동탄고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

동탄고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 성격은 명확합니다. 함수의 극한이 문항 수로도 1위(7문항), 킬러로도 1위입니다. 상 난이도 네 문항 중 세 문항이 극한 단원에서 나왔습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~18번은 선택형, 19~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 5 / 중상 7 / 상 4
• 배치 단원: 01 함수의 극한 7 / 03 미분계수와 도함수 4 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 02 함수의 연속 3 / 05 도함수의 활용 (2) 2
• 최다 반복 유형: 다항함수의 결정 6회(7·10·11·15·17·19번)
• 상 난이도 4문항이 14~18번에 몰려 있음 (14·15·17·18번)

동탄고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~18번이 선택형, 19~20번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 서술 구간 두 문항은 모두 중상 난이도입니다.

난이도 배치는 앞부분은 순서대로 올라가다가 뒤에서 뭉칩니다.

• 1~4번 하
• 5~9번 중
• 10~13번 중상
• 14·15번 상
• 16번 중상
• 17·18번 상
• 19·20번 중상 (답 직접 쓰기)

14번부터 18번까지 다섯 문항 중 네 개가 상 난이도입니다. 16번 하나만 중상으로 잠깐 숨통이 트입니다. 이 구간을 어떻게 배분하느냐가 이 시험의 전부라고 해도 과하지 않습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상·상이 11문항

중상과 상을 합치면 11문항, 전체의 55% 입니다. 쉬운 구간이 1~9번 아홉 문항으로 제한돼 있어, 앞 아홉 문항을 얼마나 빨리 끝내느냐가 뒤 열한 문항을 볼 시간을 만듭니다.

하 난이도 네 문항(1~4번)은 좌극한과 우극한 읽기, 0/0 꼴 유리식, 미분법의 공식, 극대·극소를 이용한 미정계수 결정입니다. 전부 교과서 예제 수준이라 여기서 시간을 쓰면 안 됩니다.

출제 단원 — 함수의 극한이 7문항

01 함수의 극한이 7문항으로 전체의 35% 입니다. 대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 10문항(50%), II 다항함수의 미분법 10문항(50%) 으로 정확히 반반입니다.

주목할 지점은 극한 7문항의 난이도 구성입니다. 1·2번은 하지만 11·13번이 중상, 15·17·18번이 상입니다. 극한 단원 안에서 난이도 격차가 가장 큽니다. 기본 극한 계산만 연습한 학생은 앞 두 문항만 가져가고 뒤 다섯 문항을 놓칩니다.

반면 05 도함수의 활용 (2)는 2문항(4·5번)뿐이고 난이도도 하·중입니다. 증가·감소와 극대·극소가 시험 범위에 있긴 하지만, 이 시험의 무게중심은 아닙니다.

시그니처 유형 — "다항함수의 결정" 6회

이 시험을 관통하는 작업은 하나입니다. 극한 조건 몇 개로 숨겨진 다항함수 f(x)를 복원하기.

다항함수의 결정이 7·10·11·15·17·19번 여섯 문항에서 쓰였습니다. 20문항 시험에서 한 유형이 6회 등장한 것입니다. 이 유형의 표준 절차는 정해져 있습니다.

• ∞/∞ 꼴 극한값이 유한하면 → 분자와 분모의 차수가 같고, 극한값이 최고차항 계수의 비
• 0/0 꼴 극한값이 유한하면 → 분자가 분모의 인수를 갖는다
• 두 조건을 합쳐 차수와 계수를 하나씩 확정

여기에 함수의 극한값의 존재가 14·15·17·18번 네 문항에서 함께 쓰였습니다. "극한값이 존재한다"는 조건을 좌극한 = 우극한으로 번역해 식을 하나 더 얻는 동작입니다. 상 난이도 네 문항이 전부 이 유형을 포함하고 있습니다.

다음 유형들도 두세 번씩 겹칩니다.

