성화중(대구 북구) 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

이 글에서 다루는 성화중은 대구 북구에 있는 성화중학교입니다. 충북에도 같은 이름의 학교가 있으니 학교를 확인하고 읽어주세요.

성화중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험의 구조는 아주 명확합니다. 이차방정식 11문항, 이차함수 11문항으로 정확히 반반입니다. 그리고 1~5번이 전부 하 난이도라, 앞부분에서 만들어 놓은 시간이 뒤쪽 승부를 가릅니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19~22번은 답을 직접 적는 형태
• 난이도: 하 5 / 중 10 / 중상 6 / 상 1
• 배치 단원: 08 이차방정식의 풀이 (1) 6 / 11 이차함수의 그래프 (1) 6 / 12 이차함수의 그래프 (2) 5 / 10 이차방정식의 활용 3 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 2
• 대단원 기준 이차방정식 11 : 이차함수 11 — 정확히 절반씩
• 1~5번이 전부 하 난이도, 최고 난도는 17번(이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형)

성화중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

성화중학교는 대구 북구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 22문항이고, 정답 기록상 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19~22번은 답을 직접 적는 형태입니다.

배치를 보면 단원이 순서대로 늘어서 있지 않습니다. 4·5번에서 이미 이차함수가 나오고, 6번에서 다시 이차방정식으로 돌아갔다가, 7번에서 또 이차함수로 넘어갑니다. 즉 앞부분은 두 대단원을 번갈아 배치했습니다.

• 이차방정식 11문항 — 1·2·3·6·8·9·10·15·17·19·21번
• 이차함수 11문항 — 4·5·7·11·12·13·14·16·18·20·22번

정확히 절반씩입니다. 한쪽만 준비해서는 절반밖에 못 가져갑니다.

2025학년 난이도 분포 — 앞의 다섯 문항이 전부 하

하 난이도 5문항이 1~5번에 연속으로 몰려 있습니다. 이 시험지에서 가장 실용적인 정보입니다. 앞의 다섯 문항은 개념 확인 수준이니, 여기서 시간을 아껴 뒤쪽 중상 6문항에 쓰는 것이 정확한 전략입니다.

6번부터 난이도가 올라갑니다. 6번(중근을 가질 조건)이 중, 그다음 7·8번도 중입니다. 9번에서 처음 중상이 나오고, 그 뒤로 13·14·16·17·18·21번이 중상 이상입니다.

상 난이도는 17번 하나입니다. 이차방정식의 활용 중에서도 삼각형과 사각형에 관한 문항입니다.

출제 단원 — 다섯 단원에 6·6·5·3·2 배분

주목할 것은 10 이차방정식의 활용 3문항입니다. 문항 수는 가장 적은 축인데, 난이도는 중 1 · 중상 1 · 상 1로 이 시험에서 가장 무겁습니다. 활용 세 문항이 이 시험의 실질적인 상위권 변별 구간입니다.

반대로 09 이차방정식의 풀이 (2)는 2문항(8·10번)뿐이고 둘 다 중입니다. 완전제곱식과 근의 공식 자체를 묻는 문항이 적습니다. 대신 그 계산이 다른 문항의 도구로 계속 쓰입니다.

시그니처 도구 — 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 5회

이 시험을 관통하는 것은 개념이 아니라 도구입니다. 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 8·15·17·18·19번 다섯 문항에서 쓰였습니다.

눈여겨볼 점은 이 다섯 중 어느 것도 "인수분해로 풀어라"가 주제인 문항이 아니라는 것입니다.

• 15번 이차방정식의 활용(수) — 식을 세운 뒤 인수분해로 마무리
• 17번 이차방정식의 활용(삼각형과 사각형) — 넓이 식을 세운 뒤 인수분해
• 18번 이차함수의 그래프의 활용 — 그래프가 x축과 만나는 점을 인수분해로
• 19번 두 이차방정식의 공통인 근 — 각각 인수분해해서 공통 근 찾기

즉 인수분해는 "출제되는 개념"이 아니라 "모든 문항의 마지막 계산 단계" 입니다. 여기서 막히면 앞의 식을 아무리 잘 세워도 답이 안 나옵니다. 속도와 정확도를 기계적으로 만들어 두는 것이 이 시험 대비의 1순위입니다.

