도농중 2학년 2학기 중간고사 수학 기출 분석 (2025)

도농중 2학년 2학기 중간 수학은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 이 시험의 무게중심은 명확합니다. 삼각형의 외심·내심이 8문항으로 전체의 3분의 1입니다. 그리고 21~24번 네 문항이 증명 과정의 빈칸을 채우는 형태로 출제됐습니다.

핵심 요약

• 24문항 — 1~20번 선택형, 21·22·23·24번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 5 / 중 11 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 02 삼각형의 성질 (2) 8 / 04 여러 가지 사각형 7 / 03 평행사변형 5 / 01 삼각형의 성질 (1) 4
• 도형의 닮음은 나오지 않았습니다
• 최다 반복 유형: 외심의 응용 3회 · 내심 3회 · 평행사변형의 성질 3회
• 서술형 네 문항 중 21·22·23·24번이 전부 중 난이도

도농중 중2 2학기 중간은 어떤 시험인가

도농중학교는 경기 남양주시에 있는 중학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학은 총 24문항입니다.

정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21·22·23·24번은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 그런데 이 네 문항의 성격이 특이합니다. 21·22·24번은 증명 과정의 빈칸을 채우는 형태입니다. 21번은 ㉠~㉣ 네 칸, 22번은 여섯 칸, 24번은 (ㄱ)~(ㅂ) 여섯 칸을 채웁니다.

빈칸 채우기형 증명은 백지에서 쓰는 증명보다 쉽습니다. 논리의 뼈대가 이미 주어져 있고, 그 사이의 변·각·근거만 채우면 됩니다. 실제로 네 문항이 전부 중 난이도입니다. 서술형을 어려워하는 학생에게는 오히려 기회 구간입니다.

배치는 교과서 순서를 그대로 따릅니다. 1~4번 이등변삼각형·직각삼각형의 합동 → 5~11번 외심·내심 → 12번 사각형 → 13~16번 평행사변형 → 17~21번 여러 가지 사각형 → 22~24번 서술형 입니다. 순서대로 풀어도 무리가 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11문항

중 난이도가 11문항으로 절반 가까이입니다. 여기에 하 5문항을 더하면 16문항, 67%가 중 이하입니다. 전반적으로 무난한 난이도 구성입니다.

다만 그만큼 실수 한 번의 비용이 큽니다. 다 같이 맞는 문항에서 흘리면 그대로 격차가 됩니다. 중 난이도 11문항을 전부 가져가는 것이 이 시험의 목표입니다.

상 난이도는 11번과 14번 두 문항뿐입니다. 11번은 삼각형의 내접원의 반지름, 14번은 평행사변형의 성질 응용입니다. 둘 다 앞·중반부에 있어서, 여기서 시간을 붙들면 뒤의 쉬운 문항까지 놓칩니다.

하 난이도 5문항(1·5·13·19·20번) 은 각 단원의 첫 문항 자리에 있습니다. 이등변삼각형(1번), 외심(5번), 평행사변형(13번), 마름모(19번), 직사각형이 되는 조건(20번). 정의와 성질을 그대로 묻는 문항이라 무조건 확보입니다.

출제 단원 — 외심·내심이 8문항

삼각형의 성질 (2), 즉 외심과 내심이 8문항으로 압도적입니다. 전체의 33%입니다. 그것도 5~11번 일곱 문항이 연속이고 서술형 22번까지 이어집니다. 외심·내심을 못 하면 이 시험은 답이 없습니다.

여러 가지 사각형 7문항과 평행사변형 5문항을 합치면 사각형이 12문항, 전체의 절반입니다. 삼각형 12문항과 정확히 반반입니다.

도형의 닮음은 한 문항도 나오지 않았습니다. 시험 범위가 삼각형의 성질과 여러 가지 사각형까지였던 것으로 보입니다. 다만 이건 2025학년 한 회차 결과이므로, 본인 학교의 시험 범위 공지를 반드시 확인하세요.

시그니처 유형 — 외심·내심과 평행사변형의 성질

이 시험에서 세 번 이상 반복된 유형이 여섯 가지나 됩니다. 같은 개념을 여러 각도에서 묻는 시험입니다.

