덕수고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

덕수고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 성격을 한 줄로 요약하면 "미분 쪽 무게, 적분 쪽 킬러" 입니다. 문항 수는 미분 단원이 훨씬 많은데, 상 난이도 네 문항 중 절반이 적분 단원에서 나왔습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 3 / 중 7 / 중상 6 / 상 4
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 9 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 함수의 극대·극소 7회(1·5·10·11·14·16·20번)
• 마지막 20번이 상 난이도 + 답 직접 쓰기 조합

덕수고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~17번이 선택형, 18~20번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 마지막 세 문항의 난이도가 각각 하(18번) · 중(19번) · 상(20번) 으로 뚜렷하게 계단을 이룹니다. 서술 구간에 들어서자마자 쉬운 문항이 나오니, 시간이 부족할 때 18번을 먼저 처리하는 판단이 유효합니다.

배치를 보면 미분 파트(05·06 도함수의 활용)가 12문항, 적분 파트(07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용)가 8문항입니다. 문항 수만 보면 미분이 압도적이지만, 상 난이도 네 문항 중 17·20번 두 문항이 08 정적분에서 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항

상 난이도가 네 문항이라는 점이 이 시험을 어렵게 만듭니다. 게다가 14·16·17번이 거의 붙어 있습니다. 14번에서 막히면 16·17번까지 연달아 흔들리는 구조입니다.

반대로 하 난이도는 1·2·18번 세 문항뿐입니다. 1번과 2번은 시험지 맨 앞, 18번은 서술 구간 첫 문항입니다. 확실히 가져갈 수 있는 점수가 앞 두 문항과 18번밖에 없다는 뜻이라, 중 난이도 일곱 문항을 얼마나 빠르고 정확하게 처리하느냐가 등급을 가릅니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)에 9문항 집중

20문항 중 9문항, 절반 가까이가 05 도함수의 활용 (2) 한 단원에서 나왔습니다. 극대·극소, 증가와 감소, 최대·최소의 활용이 모두 여기 들어 있습니다.

주의할 점은 시험 범위 이름만 보고 준비하면 빈틈이 생긴다는 것입니다. 07 부정적분과 08 정적분에서만 5문항이 나왔고, 그중 17·20번은 상 난이도입니다. 정적분의 활용(넓이·속도)만 챙기고 정적분 계산 자체를 소홀히 하면 상 난이도 두 문항을 통째로 잃습니다.

시그니처 유형 — "함수의 극대·극소" 7회

이 시험을 관통하는 개념은 하나입니다. f'(x)의 부호가 바뀌는 지점에서 극값이 생긴다.

함수의 극대·극소가 1·5·10·11·14·16·20번 일곱 문항에서 쓰였습니다. 20문항짜리 시험에서 한 유형이 7회 등장한 것입니다. 더 중요한 건 이 일곱 문항이 난이도 전 구간에 퍼져 있다는 점입니다. 1번(하)에서 시작해 5번(중), 10·11번(중상)을 거쳐 14·16·20번(상)까지 이어집니다.

즉 극대·극소 개념 하나의 숙련도가 이 시험 점수를 그대로 결정합니다. 증감표를 정확히 그릴 줄 아는 학생은 일곱 문항을 얻고, 그렇지 않으면 일곱 문항을 잃습니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 10·17번
• 최대·최소의 활용 — 4·15번
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 8·11번
• 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 — 13·15번

특히 13번과 15번의 조합을 보세요. 13번은 정적분의 활용(넓이), 15번은 도함수의 활용(최대·최소)인데 둘 다 "곡선과 x축 사이의 넓이"를 재료로 씁니다. 미분 단원 문항 안에 적분 계산이 들어앉아 있다는 뜻입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) — 9문항, 시험의 중심

1번 하 함수의 극대·극소 · 증가와 감소, 4번 중 최대·최소의 활용; 부피, 5번 중 함수의 극대·극소 · 미분가능성과 연속성, 6번 중 도함수의 그래프의 해석, 7번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건, 10번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 11번 중상 함수의 극대·극소 · 사잇값 정리, 15번 중상 최대·최소의 활용; 넓이, 16번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

6번의 "도함수의 그래프의 해석" 이 이 파트의 분기점입니다. y=f(x)의 그래프가 아니라 y=f'(x)의 그래프가 주어지고, 원래 함수 f의 극대·극소를 묻는 유형입니다. f'의 그래프가 x축을 위에서 아래로 지나면 그 지점이 극대라는 대응을 반사적으로 떠올려야 합니다.

