화홍중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

화홍중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 24문항이고, 전 문항이 선택형입니다. 이 시험의 성격을 한 줄로 요약하면 "활용 문제 승부" 입니다. 이차방정식의 활용만 7문항, 전체의 29%가 문장제입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 전 문항 선택형
• 난이도: 하 3 / 중 12 / 중상 6 / 상 3
• 배치 단원: 10 이차방정식의 활용 7 / 11 이차함수의 그래프 (1) 7 / 12 이차함수의 그래프 (2) 5 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 3 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 2
• 활용 문제 7문항이 전부 다른 유형 — 수, 연속하는 수, 쏘아 올린 물체, 실생활, 도로, 삼각형·사각형
• 최다 반복 유형: 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 4회(3·6·7·11번)

화홍중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

화홍중학교는 경기 수원시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 24문항으로 출제됐고, 24문항 모두 선택형입니다.

배치는 두 덩어리입니다.

• 1~12번 이차방정식 (풀이 5문항 + 활용 7문항)
• 13~24번 이차함수 (그래프 12문항)

정확히 절반씩 나뉩니다. 그런데 이차방정식 12문항 중 7문항이 활용이라는 점이 이 시험의 결정적 특징입니다. 계산 문제보다 문장제가 더 많습니다.

일반적으로 중3 1학기 기말에서 활용은 3~4문항 정도 나오는 경우가 많습니다. 화홍중은 그 두 배에 가깝습니다. 식 세우기에 약한 학생은 이 시험에서 앞 절반을 통째로 잃습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중이 12문항

중 난이도가 12문항으로 정확히 절반입니다. 그리고 하 난이도는 세 문항(1·13·14번)뿐입니다. 거저 주는 문항이 거의 없다는 뜻입니다.

하 난이도 세 문항의 위치를 보세요. 1번은 시험 맨 앞, 13·14번은 이차함수 파트가 시작되는 지점입니다. 즉 파트가 바뀌는 자리마다 쉬운 문항 하나씩을 놓았습니다. 2~12번 열한 문항은 하나도 하 난이도가 아닙니다.

상 난이도 세 문항(12·21·24번) 의 위치도 규칙적입니다. 12번은 이차방정식 파트의 마지막, 24번은 시험 전체의 마지막, 21번은 그 사이입니다. 각 파트를 마무리하는 자리에 킬러를 배치한 구조입니다.

출제 단원 — 활용 7문항이 최다

10 이차방정식의 활용이 7문항으로 11 이차함수의 그래프 (1)과 함께 공동 1위입니다. 대단원으로 묶으면 III 이차방정식 12문항(50%), IV 이차함수 12문항(50%) 으로 정확히 반반입니다.

여기서 대비 방향이 갈립니다. 시험 범위 이름은 "이차방정식의 풀이"로 시작하지만, 풀이 단원(08·09)은 다 합쳐도 5문항입니다. 반면 활용 단원만 7문항입니다. 근의 공식과 인수분해만 연습하고 문장제를 미루면 절반을 잃습니다.

시그니처 구조 — 활용 7문항이 전부 다른 유형

이 시험에서 가장 눈여겨볼 점은 활용 일곱 문항이 겹치지 않는 일곱 가지 상황이라는 것입니다.

활용 문제집의 대표 유형을 골고루 훑어야 한다는 뜻입니다. 한두 유형만 익혀서는 대응이 안 됩니다. 그리고 난이도가 유형 순서대로 올라갑니다. 수·연속하는 수·물체·실생활이 중, 도로와 도형이 중상 이상입니다.

여기에 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 3·6·7·11번 네 문항에서 재료로 쓰였습니다. 활용 문제에서 식을 세운 뒤 결국 인수분해로 해를 구한다는 뜻입니다. 인수분해 속도가 활용 문제 풀이 시간을 결정합니다.

다음 유형들도 두 번씩 겹칩니다.