• 0/0 꼴의 극한; 유리식 — 2·15·17번
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 11·13번
• 함수가 연속일 조건 — 9·19번
• 미분가능성과 연속성 — 12·20번
• 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 10·16번
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 4·5번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·2·11·13·15·17·18번) — 7문항

1번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 2번 하 0/0 꼴의 극한; 유리식, 11번 중상 ∞/∞ 꼴의 극한 · 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정(응용), 13번 중상 함수의 극한의 활용 · ∞/∞ 꼴의 극한, 15번 상 함수의 극한값의 존재 · 다항함수의 결정 · 0/0 유리식, 17번 상 함수의 극한값의 존재 · 0/0 유리식 · 다항함수의 결정, 18번 상 0/0 꼴의 극한; 무리식 · 함수가 연속일 조건(응용) · 극한값의 존재.

15번과 17번은 거의 같은 재료로 만들어졌습니다. 둘 다 극한값의 존재 + 0/0 유리식 + 다항함수의 결정 세 유형의 조합입니다. 하나를 뚫으면 다른 하나도 열립니다. 이 두 문항이 이 시험의 최우선 공략 대상입니다.

18번의 무리식 0/0 극한은 분자 또는 분모를 유리화하는 것이 첫 동작입니다. 루트가 포함된 식에서 0/0이 나오면 켤레식을 곱해 약분하는 절차가 기계적으로 나와야 합니다.

13번의 "함수의 극한의 활용" 은 도형이나 수열 상황을 극한으로 바꾸는 유형입니다. 식을 세우는 데까지가 절반, 세운 뒤 ∞/∞ 계산이 나머지 절반입니다.

2. 도함수의 활용 (1) — 접선 (6·8·10·16번) — 4문항

6번 중 곡선과 직선이 접할 때 · 접선의 방정식; 기울기가 주어진 경우, 8번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 10번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 미정계수의 결정 · 다항함수의 결정, 16번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선과 수직인 직선의 방정식.

16번의 "접선이 곡선과 다시 만나는 점" 이 이 파트의 고비입니다. 접점의 x좌표를 a라 하면, 곡선과 접선의 차 함수가 (x-a)²을 인수로 갖는다는 성질이 열쇠입니다. 삼차함수라면 남은 인수가 일차식이므로 다시 만나는 점이 바로 나옵니다. 인수분해로 풀려고 달려들면 시간이 배로 듭니다.

6번의 "곡선과 직선이 접할 때" 는 두 식을 연립해 판별식이 0이라 놓거나, 접점에서 함숫값과 미분계수가 모두 같다고 놓는 두 가지 접근이 있습니다. 삼차 이상이면 후자가 훨씬 빠릅니다.

3. 미분계수와 도함수 (3·7·12·20번) — 4문항

3번 하 미분법의 공식, 7번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 다항함수의 결정, 12번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성, 20번 중상 항등식에서 미분법의 활용 · 사잇값 정리 · 미분가능성과 연속성.

12번은 미분가능성의 표준 유형입니다. 경계에서 연속(좌우 함숫값 일치)과 미분가능(좌우 미분계수 일치) 두 식을 세우면 끝납니다. 연속 조건만 쓰고 미분 조건을 빠뜨리는 실수가 잦습니다.

20번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 항등식에서 미분법을 활용하는 유형인데, 주어진 등식이 모든 x에 대해 성립한다는 조건에서 양변을 미분해 새 등식을 얻는 것이 핵심 동작입니다.

7번의 미분계수 극한은 lim (f(a+h)-f(a))/h 꼴을 f'(a)로 바꿔 읽는 훈련입니다. 분모가 h가 아니라 2h나 3h로 변형돼 나오면 계수를 맞춰줘야 합니다.

4. 함수의 연속 (9·14·19번) — 3문항

9번 중 함수가 연속일 조건 · 연속함수의 성질, 14번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 극한값의 존재 · 그래프와 연속, 19번 중상 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 연속일 조건 · 다항함수의 결정.

