성광중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

성광중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 실제 출제 단원은 이차방정식의 풀이(1)·(2), 이차방정식의 활용, 이차함수의 그래프(1)·(2) 이고, 여기에 제곱근 단원 1문항이 섞여 들어왔습니다. 이 시험의 핵심 특징은 상 난이도 2문항이 6번과 19번에 배치돼 있다는 점, 그리고 이차함수의 그래프 (2)가 7문항으로 최다라는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 7 / 상 2 (6·19번)
• 배치 단원: 12 이차함수의 그래프 (2) 7 / 11 이차함수의 그래프 (1) 5 / 10 이차방정식의 활용 4 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 3 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 2 / 03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈 1
• 9번은 분모의 유리화 — 이차방정식·이차함수가 아닌 제곱근 단원 문항
• 최다 반복 유형: y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 4회

성광중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

성광중학교는 대구 북구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 22문항이고, 1~18번이 선택형, 19~22번 네 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치는 1~8번 이차방정식 → 9번 제곱근 → 10~18번 이차함수 순서입니다. 서술 구간도 19번 이차방정식, 20~22번 이차함수로 같은 흐름을 이어갑니다.

먼저 짚어야 할 것은 9번입니다. 배치 단원이 03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈, 핵심 내용은 분모의 유리화입니다. 이차방정식도 이차함수도 아닌, 1학기 앞부분 제곱근 단원에서 한 문항이 들어왔습니다. 기말 범위만 보고 제곱근 계산을 손에서 놓았다면 이 문항에서 막힙니다.

또 하나는 이차함수 파트의 무게중심이 12단원(y=ax²+bx+c)에 있다는 점입니다. 이차함수 12문항 중 7문항이 12단원입니다. 완전제곱꼴로 고쳐 꼭짓점을 찾는 계산이 이 시험의 중심축입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항, 중상 7문항

상 난이도 두 문항의 위치가 이 시험의 성격을 결정합니다. 6번은 선택형 초반, 19번은 서술 구간의 첫 문항입니다.

6번이 시험지 앞쪽에 있다는 게 함정입니다. 1~5번을 순서대로 풀고 6번에서 막히면, 아직 16문항이 남은 상태에서 시간을 쓰게 됩니다. 6번은 한 번 읽어보고 안 풀리면 표시하고 넘어가는 것이 정석입니다.

하 난이도는 1·10·20번 세 문항뿐입니다. 확보 구간이 얇으니 중 난이도 10문항을 얼마나 지키느냐가 등급을 가릅니다.

출제 단원 — 이차함수의 그래프 (2)가 7문항

대단원으로 묶으면 이차함수 12문항(55%), 이차방정식 9문항(41%), 제곱근 1문항(4%) 입니다.

특이한 것은 이차방정식의 풀이가 5문항뿐(08단원 3 + 09단원 2) 인데 활용이 4문항이라는 점입니다. 보통 풀이 문항이 활용보다 많은데, 이 시험은 거의 같습니다. 풀이 연습만 하고 활용을 미뤄두면 손해가 큽니다.

시그니처 유형 — "완전제곱꼴로 변형하기" 4회

이 시험을 관통하는 계산은 하나입니다. y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 고치는 것입니다.

이 유형이 11·12·14·17번 네 문항에서 쓰였습니다. 그리고 이 네 문항은 각각 다른 것을 묻습니다. 11번은 그래프의 성질, 12번은 꼭짓점과 축, 14번은 평행이동, 17번은 지나지 않는 사분면입니다. 묻는 것은 다른데 첫 단계가 전부 같습니다.

즉 이 시험에서 완전제곱꼴 변형이 느리거나 부정확하면 네 문항이 한꺼번에 흔들립니다. x 계수의 절반을 제곱해 더하고 빼는 과정을, a가 1이 아닐 때까지 포함해 손에 익혀두어야 합니다.

두 번 이상 겹친 나머지 유형은 이렇습니다.

• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 4·5·6·8번 (4회)
• 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질 — 10·15·16번 (3회)
• y=ax²+bx+c의 그래프가 축과 만나는 점 — 13·17·18번 (3회)
• 이차방정식의 근의 공식 — 2·19번
• 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 — 4·7번
• 이차방정식의 중근 — 7·16번
• y=ax²+bx+c의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 12·22번

"활용; 삼각형과 사각형"이 4번과 7번 두 번 나온 것은 눈여겨볼 만합니다. 도형의 변의 길이를 미지수로 두고 넓이 식을 세우는 유형이 두 번 반복됐습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1·2·3번) — 초반 확보 구간

1번 하 제곱근을 이용한 풀이 · (x+p)²=q가 근을 가질 조건, 2번 중 근의 공식을 이용해 미지수의 값 구하기 · 근의 공식, 3번 중 중근을 가질 조건 · 완전제곱식의 꼴로 고치기.

1번은 이 시험의 유일한 초반 하 난이도입니다. (x+p)²=q에서 q가 0보다 크면 근이 두 개, 0이면 중근, 음수면 근이 없다는 판정 하나로 끝납니다.