7번은 사차함수 조건 문제입니다. 사차함수가 극값을 하나만 갖는다는 것은 f'(x)=0인 삼차방정식이 실근을 하나만 갖거나, 중근 구조가 되는 경우를 따져야 한다는 뜻입니다. 극댓값을 "가질 조건"과 "갖지 않을 조건"은 정반대이니 문제 문장을 두 번 읽으세요.

4번과 15번은 최대·최소의 활용입니다. 4번은 부피, 15번은 넓이를 최대로 만드는 문제입니다. 두 문항 모두 변수를 하나로 줄여 함수를 세우고, 정의역을 확인한 뒤 미분하는 세 단계가 전부입니다. 정의역을 빼먹고 답을 내는 실수가 가장 잦습니다.

2. 정적분 — 4문항, 킬러 두 개 포함

9번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 17번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 · 구간별 미분가능성, 19번 중 미적분의 기본정리 · 적분 구간이 같은 경우, 20번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

9번과 17번, 20번이 모두 "정적분으로 정의된 함수" 계열입니다. 이 유형의 표준 절차는 정해져 있습니다. 양변에 x=a를 대입해 상수항을 없애고, 양변을 x로 미분해 f(x)를 끌어낸다. 이 두 동작을 순서대로 하지 않으면 풀리지 않습니다.

20번은 상 난이도이면서 답을 직접 써야 하는 문항입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 극대·극소를 찾는 복합형인데, 피적분함수가 구간에 따라 다르게 정의되어 있습니다. 구간을 나눠 적분한 뒤 다시 미분하는 두 겹 작업이라 시간이 많이 걸립니다. 마지막 문항이니 시간 배분을 미리 해두세요.

19번은 미적분의 기본정리를 직접 묻는 문항으로 중 난이도입니다. 서술 구간에서 가장 확실하게 챙길 수 있는 점수입니다.

3. 도함수의 활용 (3) — 3문항, 그중 하나가 최고 난도

3번 중 속도·가속도와 운동 방향, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 두 그래프의 교점의 개수, 14번 상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건.

12번과 14번은 사실상 같은 뿌리입니다. 둘 다 "함수를 그려놓고 위아래 관계를 읽는" 문제입니다. 12번은 y=f(x)와 y=k의 교점 개수, 14번은 f(x)-g(x)>0이 항상 성립할 조건입니다.

14번이 이 시험의 최고 난도 후보입니다. h(x)=f(x)-g(x)로 놓고 h의 최솟값이 0보다 크도록 조건을 세우는데, 여기서 다시 극대·극소를 구해야 합니다. 앞서 말한 "극대·극소 7회"의 한 축입니다.

3번의 속도·가속도는 위치 함수를 미분하면 속도, 한 번 더 미분하면 가속도라는 정의만 알면 됩니다. 운동 방향이 바뀌는 시각은 속도의 부호가 바뀌는 순간입니다.

4. 정적분의 활용 — 3문항

2번 하 곡선과 직선 사이의 넓이 · 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 13번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 · 두 도형의 넓이가 같을 조건, 18번 하 위치와 위치의 변화량 · 가속도.

2번에서 1/6 공식이 쓰였습니다. 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이를 두 교점의 차이로 바로 계산하는 공식입니다. 하 난이도로 배치된 것은 공식을 아는 학생에게는 계산 한 줄이라는 뜻입니다. 반드시 외워두세요.