• 여러 가지 이차방정식의 풀이 — 10·12번
• 이차방정식의 활용; 수 — 2·8번
• 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 — 11·12번
• 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질 — 15·16번
• a, p, q의 부호 — 14·19번
• y=ax²+bx+c를 표준형으로 변형 — 20·21번
• 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 21·24번
• 그래프가 축과 만나는 점 — 22·24번
• 그래프의 평행이동 — 20·23번
• 꼭짓점과 다른 한 점으로 식 구하기 — 21·23번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 활용 (2·6·7·8·9·11·12번) — 7문항, 시험의 중심

2번 중 수에 대한 문제 · 식이 주어진 경우, 6번 중 연속하는 수 · 인수분해를 이용한 풀이, 7번 중 쏘아 올린 물체 · 인수분해를 이용한 풀이, 8번 중 실생활 · 수에 대한 문제, 9번 중상 도로를 만드는 경우 · 변의 길이를 줄이거나 늘인 도형, 11번 중상 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이, 12번 상 삼각형과 사각형 · 여러 가지 이차방정식의 풀이.

7번의 "쏘아 올린 물체" 는 식 세우기가 필요 없는 유일한 활용 유형입니다. 높이를 나타내는 식이 문제에 주어지고, 높이가 0(지면 도달)이나 특정 값이 되는 시각을 묻습니다. 주어진 식에 값을 넣고 이차방정식을 푸는 것이 전부입니다. 활용 중 가장 빠르게 처리할 수 있는 문항이니 먼저 잡으세요.

9번의 "도로를 만드는 경우" 가 활용의 첫 고비입니다. 직사각형 땅에 폭이 일정한 길을 낼 때 남는 땅의 넓이를 묻는 유형인데, 길을 가장자리로 밀어 붙여 하나의 직사각형으로 만드는 것이 표준 기술입니다. 이 발상을 모르면 복잡한 도형을 조각내 계산하다 시간을 다 씁니다.

11번과 12번은 둘 다 도형 활용인데 난이도가 중상과 상으로 갈립니다. 12번이 상인 이유는 "여러 가지 이차방정식의 풀이" 가 얹혀 있기 때문입니다. 괄호를 풀거나 분수·소수 계수를 정리한 뒤에야 인수분해가 가능한 형태라 단계가 더 깁니다.

모든 활용 문항의 마지막 검증은 같습니다. 길이·개수·시간은 양수여야 하고, 문제 조건(예를 들어 정수)에 맞아야 합니다. 해 두 개 중 하나를 버리는 단계를 빠뜨리면 답이 틀립니다.

2. 이차방정식의 풀이 (1·3·4·5·10번) — 5문항

1번 하 이차방정식의 해 · 이차방정식, 3번 중 두 이차방정식의 공통인 근 · 인수분해를 이용한 풀이, 4번 중 이차방정식이 중근을 가질 조건 · 중근, 5번 중 제곱근을 이용한 풀이 · 완전제곱식으로 고치기 · 근의 공식으로 미지수 구하기, 10번 중상 여러 가지 이차방정식의 풀이 · 완전제곱식을 이용한 풀이 · 근의 공식.

3번의 "공통인 근" 은 두 이차방정식을 각각 풀어 겹치는 해를 찾는 방식이 가장 확실합니다. 인수분해가 되는 형태로 나오니 계산 자체는 길지 않습니다.

4번의 "중근을 가질 조건" 은 판별식이 0, 즉 (완전제곱식)=0 꼴이 된다는 조건입니다. b²-4ac=0을 세우면 미지수가 나옵니다.

10번은 중상입니다. "여러 가지 이차방정식"이란 괄호가 있거나, 분수·소수 계수이거나, 공통부분을 치환해야 하는 형태를 말합니다. 먼저 정리해서 ax²+bx+c=0 꼴로 만드는 것이 첫 동작이고, 이 정리 단계에서 실수가 가장 많이 나옵니다.

3. 이차함수 y=ax²와 y=a(x-p)²+q의 그래프 (13~19번) — 7문항

13번 하 이차함수가 되도록 하는 조건 · 이차함수, 14번 하 y=a(x-p)²+q의 그래프 · a, p, q의 부호, 15번 중 y=ax²의 그래프의 성질 · 지나는 점, 16번 중 그래프의 모양 · 성질, 17번 중 y=ax²의 식 구하기 · 함숫값 · 이차함수, 18번 중 y=a(x-p)²의 그래프 · 평행이동, 19번 중 a, p, q의 부호 · 지나지 않는 사분면의 조건.

하 난이도 두 문항(13·14번)이 여기 있습니다. 이차함수 파트가 시작되는 자리라 부담 없이 들어갈 수 있습니다.

14번과 19번의 부호 판정을 묶어서 보세요. 절차는 세 줄입니다. 볼록 방향으로 a의 부호, 꼭짓점의 x좌표로 p의 부호, 꼭짓점의 y좌표로 q의 부호. 19번은 여기에 "지나지 않는 사분면" 까지 물어, 개형을 실제로 그려야 합니다.