14번이 이 시험에서 가장 낯선 문항입니다. 두 그래프의 교점 개수를 t에 대한 함수로 정의하고, 그 함수의 연속성이나 두 함수의 곱의 연속성을 묻습니다. 그림을 그려 교점 개수가 바뀌는 t값을 찾는 것이 출발점이고, 그 지점이 불연속점 후보가 됩니다.

19번의 "(x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속" 은 서술 구간 첫 문항입니다. x=a에서 분모가 0이 되는데 전체가 연속이려면 분자도 0이어야 한다는 필요조건에서 시작합니다.

5. 도함수의 활용 (2) — 극값 (4·5번) — 2문항

4번 하 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 · 미정계수의 결정.

5번은 y=f'(x)의 그래프가 주어지는 유형입니다. f' 그래프가 x축을 위에서 아래로 지나면 극대, 아래에서 위로 지나면 극소입니다. f의 그래프와 혼동하지 않는 것이 전부입니다.

주의 문항 — 상 4문항

14번 상 (교점의 개수로 정의된 함수의 연속성) — 그림을 그려 구간을 나눠야 합니다. 시간이 가장 오래 걸리는 문항입니다.

15번 상 (극한값의 존재 + 다항함수의 결정) — 17번과 재료가 같습니다. 둘을 묶어 대비하세요.

17번 상 (극한값의 존재 + 0/0 유리식 + 다항함수의 결정) — 15번과 한 세트입니다.

18번 상 (0/0 무리식 + 연속일 조건) — 유리화가 첫 동작입니다. 여기까지 오면 시간이 없을 가능성이 높으니 유리화만이라도 시도해 부분 진행하세요.

네 문항 모두 14번 이후입니다. 1~9번 아홉 문항을 15분 안에 끝내는 연습이 실질적인 대비책입니다.

동탄고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한 읽기 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 0/0 꼴 유리식 극한 — 2번 대비. 15·17번의 재료이기도 합니다.
3. 미분법의 공식 — 3번 대비. 확보 구간.
4. 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 4·5번 대비. 확보 구간.
5. 도함수 그래프에서 극값 읽기 — 5번 대비. f와 f'을 구분하기.
6. 곡선과 직선이 접할 조건 — 6번 대비. 함숫값과 미분계수 동시 일치.
7. 미분계수를 이용한 극한 계산 — 7번 대비. 분모 계수 맞추기.
8. 평균값 정리 — 8번 대비. 정의 그대로.
9. 함수가 연속일 조건 — 9·19번 대비. 분자도 0이라는 필요조건.
10. 접선의 방정식(접점이 주어진 경우) — 10·16번 대비.
11. ★ ∞/∞ 꼴 극한과 차수·계수 비교 — 11·13번 대비.
12. 구간별 미분가능성 — 12·20번 대비. 연속 + 미분 두 식.
13. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 16번 대비. (x-a)² 인수 성질.
14. ★ 다항함수의 결정 — 7·10·11·15·17·19번을 관통하는 최중요 절차.
15. ★ 극한값의 존재 조건 — 14·15·17·18번 대비. 좌극한 = 우극한.
16. 0/0 무리식과 유리화 — 18번 대비.
17. 항등식에서 미분법의 활용 — 20번 대비. 양변 미분.
18. 교점의 개수로 정의된 함수 — 14번 대비. 그림부터 그리기.

자주 나오는 질문

동탄고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 01 함수의 극한이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 03 미분계수와 도함수 4문항, 04 도함수의 활용 (1) 4문항, 02 함수의 연속 3문항, 05 도함수의 활용 (2) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 네 문항(14·15·17·18번) 있습니다. 그중 15·17·18번 세 문항이 함수의 극한 단원입니다. 14번은 함수의 연속 단원입니다.

어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?

다항함수의 결정입니다. 20문항 중 여섯 문항(7·10·11·15·17·19번)에서 쓰였고, 중상·상 구간에 집중돼 있습니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

19~20번 두 문항이고 둘 다 중상 난이도입니다. 19번은 (x-a)f(x) 꼴 함수의 연속, 20번은 항등식에서 미분법의 활용입니다.

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