, q가 위아래 이동이라는 세 문장으로 거의 다 정리됩니다. 개념 정리 노트 한 장이면 끝나는 구간이니 여기서 실수하면 손해가 큽니다.

3. 그래프의 평행이동과 식 구하기 (10·11·13번) — 3문항, 전부 중

10번 y=a(x-p)²의 그래프, 11번 y=a(x-p)²+q의 식 구하기 · 그래프, 13번 y=a(x-p)²+q의 그래프 · 그래프의 평행이동.

세 문항 모두 꼭짓점 이동이 핵심입니다. x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 옮기면 식에서는 x 자리에 (x-p)가 들어가고 뒤에 +q가 붙는다는 대응만 정확하면 됩니다. 부호가 반대로 들어간다는 점이 가장 잦은 실수 지점입니다.

4. 일반형과 사분면 (12·14번) — 2문항

12번 중상 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 · y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 · 그래프가 축과 만나는 점, 14번 중 이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 · 일반형 변형하기.

12번이 앞부분의 고비입니다. 일반형을 표준형으로 고쳐 꼭짓점을 찾고, 축과 만나는 점까지 구한 뒤에야 어느 사분면을 지나지 않는지 판단할 수 있습니다. 세 단계가 이어지는 복합형이라 중간에 하나만 틀려도 답이 바뀝니다.

14번은 꼭짓점이 주어졌을 때 y=a(x-p)²+q로 놓고 다른 한 점을 대입해 a를 구하는 표준 절차입니다. 12번과 같은 "일반형 ↔ 표준형" 변환 능력을 요구하지만 방향이 반대입니다.

5. 이차함수의 그래프의 활용 (15·16·17번) — 3문항, 전부 중상

15번 그래프의 활용 · y=a(x-p)²+q의 식 구하기, 16번 그래프의 활용 · y=a(x-p)²+q의 그래프 · y=ax²+q의 그래프, 17번 그래프의 활용 · y=ax²의 그래프가 지나는 점 · 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이.

이 시험에서 가장 어려운 구간이 여기입니다. 세 문항이 연속으로 중상이고, 셋 다 "이차함수의 그래프의 활용" 유형을 공유합니다.

17번은 특히 눈여겨보세요. 이차함수 문항인데 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 함께 걸려 있습니다. 그래프가 x축과 만나는 점을 구하려면 결국 이차방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 이차방정식과 이차함수가 별개 단원이 아니라는 것을 이 문항이 보여줍니다.

6. 서술형 18·19·20번

18번 중 이차방정식의 활용; 상자를 만드는 경우 · 제곱근을 이용한 풀이, 19번 중상 잘못 보고 푼 이차방정식 · 근의 공식, 20번 중 y=ax²의 식 구하기 · 그래프가 지나는 점.

18번 상자 문제는 정사각형 판의 네 귀퉁이를 잘라내 상자를 만드는 전형적인 설정입니다. 잘라낸 길이를 미지수로 두고 밑면의 한 변을 (원래 길이 − 2×잘라낸 길이)로 세우는 것이 뼈대입니다.

19번 "잘못 보고 푼 이차방정식" 이 서술형 중 가장 까다롭습니다. 잘못 본 사람이라도 제대로 본 항은 만족한다는 것이 열쇠입니다. 유형을 모르면 헤매고, 알면 두 줄로 끝납니다.

20번은 하 난이도 4번과 같은 유형입니다. 서술형이라 답만 쓰는 것이 아니라 과정을 적어야 하니, 점을 대입하는 식을 반드시 한 줄 남기세요.

주의 문항 — 중상 5문항

12번 중상 (지나지 않는 사분면의 조건) — 일반형 변형·축과의 교점·사분면 판정이 3단으로 이어집니다.

15번 중상 (그래프의 활용) — 활용 구간의 시작. 식을 세우는 데 시간이 걸립니다.

16번 중상 (그래프의 활용) — 표준형과 y=ax²+q 두 형태를 함께 다룹니다.

17번 중상 (그래프의 활용 + 인수분해) — 함수 문항인데 방정식 풀이가 섞였습니다.

19번 중상 (잘못 보고 푼 이차방정식) — 서술형이라 과정 배점까지 걸려 있습니다.

중상 다섯 문항 중 셋(15·16·17번)이 붙어 있습니다. 1~6번 하 난이도 구간에서 시간을 아껴야 하는 이유가 여기 있습니다.

대구북중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 해와 인수분해 풀이 — 1·6번의 토대. 확보 구간입니다.
2. 한 근이 주어졌을 때 미지수·다른 근 구하기 — 6번 대비. 대입 후 인수분해.
3. 완전제곱식으로 고치기 — 8번 대비. 더하고 빼는 자리 헷갈리지 않기.
4. 근의 공식 — 7·9번, 그리고 서술형 19번까지 연결됩니다.
5. 여러 가지 이차방정식의 풀이 판단 — 9번 대비. 인수분해 먼저, 안 되면 공식.
6. ★ 잘못 보고 푼 이차방정식 — 19번 대비. 서술형 최중요 유형.
7. 이차방정식의 활용; 상자 만들기 — 18번 대비. 식 세우는 틀 암기.
8. 이차함수와 y=ax²의 성질 — 2·3번 대비. 확보 구간.
9. ★ y=ax²의 식 구하기; 지나는 점 대입 — 4번과 서술형 20번을 동시에 잡습니다.
10. y=ax²+q의 그래프 — 5·16번의 공통 재료.
11. y=a(x-p)²의 그래프 — 10번 대비. 좌우 이동의 부호 주의.
12. ★ y=a(x-p)²+q의 그래프와 식 구하기 — 3·11·13·16번을 관통하는 이 시험의 시그니처.
13. 일반형을 표준형으로 변형하기 — 12·14번의 공통 절차.
14. 꼭짓점과 한 점으로 식 구하기 — 14번 대비.
15. 그래프가 지나지 않는 사분면 판정 — 12번 대비.
16. 이차함수의 그래프의 활용 — 15·16·17번 대비. 가장 오래 붙잡아야 할 구간.

자주 나오는 질문

대구북중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18·19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 11 이차함수의 그래프 (1)이 9문항으로 압도적입니다. 이어서 12 이차함수의 그래프 (2) 4문항, 09 이차방정식의 풀이 (2) 3문항, 08 이차방정식의 풀이 (1) 2문항, 10 이차방정식의 활용 2문항 순입니다.

이차방정식과 이차함수 중 어느 쪽이 더 중요한가요?

문항 수로는 이차함수가 13문항(65%) 으로 두 배 가까이 많습니다. 다만 서술형 세 문항 중 두 문항(18·19번)이 이차방정식의 활용이라 이차방정식을 버릴 수는 없습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 5문항(12·15·16·17·19번)이고, 그중 셋이 15~17번에 연속으로 붙어 있습니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

상자를 만드는 활용(18번), 잘못 보고 푼 이차방정식(19번), y=ax²의 식 구하기(20번) 입니다. 18·19번은 이차방정식, 20번은 이차함수입니다.

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