2번은 근의 공식을 거꾸로 쓰는 문항입니다. 주어진 근의 형태와 근의 공식을 비교해 계수를 역으로 찾아야 합니다.

3번의 중근 조건은 3번과 7번, 16번까지 이어지는 개념입니다. 완전제곱식이 되려면 상수항이 일차항 계수 절반의 제곱이어야 합니다.

2. 상 난이도 6번 — 두 이차방정식의 공통인 근

6번 상 두 이차방정식의 공통인 근 · 인수분해를 이용한 풀이.

이 시험의 첫 번째 킬러입니다. 두 이차방정식을 각각 인수분해해 근을 구한 뒤 겹치는 값을 찾거나, 두 식을 빼서 일차식을 만들어 근을 찾는 두 가지 접근이 있습니다.

상 난이도로 분류된 이유는 계수에 미지수가 얹혀 있어 근을 바로 구할 수 없는 형태이기 때문입니다. 공통근을 문자로 두고 두 식에 모두 대입한 뒤, 두 식을 연립해 미지수를 소거하는 것이 표준 풀이입니다. 6번이 앞쪽에 있으니 시간 배분에 반드시 주의하세요.

3. 이차방정식의 활용 (4·7·8번) — 3문항

4번 중 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해, 7번 중상 활용; 삼각형과 사각형 · 중근, 8번 중 활용; 쏘아 올린 물체 · 인수분해.

같은 "삼각형과 사각형" 유형이 4번과 7번에 두 번 나왔습니다. 4번이 중, 7번이 중상입니다. 7번에 중근 개념이 얹혀 있다는 게 차이입니다. 도형 조건에서 나온 이차방정식이 중근을 가지는 상황을 다루므로, 판별 조건을 함께 써야 합니다.

8번의 "쏘아 올린 물체" 는 높이가 시간에 대한 이차식으로 주어지는 정형 유형입니다. 지면에 떨어지는 순간은 높이가 0, 최고점은 꼭짓점이라는 대응만 알면 됩니다.

4. 범위 밖의 9번 — 분모의 유리화

9번 중상 분모의 유리화 · 제곱근의 곱셈.

이차방정식도 이차함수도 아닌 유일한 문항입니다. 배치 단원이 03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈입니다.

분모에 근호가 있으면 분모와 같은 근호를 분자·분모에 곱해 유리화하는 것이 기본이고, 분모가 두 항이면 켤레를 곱해 합차공식으로 근호를 없앱니다. 중상으로 분류된 것을 보면 단순 유리화가 아니라 곱셈까지 이어지는 복합 계산으로 보입니다. 기말 대비할 때 제곱근 계산을 완전히 놓지 마세요.

5. 이차함수의 그래프 (10~18번) — 9문항 연속

10번 하 y=ax²의 성질 · 모양, 11번 중 y=ax²+bx+c의 그래프의 성질 · 변형 · 증가·감소 범위, 12번 중상 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 · 변형, 13번 중 a, b, c의 부호 · 축과 만나는 점, 14번 중 평행이동 · 변형, 15번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프 · y=ax²의 성질 · y=ax²+q의 그래프, 16번 중 y=ax²의 그래프가 지나는 점 · 성질 · 중근, 17번 중상 지나지 않는 사분면의 조건 · 변형 · 축과 만나는 점, 18번 중상 이차함수의 그래프의 활용 · 축과 만나는 점 · 좌표평면 위 도형의 넓이.

아홉 문항이 10번부터 18번까지 붙어 있습니다. 이 구간이 시험의 절반입니다.

13번의 "a, b, c의 부호" 는 그림을 보고 계수의 부호를 읽는 문항입니다. a는 그래프가 위로 볼록인지 아래로 볼록인지, c는 y절편의 부호, b는 축의 위치와 a의 부호를 조합해서 판정합니다. 세 번째가 헷갈리는 지점이니 "축이 y축 왼쪽이면 a와 b의 부호가 같다"는 결론을 외워두세요.

17번의 "지나지 않는 사분면" 은 꼭짓점과 y절편, 볼록 방향을 모두 구해 그래프의 대략적인 위치를 잡아야 답이 나옵니다. 완전제곱꼴로 고치는 게 첫 단계입니다.

18번은 그래프와 도형이 결합된 문항입니다. x축·y축과 만나는 점을 좌표로 구한 뒤 그 점들이 만드는 도형의 넓이를 계산합니다.

6. 상 난이도 19번 — 잘못 보고 푼 이차방정식

19번 상 잘못 보고 푼 이차방정식 · 근의 공식 · 두 수의 합과 곱이 주어진 식의 값.

서술 구간의 첫 문항이자 두 번째 킬러입니다. 두 사람이 각각 다른 계수를 잘못 보고 풀었다는 설정입니다.