• 삼각형의 외심의 응용 ② — 5·6·8번, 3회
• 삼각형의 내심 — 7·9·10번, 3회
• 이등변삼각형의 성질 — 1·2·12번, 3회
• 직각삼각형의 합동 조건의 응용; RHS 합동 — 3·9·22번, 3회
• 평행사변형의 성질 — 13·14·24번, 3회
• 평행사변형의 성질 ③의 응용 — 13·16·24번, 3회

외심 3회와 내심 3회가 이 시험의 첫 번째 축입니다. 5·6·8번이 외심, 7·9·10번이 내심으로 거의 번갈아 배치돼 있습니다. 두 개념을 섞어서 물으니 구분이 안 되면 여섯 문항이 한꺼번에 흔들립니다.

정리해 두세요.

6번의 "둔각삼각형의 외심" 이 중상인 이유가 여기 있습니다. 예각삼각형은 외심이 내부, 직각삼각형은 빗변의 중점, 둔각삼각형은 외부에 있습니다. 위치를 모르면 그림을 못 그립니다.

두 번째 축은 평행사변형의 성질입니다. 13·14·24번에서 반복되고, 특히 성질 ③(두 대각선이 서로 다른 것을 이등분)의 응용이 13·16·24번 세 문항에 나옵니다. 24번은 대각선으로 나뉜 네 삼각형의 넓이를 다루는 서술형입니다. 평행사변형의 두 대각선이 넓이를 4등분한다는 사실이 여기서 쓰입니다.

세 번째는 RHS 합동 3회(3·9·22번) 입니다. 빗변과 다른 한 변이 각각 같은 두 직각삼각형은 합동입니다. 22번은 이 합동을 근거로 외심 성질을 증명하는 빈칸 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 삼각형의 성질 (2) — 외심·내심 (5·6·7·8·9·10·11·22번) — 8문항

5번 하 삼각형의 외심의 응용 ② · 삼각형의 외심, 6번 중상 둔각삼각형의 외심 · 외심의 응용 ②, 7번 중 삼각형의 내접원과 접선의 길이 · 삼각형의 내심, 8번 중상 삼각형의 외심과 내심 · 내심의 응용 ② · 외심의 응용 ②, 9번 중 삼각형의 내심 · RHS 합동, 10번 중 삼각형의 내심의 응용 ②, 11번 상 삼각형의 내접원의 반지름의 길이 · 마름모의 뜻과 성질 · 외심과 내심, 22번 중 삼각형의 외심 · 증명 · RHS 합동.

5번이 하 난이도입니다. 외심의 기본 성질을 그대로 묻습니다. 확보 구간입니다.

7번의 "내접원과 접선의 길이" 는 중요한 성질입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 삼각형의 세 꼭짓점에서 내접원까지의 접선 길이를 x, y, z로 두면 세 변의 길이가 x+y, y+z, z+x가 됩니다. 이 표현이 7번과 11번을 여는 열쇠입니다.

11번이 상 난이도입니다. 내접원의 반지름을 구하는데 마름모와 외심·내심까지 결합돼 있습니다. 삼각형의 넓이 = r × (둘레의 절반) 이라는 공식이 표준 도구입니다. 다만 결합 개념이 많아 시간이 걸리니, 막히면 넘기는 것이 맞습니다.

22번은 서술형 빈칸 채우기입니다. 외심이 세 꼭짓점에서 거리가 같음을 RHS 합동으로 증명하는 과정입니다. 빈칸에 들어갈 것은 대응변 기호와 근거입니다. 논리가 다 주어져 있으니 반드시 가져가야 하는 문항입니다.

2. 여러 가지 사각형 (12·17·18·19·20·21·23번) — 7문항

12번 중상 등변사다리꼴의 성질의 응용 · 등변사다리꼴의 뜻과 성질 · 이등변삼각형의 성질, 17번 중상 평행선과 삼각형의 넓이 · 사다리꼴에서 높이가 같은 삼각형의 넓이, 18번 중상 평행선과 삼각형의 넓이 · 이등변삼각형의 성질 ①; 각의 크기, 19번 하 마름모의 뜻과 성질 · 여러 가지 사각형의 대각선의 성질, 20번 하 평행사변형이 직사각형이 되는 조건 · 마름모가 되는 조건 · 여러 가지 사각형, 21번 중 정사각형의 뜻과 성질 · RHA 합동 · 직각삼각형의 합동 조건, 23번 중 여러 가지 사각형 사이의 관계 · 직사각형이 되는 조건 · 정사각형이 되는 조건.