13번은 "두 도형의 넓이가 같을 조건" 이 핵심입니다. 곡선이 x축 위아래로 걸쳐 있을 때, 위쪽 넓이와 아래쪽 넓이가 같다는 것은 전체 정적분 값이 0이라는 뜻입니다. 이 한 문장으로 계산이 절반으로 줄어듭니다.

18번은 서술 구간의 첫 문항이자 하 난이도입니다. 속도를 적분하면 위치의 변화량이라는 기본만 쓰면 됩니다.

5. 부정적분 — 1문항

8번 중 부정적분의 계산 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

한 문항뿐이지만 11번과 유형이 겹칩니다. f'(x)가 주어지고 f(x)를 복원하는 작업인데, 적분상수 C를 조건 하나로 확정하는 단계를 빼먹으면 틀립니다.

주의 문항 — 상 4문항 집중 분석

14번 상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 차 함수의 최솟값을 극값으로 찾는 복합형입니다. 이 시험에서 가장 단계가 깁니다.

16번 상 (극대·극소를 이용한 미정계수의 결정) — 극값 조건에서 미정계수를 역으로 구합니다. f'(a)=0은 필요조건일 뿐이라 실제로 극값이 되는지 검증해야 합니다.

17번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 정적분 + 구간별 미분가능성이 결합됐습니다. 구간 경계에서 연속·미분가능 조건을 놓치기 쉽습니다.

20번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 답을 직접 써야 하는 마지막 문항입니다. 구간을 나눈 적분 후 다시 미분하는 두 겹 구조입니다.

네 문항이 14번 이후에 몰려 있습니다. 1~13번을 얼마나 빨리 끝내느냐가 이 시험의 실질적 승부처입니다.

덕수고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 증감표 작성 훈련 — 1·5·6번의 토대. 이 시험 7문항의 출발점입니다.
2. 도함수 그래프 읽기 — 6번 대비. f'의 그래프에서 f의 극값 찾기.
3. 미분가능성과 연속성 — 5번, 그리고 10·17번까지 연결됩니다.
4. 최대·최소의 활용(부피·넓이) — 4·15번 대비. 변수 하나로 줄이고 정의역 확인.
5. ★ 사차함수가 극값을 가질/갖지 않을 조건 — 7번 대비. 조건 문장을 정확히 읽기.
6. 속도·가속도와 운동 방향 — 3번 대비. 부호 변화가 방향 전환.
7. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12번 대비. 수평선을 그어 교점 세기.
8. ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 14번 대비. 차 함수의 최솟값 조건.
9. 부정적분과 적분상수 결정 — 8·11번 대비. C를 조건으로 확정하기.
10. 미적분의 기본정리 — 19번 대비. 서술 구간의 확보 문항.
11. ★ 정적분으로 정의된 함수 — 9·17·20번 대비. 대입 후 미분, 이 순서.
12. 1/6 공식 — 2번 대비. 포물선과 직선 사이의 넓이를 한 줄로.
13. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 13번 대비. 전체 정적분이 0.
14. 위치와 위치의 변화량 — 18번 대비. 서술 구간 확보 문항.

자주 나오는 질문

덕수고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 9문항으로 압도적입니다. 이어서 08 정적분 4문항, 06 도함수의 활용 (3) 3문항, 09 정적분의 활용 3문항, 07 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 네 문항(14·16·17·20번) 있습니다. 14·16번은 미분 단원, 17·20번은 정적분 단원입니다. 네 문항 모두 14번 이후에 배치돼 있습니다.

어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?

함수의 극대·극소입니다. 20문항 중 일곱 문항(1·5·10·11·14·16·20번)에서 쓰였고, 하 난이도부터 상 난이도까지 전 구간에 퍼져 있습니다.

적분은 얼마나 나오나요?

부정적분 1문항 + 정적분 4문항 + 정적분의 활용 3문항으로 총 8문항입니다. 특히 정적분으로 정의된 함수 유형이 9·17·20번 세 번 나왔고 그중 둘이 상 난이도입니다.

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