능동고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

능동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 난이도가 문항 번호 순서대로 거의 정확히 올라간다는 점입니다. 1~5번이 전부 하, 6~12번이 전부 중, 13번부터 중상이 시작됩니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 7 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 6 / 02 함수의 연속 5 / 01 함수의 극한 4 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3
• 난이도가 번호 순으로 정렬돼 있음 — 1~5번 하, 6~12번 중, 13~16번 중상, 17~18번 상
• 선택형 킬러와 서술형이 같은 유형으로 짝을 이룸 (18↔21번, 14↔20번)

능동고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

능동고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~18번이 선택형, 19~21번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 19번은 풀이 과정을 요구하는 서술형이고, 20·21번은 결과를 적는 형태입니다.

이 시험의 구조적 특징은 난이도 정렬입니다.

• 1~5번 전부 하
• 6~12번 전부 중
• 13~16번 전부 중상
• 17~18번 상
• 19번 하, 20·21번 중상

선택형 18문항이 쉬운 것부터 어려운 것까지 계단식으로 정확히 배열돼 있습니다. 그래서 앞에서부터 순서대로 푸는 전략이 그대로 통합니다. 대신 뒤로 갈수록 체감 난도가 급격히 올라가므로, 1~5번에서 시간을 얼마나 아꼈는지가 17·18번을 볼 수 있느냐를 결정합니다.

2025학년 난이도 분포

하 난이도가 6문항으로 적지 않습니다. 그중 다섯 문항이 1~5번에 연속으로 배치돼 있고, 나머지 하나는 서술 구간 첫 문항인 19번입니다. 여섯 문항은 반드시 가져가야 하는 구간입니다.

상 난이도는 17·18번 두 문항뿐입니다. 이 시험은 킬러 두 개를 버리고 나머지를 지키는 전략이 통하는 편입니다. 다만 중상 여섯 문항 중 20·21번이 서술 구간에 있어 부분점수 관리가 필요합니다.

출제 단원 — 다섯 단원에 고르게 분포

최다 단원이 03 미분계수와 도함수로 6문항입니다. 시험 범위 이름만 보면 극한이 중심일 것 같지만, 실제로 함수의 극한은 4문항뿐입니다. 극한·연속 단원 합계 9문항, 미분 단원 합계 12문항으로 미분 쪽이 더 무겁습니다.

대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 9문항(43%), II 다항함수의 미분법 12문항(57%) 입니다. 어느 한쪽도 버릴 수 없는 배분입니다.

시그니처 구조 — 선택형 킬러와 서술형이 짝을 이룬다

이 시험에서 가장 눈여겨볼 설계는 어려운 선택형과 서술형이 같은 유형으로 연결돼 있다는 점입니다.

• 18번(상)과 21번(중상) — 둘 다 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성
• 14번(중상)과 20번(중상) — 둘 다 곱의 미분법 y=f(x)g(x) + 미분계수를 이용한 극한값의 계산

즉 두 유형만 확실히 잡으면 네 문항이 한 번에 열립니다. 반대로 이 둘을 모르면 네 문항을 통째로 잃습니다. 중상·상 여덟 문항 중 절반이 여기에 걸려 있습니다.

여기에 다음 유형들도 두 번씩 나왔습니다.

• 다항함수의 결정 — 13·18번
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 13·18번
• 함수의 극한값의 존재 — 1·9번
• 함수의 극한값 구하기 — 1·3번
• 0/0 꼴의 극한; 유리식 — 3·8번
• 함수가 연속일 조건 — 8·16번
• 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 5·20번

13번과 18번이 또 한 쌍입니다. 둘 다 ∞/∞ 꼴 극한으로 다항함수를 결정하는 유형인데, 13번은 중상, 18번은 상입니다. 분자·분모의 최고차항을 비교해 차수와 계수를 확정하는 절차가 두 문항의 공통 뼈대입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (2·6·14·18·20·21번) — 6문항

2번 하 미분법의 공식, 6번 중 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용; 나누어떨어지지 않는 경우, 14번 중상 곱의 미분법, 18번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 20번 중상 곱의 미분법 · 접선의 방정식, 21번 중상 구간별 미분가능성 · 도함수의 정의.