17번과 18번이 같은 유형(평행선과 삼각형의 넓이) 으로 연달아 나옵니다. 둘 다 중상입니다. 핵심은 두 직선이 평행하면 그 사이의 밑변이 같은 삼각형들은 넓이가 같다는 것입니다. 높이가 같기 때문입니다. 넓이를 실제로 계산하지 않고 "같다"로 처리하는 발상이 필요합니다.

여기에 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 비가 붙습니다. 17번은 사다리꼴에서 이 두 가지를 함께 씁니다.

19·20번이 하 난이도입니다. 마름모의 대각선 성질, 직사각형·마름모가 되는 조건. 정의를 외우고 있으면 바로 풀립니다.

사각형의 대각선 성질을 표로 정리해 두세요.

21번은 서술형이고 정사각형에서 RHA 합동을 찾는 빈칸 문항입니다. 채워야 할 것이 각의 크기와 삼각형 기호라 부담이 적습니다.

23번도 서술형이고 여러 가지 사각형 사이의 관계를 묻습니다. 사각형 계보도를 그려두면 바로 답이 나옵니다.

3. 평행사변형 (13·14·15·16·24번) — 5문항

13번 하 평행사변형의 성질 · 성질 ③의 응용, 14번 상 평행사변형의 성질 ②의 응용 · 평행사변형의 성질 · 직각삼각형의 외심, 15번 중상 평행사변형이 되는 조건 찾기 · 되는 조건의 설명, 16번 중 평행사변형이 되는 조건의 응용 · 새로운 사각형이 평행사변형이 되는 조건 · 성질 ③의 응용, 24번 중 평행사변형과 넓이; 대각선에 의하여 나뉘는 삼각형 · 성질 ③의 응용 · 평행사변형의 성질.

14번이 상 난이도입니다. 평행사변형의 성질 ②(두 쌍의 대각의 크기가 같다)를 응용하는데 직각삼각형의 외심까지 결합됐습니다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이라는 사실을 떠올려야 합니다.

15번의 "평행사변형이 되는 조건" 다섯 가지를 정리해 두세요. ① 두 쌍의 대변이 각각 평행 ② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같음 ③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같음 ④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분 ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같음.

⑤번이 함정입니다. "한 쌍의 대변이 평행"만이면 사다리꼴입니다. 평행하고 길이까지 같아야 평행사변형입니다.

16번은 "새로운 사각형이 평행사변형이 되는 조건" 입니다. 평행사변형의 각 변이나 대각선 위에 점을 잡아 만든 사각형이 다시 평행사변형이 되는지 판정합니다. 대각선의 교점이 두 사각형의 대각선을 동시에 이등분한다는 점을 쓰면 대부분 풀립니다.

24번은 서술형 빈칸 채우기입니다. 평행사변형의 대각선이 만드는 네 삼각형의 넓이를 다룹니다. 두 대각선이 평행사변형의 넓이를 4등분한다는 결론까지 가는 과정입니다.

4. 삼각형의 성질 (1) (1·2·3·4번) — 4문항

1번 하 이등변삼각형의 성질 ①; 각의 크기 · 이등변삼각형의 성질, 2번 중 이등변삼각형의 성질 ①; 각의 이등분선 · 이등변삼각형의 성질, 3번 중 RHS 합동 · 직각삼각형의 합동 조건, 4번 중 RHA 합동 · 각의 이등분선의 성질.

앞의 네 문항이 워밍업 구간입니다. 하 1개, 중 3개입니다.

3번과 4번이 RHS·RHA를 나란히 묻습니다. RHS는 빗변(Hypotenuse)과 다른 한 변(Side), RHA는 빗변과 한 예각(Angle) 입니다. 이름의 마지막 글자가 곧 조건입니다.

4번의 각의 이등분선의 성질은 각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리가 같다는 것입니다. 이 성질 자체가 RHA 합동으로 증명되므로 두 개념이 붙어 나옵니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 6문항

11번 상 (내접원의 반지름) — 마름모와 외심·내심까지 결합. 넓이 = r × (둘레의 절반) 공식이 도구입니다.

14번 상 (평행사변형 + 직각삼각형의 외심) — 외심이 빗변의 중점이라는 점이 열쇠입니다.

