덕원중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

덕원중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 18문항입니다. 문항 수가 적은 편인데, 그중 14~18번 다섯 문항이 답을 직접 쓰는 서술형입니다. 전체의 28%가 서술형이라는 뜻입니다. 객관식만 연습하고 들어가면 뒷부분 다섯 문항에서 그대로 점수가 빠집니다.

핵심 요약

• 18문항 — 1~13번 선택형, 14~18번 서술형 5문항
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 5 / 상 1(12번)
• 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 4 / 12 이차함수의 그래프 (2) 4 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 3 / 05 다항식의 곱셈 2 / 10 이차방정식의 활용 2 / 03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈 1 / 06 다항식의 인수분해 1 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 1
• 대단원으로 묶으면 이차함수 8문항, 이차방정식 6문항, 제곱근·다항식 4문항
• 최고 난도: 12번(이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건) 단 한 문항

덕원중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

덕원중학교는 대구 수성구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 18문항으로, 같은 학년 시험 중에서는 문항 수가 적은 편입니다.

문항이 적다는 건 한 문항의 무게가 무겁다는 뜻입니다. 18문항짜리 시험에서 두 개를 틀리면 이미 상위권 밖입니다. 그리고 그 무게가 몰려 있는 곳이 14~18번 서술형 다섯 문항입니다.

배치 순서도 눈여겨보세요. 1번이 이차방정식으로 시작해 2·3번 근의 공식, 4번에서 갑자기 다항식의 곱셈(분모의 유리화) 으로 튀고, 5번부터 이차함수로 넘어갑니다. 단원 순서대로 배열된 시험이 아닙니다. 8번에 제곱근, 9번에 인수분해가 다시 끼어듭니다.

2025학년 난이도 분포 — 상은 12번 하나뿐

상 난이도는 12번 한 문항입니다. 나머지 17문항은 중 이하이거나 중상입니다. 즉 12번은 마지막에 손대고, 나머지 17문항을 지키는 것이 이 시험의 기본 전략입니다.

주의할 점은 하 난이도가 1·2·5번 세 문항밖에 없다는 것입니다. 3번부터 이미 중 난이도가 시작되고, 4번은 중상입니다. 초반에 편하게 풀고 가는 구간이 거의 없습니다.

출제 단원 — 이차함수가 8문항으로 절반 가까이

대단원으로 묶으면 이차함수 8문항(44%), 이차방정식 6문항(33%), 제곱근·다항식 4문항(22%) 입니다.

여기서 꼭 짚어야 할 게 있습니다. 공지된 시험 범위는 근호를 포함한 식의 계산과 이차방정식, 이차함수 중심이었는데 실제로는 다항식의 곱셈 2문항(4·17번)과 인수분해 1문항(9번)이 함께 나왔습니다. 셋 다 중상 난이도입니다. 앞 단원을 복습 범위에서 빼놓으면 중상 세 문항을 그대로 놓칩니다.

서술형 5문항(14~18번)이 이 시험의 승부처

14·15·16·17·18번이 답을 직접 쓰는 문항입니다. 단원이 골고루 흩어져 있습니다.

• 14번 중 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프에서 a, p, q의 부호
• 15번 중 이차함수의 그래프의 활용 · 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 · 축과 만나는 점
• 16번 중 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 · 여러 가지 이차방정식의 풀이
• 17번 중상 식의 값 구하기; 두 수의 합 또는 차와 곱이 주어진 경우
• 18번 중 이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때

다섯 문항 중 넷이 중 난이도입니다. 어려워서 못 쓰는 게 아니라, 풀이 과정을 문장으로 적는 훈련이 안 돼서 감점되는 구조입니다.

특히 14번은 부호 판정을 서술형으로 물었습니다. 꼭짓점이 어느 사분면에 있는지, 위로 볼록인지 아래로 볼록인지를 근거와 함께 써야 점수가 나옵니다. 답만 적으면 부분점수도 못 받습니다.

17번은 이 시험 서술형 중 유일한 중상입니다. 두 수의 합(또는 차)과 곱이 주어졌을 때 식의 값을 구하는 유형으로, 곱셈 공식의 변형을 얼마나 자유롭게 쓰느냐가 갈립니다.