두 번째로 많이 쓰인 것은 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기(2·9·10번 3회) 입니다. 근을 식에 대입한다는 한 문장이 전부인데, 세 문항에서 반복됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 기본 — 1·2·3번, 전부 하

1번 하 이차방정식, 2번 하 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기, 3번 하 AB=0의 성질을 이용한 이차방정식의 풀이.

세 문항 다 개념 확인입니다. 1번은 주어진 식이 이차방정식인지 판별하는 문항이고, 2번은 근을 대입하는 문항, 3번은 인수분해된 형태에서 해를 읽는 문항입니다. 여기서 3분 이상 쓰면 안 됩니다.

2. 이차함수의 기본 — 4·5번, 둘 다 하

4번 하 이차함수, 5번 하 이차함수의 함숫값.

앞부분에 이차함수의 정의와 함숫값이 배치돼 있습니다. 4번은 이차함수가 되도록 하는 조건(x²의 계수가 0이 아니어야 한다)까지 함께 묻습니다. 함숫값은 x에 값을 대입하는 것이 전부입니다.

3. 이차방정식의 풀이 심화 — 6·8·9·10번

6번 중 이차방정식이 중근을 가질 조건, 8번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이, 9번 중상 두 이차방정식의 공통인 근, 10번 중 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이.

6번의 "중근을 가질 조건" 은 이 단원의 핵심입니다. 좌변이 완전제곱식이 되어야 중근을 가집니다. ax²+bx+c=0에서 (b/2)² = ac 관계를 만들 줄 알아야 합니다.

9번이 이 파트의 유일한 중상입니다. 두 이차방정식의 공통인 근을 찾는 유형인데, 각각을 인수분해해 근을 구한 뒤 겹치는 것을 찾는 방법과 두 식을 빼서 일차식을 만드는 방법 두 가지가 있습니다. 계수에 미지수가 있으면 후자가 빠릅니다.

19번(답 직접 기입)도 같은 "두 이차방정식의 공통인 근" 유형입니다. 9번과 19번을 한 세트로 묶어 연습하세요.

4. 이차방정식의 활용 — 15·17·21번, 이 시험의 최고 난도 구간

15번 중 이차방정식의 활용; 수, 17번 상 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형, 21번 중상 이차방정식의 활용; 상자를 만드는 경우.

세 문항이 전부 다른 유형입니다. 활용 문제집의 대표 유형을 골고루 훑어야 한다는 뜻입니다.

17번이 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 도형의 넓이나 길이를 미지수로 두고 이차방정식을 세우는 형태입니다. 구한 두 근 중 도형의 조건에 맞지 않는 것(음수 길이 등)을 버리는 단계를 빠뜨리면 틀립니다. 이 검토 단계가 활용 문제의 채점 포인트입니다.

21번의 "상자를 만드는 경우" 는 직사각형 종이의 네 귀퉁이를 잘라내 접는 형태입니다. 잘라낸 길이를 x로 두면 밑면의 가로·세로가 각각 (원래 길이 - 2x) 가 되고, 높이가 x입니다. 이 식 세우기가 절반입니다. 답을 직접 써야 하는 문항이라 검산이 필수입니다.

5. 이차함수의 그래프 (1) — 11·12·16·20번

11번 중 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질, 12번 중 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프, 16번 중상 이차함수 y=ax²의 그래프가 지나는 점, 20번 중 이차함수 y=ax²+q의 그래프.

11·12번은 그래프의 기본 성질입니다. a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아진다, a가 양수면 아래로 볼록이다, y=a(x-p)²+q는 y=ax²를 x축으로 p·y축으로 q만큼 평행이동한 것이다 — 이 세 문장으로 정리됩니다.

16번이 중상인 이유는 그래프가 지나는 점 조건에 그래프의 활용이 얹혀 있기 때문입니다. 점의 좌표를 식에 대입해 a를 구한 뒤, 그 결과를 다시 도형이나 다른 조건에 쓰는 2단 구조입니다.

6. 이차함수의 그래프 (2) — 7·13·14·18·22번

7번 중 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식, 13번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프의 평행이동, 14번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프와 a, b, c의 부호, 18번 중상 이차함수의 그래프의 활용, 22번 중 이차함수의 식 구하기; y축과의 교점과 두 점을 알 때.

7·13번의 공통 도구는 "y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기" 입니다. 완전제곱식을 만드는 그 계산입니다. x² 계수로 묶고, x 계수의 절반을 제곱해 더하고 빼는 절차를 손에 익혀야 합니다.