6번 중상 (둔각삼각형의 외심) — 외심이 삼각형 외부에 있다는 것을 알아야 그림이 그려집니다.

8번 중상 (외심과 내심) — 두 중심의 각도 공식을 한 문항에서 구분해야 합니다.

12번 중상 (등변사다리꼴의 응용) — 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이가 같다는 성질.

15번 중상 (평행사변형이 되는 조건) — 다섯 조건 중 ⑤번 함정 주의.

17·18번 중상 (평행선과 삼각형의 넓이) — 같은 유형 두 문항. 하나를 이해하면 둘 다 열립니다.

상 2문항(11·14번)이 시험 중반에 있습니다. 여기서 시간을 붙들면 뒤의 하 난이도 문항(19·20번)과 서술형 네 문항까지 흔들립니다. 11번과 14번은 표시해 두고 넘어갔다가 나중에 돌아오는 판단이 필요합니다.

도농중 중2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 이등변삼각형의 두 밑각과 꼭지각의 이등분선 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. RHS·RHA 합동 조건 구분 — 3·4·21·22번 대비. 이름의 마지막 글자가 조건.
3. 각의 이등분선의 성질 — 4번 대비.
4. ★ 외심과 내심의 차이 — 5~11번의 뿌리. 수직이등분선 vs 각의 이등분선.
5. ∠BOC = 2∠A, ∠BIC = 90° + ∠A/2 — 8·10번 대비. 공식 암기.
6. 삼각형 종류별 외심의 위치 — 6번 대비. 예각 내부, 직각 빗변의 중점, 둔각 외부.
7. 내접원과 접선의 길이(원 밖의 점에서 두 접선의 길이는 같다) — 7·11번 대비.
8. 내접원의 반지름과 넓이 공식 — 11번 대비. 시간 여유가 있을 때.
9. 평행사변형의 성질 세 가지 — 13·14·24번 대비. 확보 구간.
10. ★ 평행사변형이 되는 조건 다섯 가지 — 15·16번 대비. ⑤번 함정 주의.
11. 대각선이 나누는 네 삼각형의 넓이 — 24번 대비. 서술형 확보 문항.
12. 사각형의 대각선 성질 표 정리 — 19·20·23번 대비. 확보 구간.
13. 등변사다리꼴의 성질(두 대각선의 길이가 같다) — 12번 대비.
14. ★ 평행선과 삼각형의 넓이, 넓이의 비 — 17·18번 대비. 계산이 아니라 비로.
15. 정사각형에서의 합동 찾기 — 21번 대비. 서술형 빈칸.
16. 여러 가지 사각형 사이의 포함 관계 — 20·23번 대비. 계보도 그리기.
17. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점 — 14번 대비.

자주 나오는 질문

도농중 2학년 2학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~20번은 선택형, 21·22·23·24번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

서술형은 어렵나요?

네 문항이 전부 중 난이도입니다. 특히 21·22·24번은 증명 과정의 빈칸을 채우는 형태라 백지에서 쓰는 증명보다 훨씬 수월합니다. 서술형이 오히려 점수를 벌 수 있는 구간입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 삼각형의 성질 (2), 즉 외심·내심이 8문항으로 가장 많습니다. 전체의 33%입니다. 이어서 여러 가지 사각형 7문항, 평행사변형 5문항, 삼각형의 성질 (1) 4문항입니다.

도형의 닮음도 나오나요?

2025학년 이 시험지에는 도형의 닮음이 한 문항도 없었습니다. 다만 학교마다 시험 범위가 다르므로 본인 학교의 범위 공지를 반드시 확인하세요.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 11번과 14번 두 문항입니다. 11번은 삼각형의 내접원의 반지름, 14번은 평행사변형과 직각삼각형의 외심이 결합된 문항입니다. 둘 다 시험 중반에 있으니 막히면 표시해 두고 넘어가세요.

외심과 내심 문제가 많이 나오나요?

5~11번 일곱 문항이 연속으로 외심·내심이고 서술형 22번까지 이어집니다. 이 시험에서 가장 중요한 구간이니 ∠BOC = 2∠A, ∠BIC = 90° + ∠A/2 두 공식과 외심의 위치(예각·직각·둔각) 는 반드시 정리해 두세요.

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