반복된 유형 — 같은 개념이 두 번씩 나온 다섯 쌍

18문항 시험인데도 같은 세부 유형이 두 번 쓰인 조합이 다섯 쌍 있습니다.

• 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 — 2·16번
• 이차방정식의 근의 공식 — 3·11번
• y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 — 7·18번
• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 10·17번
• 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 13·15번

이 다섯 쌍이 알려주는 건 명확합니다. 완전제곱식으로 고치는 계산(평방완성)과 근의 공식, 이 두 가지가 시험 전체를 관통합니다. 2번에서 완전제곱식으로 고치고, 7번과 18번에서 그 계산을 그대로 이차함수 표준형 변형에 씁니다. 방정식 파트에서 익힌 평방완성이 함수 파트에서 재사용되는 구조입니다.

주목할 짝은 7번과 18번입니다. 7번은 선택형, 18번은 서술형인데 같은 변형 절차를 씁니다. 7번을 풀 때 과정을 정리해두면 18번이 그대로 열립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1·2·3·16번) — 4문항

1번 하 이차방정식, 2번 하 완전제곱식의 꼴로 고치기, 3번 중 근의 공식을 이용해 미지수의 값 구하기, 16번 중(서술형) 완전제곱식을 이용한 풀이 · 여러 가지 이차방정식의 풀이.

1·2번은 반드시 확보해야 하는 구간입니다. 3번부터 난이도가 올라갑니다. 3번은 근의 공식을 외워 대입하는 데서 끝나지 않고, 주어진 근과 공식을 비교해 미지수를 역으로 찾는 형태입니다.

2. 이차방정식의 활용 (10·11번) — 2문항

10번 중 이차방정식의 활용; 실생활, 11번 중상 이차방정식의 근이 유리수가 될 조건.

11번이 이 파트의 고비입니다. 근이 유리수가 되려면 판별식이 완전제곱수여야 한다는 조건을 알아야 합니다. 근의 공식을 세우고 근호 안이 제곱수가 되는 경우를 따지는 유형이라, 유형 자체를 모르면 손을 못 댑니다.

3. 제곱근·다항식 (4·8·9·17번) — 4문항

4번 중상 곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 · √x 이하의 자연수 구하기, 8번 중 근호가 있는 식의 변형 √(a²b), 9번 중상 완전제곱식이 될 조건 · 이차방정식이 중근을 가질 조건, 17번 중상(서술형) 식의 값 구하기.

네 문항 중 셋이 중상입니다. 앞 단원이라고 방심하면 안 되는 이유입니다.

9번이 특히 잘 만든 문항입니다. "완전제곱식이 될 조건"과 "이차방정식이 중근을 가질 조건"은 사실 같은 조건인데, 그 연결을 알고 있는지를 묻습니다. x²+ax+b가 완전제곱식이 되는 조건과 x²+ax+b=0이 중근을 갖는 조건이 같다는 것 — 이 한 문장이 답입니다.

4. 이차함수의 그래프 기본 (5·6·12·14번) — 4문항

5번 하 이차함수 · 이차함수가 되도록 하는 조건, 6번 중 y=ax²의 그래프의 성질 · 모양, 12번 상 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 · a, b, c의 부호, 14번 중(서술형) y=a(x-p)²+q에서 a, p, q의 부호.

12번이 이 시험의 최고 난도입니다. a, b, c의 부호로부터 그래프의 개형을 잡고, 어느 사분면을 지나지 않는지까지 밀고 가야 합니다. 볼록 방향(a), 축의 위치(a와 b의 부호 관계), y절편(c) 세 개를 동시에 다뤄야 해서 한 단계라도 놓치면 틀립니다.

12번과 14번은 같은 뿌리입니다. 둘 다 계수의 부호를 그래프로 읽는 문제인데, 14번은 표준형(a, p, q), 12번은 일반형(a, b, c)입니다. 표준형 부호 판정을 먼저 완벽히 하고 일반형으로 넘어가는 순서가 맞습니다.

5. 이차함수 일반형 (7·13·15·18번) — 4문항

7번 중 y=ax²+bx+c의 그래프의 평행이동 · 표준형 변형, 13번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프의 성질 · 꼭짓점과 축, 15번 중(서술형) 그래프의 활용 · 축과 만나는 점, 18번 중(서술형) 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 식 구하기.