14번의 부호 판정은 매년 나오는 단골입니다. 정리하면 세 줄입니다.

• a — 그래프가 아래로 볼록이면 양수, 위로 볼록이면 음수
• b — 축의 위치 x = -b/2a 로 판단. 축이 y축 왼쪽이면 a와 b가 같은 부호
• c — y절편의 부호 그대로

22번은 답을 직접 쓰는 문항이면서 y절편과 두 점이 주어진 형태입니다. y절편이 주어졌으니 c를 먼저 확정하고, 나머지 두 점을 대입해 a와 b에 대한 연립방정식을 푸는 것이 표준 절차입니다.

주의 문항 — 상 1 + 중상 6

9번 중상 (두 이차방정식의 공통인 근) — 19번과 같은 유형입니다. 세트로 대비하세요.

13번 중상 (그래프의 평행이동) — 표준형 변형이 선행돼야 합니다.

14번 중상 (a, b, c의 부호) — 세 부호를 각각 다른 근거로 읽어야 합니다.

16번 중상 (그래프가 지나는 점) — 대입해서 끝나지 않고 활용으로 이어집니다.

17번 상 (활용; 삼각형과 사각형) — 이 시험의 최고 난도. 근의 타당성 검토가 채점 포인트.

18번 중상 (그래프의 활용) — x축과 만나는 점을 인수분해로 구한 뒤 도형으로 넘어갑니다.

21번 중상 (활용; 상자 만들기, 직접 기입) — 식 세우기가 절반, 검산이 나머지 절반.

중상 이상 7문항 중 4문항(16·17·18·21번)이 16번 이후에 있습니다. 앞의 하 5문항에서 아낀 시간이 여기서 쓰입니다.

성화중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 뜻과 해 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 — 2·9·10번을 관통. 대입 한 줄.
3. AB=0의 성질 — 3번 대비. 확보 구간.
4. 이차함수의 뜻과 되도록 하는 조건 — 4번 대비. 확보 구간.
5. 이차함수의 함숫값 — 5번 대비. 확보 구간.
6. 중근을 가질 조건 — 6번 대비. 완전제곱식 관계 만들기.
7. ★ 인수분해를 이용한 풀이 — 8·15·17·18·19번의 공통 마무리 도구. 속도가 곧 점수.
8. 완전제곱식을 이용한 풀이와 근의 공식 — 10번 대비, 그리고 활용 문항의 계산 도구.
9. ★ 두 이차방정식의 공통인 근 — 9·19번 세트.
10. 이차방정식의 활용; 수 — 15번 대비.
11. ★ 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 — 17번 대비. 이 시험의 최고 난도. 근의 타당성 검토까지.
12. ★ 이차방정식의 활용; 상자 만들기 — 21번 대비. (원래 길이 - 2x) 식 세우기.
13. y=ax²과 y=a(x-p)²+q의 그래프 성질 — 11·12·20번 대비.
14. 그래프가 지나는 점으로 a 구하기 — 16번 대비.
15. ★ y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 — 7·13번의 공통 절차.
16. a, b, c의 부호 판정 — 14번 대비. 세 부호를 각각 다른 근거로.
17. 이차함수의 식 구하기; y절편과 두 점 — 22번 대비. c 먼저, 그다음 연립.

자주 나오는 질문

성화중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19~22번은 답을 직접 적는 형태입니다.

이차방정식과 이차함수 중 어디가 더 많이 나오나요?

정확히 반반입니다. 대단원 기준 이차방정식 11문항, 이차함수 11문항입니다. 배치 단원으로는 08 이차방정식의 풀이 (1)과 11 이차함수의 그래프 (1)이 각 6문항으로 가장 많습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번 한 문항입니다. 이차방정식의 활용 중 삼각형과 사각형에 관한 문항입니다. 그 아래로 중상 6문항(9·13·14·16·18·21번)이 있습니다.

어디서 시간을 벌어야 하나요?

1~5번이 전부 하 난이도입니다. 여기를 빠르게 통과해 16번 이후의 중상 구간에 시간을 넘겨야 합니다.

활용 문제는 어떤 유형이 나오나요?

수·삼각형과 사각형·상자 만들기 세 유형이 각 한 문항씩 나왔습니다(15·17·21번). 세 문항 중 두 문항이 중상 이상이라 활용이 가장 무거운 구간입니다.

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