6번의 "다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용" 이 이 파트의 첫 고비입니다. f(x)를 (x-a)²으로 나눈 나머지를 구할 때, f(a)와 f'(a) 두 값이 나머지의 계수를 결정한다는 구조를 알아야 합니다. 나누어떨어지지 않는 경우라 나머지가 일차식이 됩니다.

18번과 21번은 구간별 미분가능성입니다. 절차는 두 단계로 고정돼 있습니다. 경계에서 좌우 함숫값이 같다(연속), 그리고 좌우 미분계수가 같다. 이 두 식을 세우면 미지수가 결정됩니다. 18번이 상 난이도인 이유는 여기에 ∞/∞ 극한과 다항함수 결정이 겹쳐 있기 때문입니다.

14번과 20번의 곱의 미분법은 (fg)'=f'g+fg' 공식 자체보다, 미분계수의 정의를 극한식에서 알아보는 눈이 핵심입니다. lim (f(x)-f(a))/(x-a) 꼴이 나오면 곧바로 f'(a)로 바꿔 쓸 수 있어야 합니다.

21번은 도함수의 정의를 직접 이용하는 문항까지 포함합니다. 공식만 외운 학생이 막히는 지점입니다.

2. 함수의 연속 (7·8·16·17·19번) — 5문항

7번 중 최대·최소 정리, 8번 중 함수의 연속 · 연속일 조건, 16번 중상 함수가 연속일 조건(응용) · 연속함수의 성질, 17번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속, 19번 하 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간.

17번이 이 시험의 최고 난도 문항입니다. 두 그래프의 교점의 개수를 함수 g(t)로 정의하고, 그 g의 연속성을 묻는 유형입니다. 교점 개수가 바뀌는 순간이 불연속점이 되므로, 먼저 그림을 그려 교점이 몇 개씩 생기는 구간을 나누는 것이 출발점입니다. 여기에 "두 함수의 곱이 연속일 조건"까지 얹혀 있어 단계가 깁니다.

8번과 16번은 같은 뿌리입니다. 분모가 0이 되는 점에서 함수가 연속이려면 분자도 0이 되어야 하고(필요조건), 그 뒤 0/0 꼴 극한을 계산해 함숫값과 맞춰야 합니다. 8번이 기본형, 16번이 응용형입니다.

19번은 서술형인데 하 난이도입니다. 사잇값 정리로 실근이 존재하는 구간을 찾는 유형이라, 구간 양끝에서 함숫값의 부호가 반대임을 보이고 정리를 인용하면 됩니다. 서술 구간에서 가장 확실한 점수입니다.

3. 함수의 극한 (1·3·9·13번) — 4문항

1번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 3번 하 0/0 꼴의 극한; 유리식, 9번 중 함수의 극한값의 존재 · 합성함수의 극한, 13번 중상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴의 극한.

9번의 합성함수의 극한이 이 파트의 함정입니다. lim f(g(x)) 꼴에서 안쪽 극한값이 바깥 함수의 불연속점과 일치하면 좌우를 따로 따져야 합니다. 그래프가 주어진 상태에서 좌극한·우극한을 구분하지 않으면 틀립니다.

13번은 다항함수 결정 유형입니다. 극한 조건이 두 개 주어지고 다항함수 f를 찾는데, ∞/∞ 조건으로 차수를, 0/0 조건으로 인수를 결정하는 것이 표준 순서입니다.

4. 도함수의 활용 (1) — 접선과 평균값 정리 (5·11·12번) — 3문항

5번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 11번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 12번 중 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용 · 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리.

12번은 거리 최솟값 문제입니다. 곡선 위의 점에서 직선까지의 거리가 최소가 되는 지점은 접선의 기울기가 그 직선의 기울기와 같아지는 점입니다. 이 대응을 모르면 미분 없이 헤매게 됩니다.

11번의 평균값 정리는 정의를 그대로 쓰는 문항입니다. 구간 양끝을 잇는 직선의 기울기와 같은 미분계수를 갖는 점이 구간 안에 존재한다는 진술입니다.