네 문항 전부 "일반형을 표준형으로 고치는 계산"에서 출발합니다. y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q로 바꾸는 평방완성이 안 되면 네 문항이 통째로 막힙니다. 이 시험에서 단 하나만 연습해야 한다면 이것입니다.

18번은 반대 방향입니다. 꼭짓점과 지나는 한 점이 주어졌을 때 y=a(x-p)²+q에 대입해 a를 구하고, 마지막에 전개해 일반형으로 답하는 흐름입니다. 서술형이니 전개 과정에서 부호 실수가 없는지 검산이 필요합니다.

주의 문항 — 중상 5문항과 상 1문항

4번 중상 (분모의 유리화 + √x 이하의 자연수) — 앞자리에 있는 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다. 두 유형이 결합돼 있습니다.

9번 중상 (완전제곱식이 될 조건 ↔ 중근 조건) — 두 조건이 같다는 연결을 몰라도 정답이 안 나옵니다.

11번 중상 (근이 유리수가 될 조건) — 판별식이 완전제곱수. 유형을 모르면 접근 자체가 어렵습니다.

12번 상 (지나지 않는 사분면) — 이 시험의 유일한 상. 마지막에 남겨두세요.

13번 중상 (일반형 그래프의 성질) — 꼭짓점·축·볼록 방향을 한꺼번에 판단합니다.

17번 중상 (합·곱이 주어진 식의 값, 서술형) — 서술형 중 유일한 중상. 곱셈 공식 변형이 핵심입니다.

덕원중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 인수분해를 이용한 이차방정식 풀이 — 1번의 토대이자 10·17번의 재료.
2. 완전제곱식으로 고치기(평방완성) — 2·16번, 그리고 7·18번까지 이어지는 최중요 계산.
3. 근의 공식 — 3·11번 대비. 공식 암기에서 끝내지 말고 역방향 대입까지.
4. ★ 완전제곱식이 될 조건 = 중근을 가질 조건 — 9번 대비. 두 조건의 동치 관계.
5. 근이 유리수가 될 조건 — 11번 대비. 판별식이 완전제곱수.
6. 곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 — 4번 대비.
7. 두 수의 합·곱이 주어진 식의 값 — 17번 서술형 대비. 곱셈 공식 변형 반복.
8. 근호가 있는 식의 변형 √(a²b) — 8번 대비. 확보 구간.
9. 이차함수가 되도록 하는 조건 — 5번 대비. 확보 구간.
10. y=ax²의 그래프의 성질 — 6번 대비.
11. ★ 일반형 → 표준형 변형 — 7·13·15·18번을 관통하는 절차. 손이 저절로 움직일 때까지.
12. 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 13·15번 대비.
13. 표준형에서 a, p, q의 부호 판정 — 14번 서술형 대비.
14. 일반형에서 a, b, c의 부호와 사분면 — 12번 대비. 마지막 단계.
15. 꼭짓점과 한 점으로 식 구하기 — 18번 서술형 대비. 검산 습관까지.

자주 나오는 질문

덕원중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 18문항입니다. 1~13번은 선택형, 14~18번 다섯 문항이 서술형입니다.

서술형은 몇 문항이고 어디서 나오나요?

다섯 문항(14·15·16·17·18번) 입니다. 14·15·18번은 이차함수, 16번은 이차방정식의 풀이, 17번은 다항식의 곱셈에서 나왔습니다. 한 단원에 몰려 있지 않습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

이차함수가 8문항으로 가장 많습니다(그래프 (1) 4문항, 그래프 (2) 4문항). 이어서 이차방정식 6문항, 제곱근·다항식 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 12번 한 문항뿐입니다. 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면을 계수의 부호로 판정하는 문항입니다. 중상 다섯 문항(4·9·11·13·17번)이 실질적인 변별 구간입니다.

시험 범위 밖 단원도 나오나요?

2025학년 기출에서는 다항식의 곱셈(4·17번)과 인수분해(9번) 가 함께 출제됐습니다. 앞 단원 복습을 빼놓지 마세요.

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