핵심은 하나입니다. 잘못 본 사람이라도 제대로 본 계수는 맞다. 상수항을 잘못 본 사람의 근에서는 일차항 계수를, 일차항을 잘못 본 사람의 근에서는 상수항을 가져옵니다. 그렇게 원래 방정식을 복원한 뒤 다시 풉니다.

유형을 모르면 손을 못 대고, 알면 세 줄로 끝나는 전형적인 문항입니다. 반드시 미리 연습해두세요.

7. 답을 직접 쓰는 20~22번

20번 하 이차함수의 함숫값, 21번 중 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 · y=a(x-p)²+q의 식 구하기, 22번 중상 식 구하기; 축의 방정식과 두 점을 알 때 · 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식.

20번은 서술 구간의 확보 점수입니다. 하 난이도이니 반드시 챙기세요.

21번과 22번은 "이차함수의 식 구하기"의 두 가지 조건 세트입니다. 21번은 꼭짓점을 알 때라 y=a(x-p)²+q에 바로 대입하면 되고, 22번은 축만 알고 꼭짓점의 y좌표를 모르는 형태라 한 단계가 더 필요합니다. 축을 알면 p가 정해지므로 y=a(x-p)²+q에 두 점을 대입해 a와 q를 연립으로 구합니다.

주의 문항 — 상 2문항 + 중상 7문항

6번 상 (두 이차방정식의 공통인 근) — 앞쪽에 있는 킬러입니다. 시간 배분 주의.

19번 상 (잘못 보고 푼 이차방정식) — 유형 암기 여부로 갈립니다.

5번 중상 (한 근이 문자로 주어진 식의 값) — 근을 대입해 관계식을 만드는 발상이 필요합니다.

7번 중상 (활용; 삼각형과 사각형 + 중근) — 도형 조건과 중근 조건을 함께 씁니다.

9번 중상 (분모의 유리화) — 범위 밖 단원이라 준비 안 하면 그냥 틀립니다.

12번 중상 (꼭짓점의 좌표와 축) — 완전제곱꼴 변형 정확도가 그대로 드러납니다.

17번 중상 (지나지 않는 사분면) — 꼭짓점·절편·볼록 방향을 모두 구해야 합니다.

18번 중상 (그래프의 활용) — 좌표와 넓이 계산이 이어집니다.

22번 중상 (축의 방정식과 두 점) — 연립 과정이 필요한 서술 문항입니다.

성광중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ y=ax²+bx+c를 완전제곱꼴로 변형하기 — 11·12·14·17번의 공통 첫 단계입니다. 최우선.
2. (x+p)²=q의 근의 개수 판정 — 1번 대비. 확보 구간입니다.
3. 근의 공식과 역추적 — 2번, 19번 대비.
4. 중근을 가질 조건 — 3·7·16번을 관통합니다.
5. 인수분해를 이용한 풀이 — 4·5·6·8번의 마지막 단계.
6. ★ 두 이차방정식의 공통인 근 — 6번 대비. 공통근을 문자로 두고 연립.
7. 한 근이 문자일 때 식의 값 — 5번 대비.
8. 활용; 삼각형과 사각형 — 4·7번 대비. 두 번 나온 유형입니다.
9. 활용; 쏘아 올린 물체 — 8번 대비. 높이 0과 꼭짓점의 의미.
10. 분모의 유리화와 제곱근의 곱셈 — 9번 대비. 범위 밖이지만 실제로 나왔습니다.
11. y=ax²의 그래프의 성질 — 10·15·16번 대비.
12. 꼭짓점과 축의 방정식 구하기 — 12·22번 대비.
13. a, b, c의 부호 판정 — 13번 대비. 축의 위치와 a·b의 관계 암기.
14. 그래프의 평행이동 — 14번 대비.
15. ★ 잘못 보고 푼 이차방정식 — 19번 대비. 제대로 본 계수만 가져온다.
16. 이차함수의 식 구하기 두 유형 — 21·22번 대비. 꼭짓점형과 축+두 점형.

자주 나오는 질문

성광중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 이차함수의 그래프 (2)가 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 이차함수의 그래프 (1) 5문항, 이차방정식의 활용 4문항, 이차방정식의 풀이 (1) 3문항, 이차방정식의 풀이 (2) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 2문항(6번·19번) 입니다. 6번은 두 이차방정식의 공통인 근, 19번은 잘못 보고 푼 이차방정식입니다. 6번이 시험지 앞쪽에 있어 시간 배분에 특히 주의해야 합니다.

기말 범위 밖 문제도 나왔나요?

9번이 제곱근 단원(근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈)에서 나왔습니다. 분모의 유리화를 다루는 중상 난이도 문항입니다. 이차방정식·이차함수만 준비하면 이 한 문항은 놓칩니다.

이차함수와 이차방정식 중 어디에 시간을 더 써야 하나요?

문항 수로는 이차함수 12문항, 이차방정식 9문항으로 이차함수가 많습니다. 다만 상 난이도 2문항은 둘 다 이차방정식 쪽이라 어느 한쪽도 버릴 수 없습니다.

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