5. 도함수의 활용 (2) — 증감과 극값 (4·10·15번) — 3문항

4번 하 함수의 증가와 감소 · 그래프와 증가·감소, 10번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 15번 중상 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

15번은 판별식 문제로 바뀝니다. 삼차함수가 실수 전체에서 증가하려면 f'(x)≥0이 항상 성립해야 하고, f'은 이차식이므로 최고차항 계수가 양수이고 판별식이 0 이하라는 조건으로 정리됩니다. 등호를 포함하는지 여부에서 실수가 많이 나옵니다.

10번은 극값 조건으로 미정계수를 역산합니다. f'(a)=0을 세운 뒤 실제로 극값이 되는지 증감을 확인하는 검증 단계를 잊지 마세요.

주의 문항 — 상 2문항과 서술 구간

17번 상 (교점의 개수로 정의된 함수의 연속성) — 그림을 그려 구간을 나누는 작업이 선행돼야 합니다. 이 시험에서 시간이 가장 많이 드는 문항입니다.

18번 상 (구간별 미분가능성 + ∞/∞ 극한 + 다항함수 결정) — 세 개념이 한 문항에 겹쳤습니다. 21번과 유형이 같으니 한 번 뚫으면 두 문항을 얻습니다.

20번 중상 (곱의 미분법 + 접선) — 답을 직접 쓰는 문항이라 계산 실수가 바로 감점입니다. 14번과 같은 유형입니다.

21번 중상 (구간별 미분가능성 + 도함수의 정의) — 서술 구간의 마지막 문항입니다. 연속 조건과 미분 조건 두 식을 모두 써야 부분점수가 확보됩니다.

능동고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한 읽기 — 1번 대비. 그래프에서 화살표 방향 확인.
2. 0/0 꼴 극한 계산 — 3·8번 대비. 인수분해 후 약분.
3. 미분법의 공식 — 2번 대비. 확보 구간.
4. 함수의 증가와 감소 — 4번 대비. 확보 구간.
5. 접선의 방정식(접점이 주어진 경우) — 5번 대비. 20번까지 연결됩니다.
6. ★ 사잇값 정리 — 19번 대비. 서술 구간의 확보 문항.
7. 다항식의 나눗셈과 미분법 — 6번 대비. f(a)와 f'(a)로 나머지 결정.
8. 최대·최소 정리와 연속함수의 성질 — 7·16번 대비.
9. 함수가 연속일 조건 — 8·16번 대비. 분자도 0이 되어야 한다는 필요조건.
10. 합성함수의 극한 — 9번 대비. 좌우를 따로 보기.
11. 극값을 이용한 미정계수의 결정 — 10번 대비. 검증까지.
12. 평균값 정리 — 11번 대비. 정의 그대로.
13. 곡선과 직선 사이의 거리 최솟값 — 12번 대비. 기울기 일치 조건.
14. ★ ∞/∞ 극한으로 다항함수 결정 — 13·18번 대비.
15. ★ 곱의 미분법과 미분계수의 정의 — 14·20번 대비. 두 문항이 한 세트.
16. 삼차함수가 증가·감소할 조건 — 15번 대비. 판별식과 등호.
17. ★ 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 18·21번 대비. 연속 + 미분 두 식.
18. 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성 — 17번 대비. 그림부터 그리기.

자주 나오는 질문

능동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 03 미분계수와 도함수가 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 02 함수의 연속 5문항, 01 함수의 극한 4문항, 04 도함수의 활용 (1) 3문항, 05 도함수의 활용 (2) 3문항입니다.

난이도 배치에 특징이 있나요?

번호 순으로 난이도가 올라갑니다. 1~5번이 하, 6~12번이 중, 13~16번이 중상, 17~18번이 상입니다. 서술 구간은 19번이 하, 20·21번이 중상입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18번 두 문항입니다. 17번은 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성, 18번은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성입니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

19~21번 세 문항입니다. 19번은 사잇값 정리(하), 20번은 곱의 미분법과 접선(중상), 21번은 구간별 미분가능성(중상) 입니다. 20·21번은 각각 14번·18번과 유형이 같습니다.

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