15·16번의 y=ax² 성질은 a의 부호가 볼록 방향, |a|가 폭을 결정한다는 두 문장입니다. |a|가 클수록 폭이 좁아진다는 방향을 확실히 해두세요.

18번의 평행이동은 x축 방향으로 m만큼 옮기면 x 대신 x-m을 넣는 규칙입니다. 부호가 반대로 들어갑니다.

4. 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프 (20·21·22·23·24번) — 5문항

20번 중상 표준형으로 변형하기 · 그래프의 성질 · 평행이동, 21번 상 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 · 꼭짓점과 한 점으로 식 구하기 · 표준형 변형, 22번 중상 x축과의 두 교점과 다른 한 점으로 식 구하기 · 축과 만나는 점, 23번 중상 꼭짓점과 다른 한 점으로 식 구하기 · 증가·감소하는 범위 · 평행이동, 24번 상 그래프의 활용 · 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 · 축과 만나는 점.

마지막 다섯 문항이 전부 중상 이상입니다. 이 구간이 이 시험의 승부처입니다.

모든 문항의 출발점은 표준형 변형입니다. y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 고치면 꼭짓점과 축이 바로 나옵니다. 완전제곱식 만들기가 숙달돼 있지 않으면 다섯 문항이 전부 막힙니다.

식 구하기 세 가지 형태를 구분해 두세요.

• 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 → y=a(x-p)²+q에 대입 (21·23번)
• x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때 → y=a(x-α)(x-β)에 대입 (22번)
• 일반적인 세 점을 알 때 → y=ax²+bx+c에 대입

어느 꼴로 놓느냐에 따라 계산량이 몇 배 차이 납니다. 조건을 보고 형태를 고르는 판단이 실력입니다.

23번의 "증가·감소하는 범위" 는 축을 기준으로 갈린다는 것 하나입니다. 아래로 볼록이면 축의 왼쪽에서 감소, 오른쪽에서 증가입니다.

24번은 시험의 마지막 문항이자 상 난이도입니다. 그래프에서 도형의 넓이 등을 읽어내는 활용형인데, 꼭짓점과 절편을 모두 구한 뒤에야 도형이 그려집니다. 시간을 남겨두세요.

주의 문항 — 상 3문항

12번 상 (도형 활용 + 여러 가지 이차방정식) — 이차방정식 파트의 마지막 문항입니다. 식을 세운 뒤 정리 단계가 한 번 더 있습니다.

21번 상 (표준형 변형 + 꼭짓점 + 식 구하기) — 세 작업이 연쇄됩니다. 중간 계산 하나가 틀리면 끝까지 틀립니다.

24번 상 (그래프의 활용) — 꼭짓점과 절편을 모두 구해야 도형이 보입니다.

중상 6문항(9·10·11·20·22·23번) 도 만만치 않습니다. 특히 9·10·11번이 연속이라 이차방정식 파트 후반부에서 페이스가 꺾이기 쉽습니다.

화홍중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 해와 중근 조건 — 1·4번 대비. 판별식 b²-4ac.
2. ★ 인수분해를 이용한 풀이 — 3·6·7·11번의 계산 도구. 속도가 곧 시간입니다.
3. 두 이차방정식의 공통인 근 — 3번 대비.
4. 완전제곱식과 근의 공식 — 5번 대비. 표준형 변형까지 이어집니다.
5. 여러 가지 이차방정식(괄호·분수·소수) — 10·12번 대비. 정리 단계 실수 주의.
6. 수·연속하는 수 활용 — 2·6·8번 대비. 가운데 수를 x로.
7. 쏘아 올린 물체 — 7번 대비. 식이 주어지니 가장 빠른 활용 문항.
8. ★ 도로를 만드는 경우 — 9번 대비. 길을 가장자리로 밀어 붙이기.
9. ★ 삼각형·사각형 활용 — 11·12번 대비. 길이는 양수 검증까지.
10. 이차함수가 되도록 하는 조건 — 13번 대비. 확보 구간.
11. y=ax²의 성질과 모양 — 15·16번 대비. a의 부호와 |a|.
12. y=ax²의 식 구하기와 함숫값 — 17번 대비.
13. 평행이동 규칙 — 18·20·23번 대비. x 대신 x-m, 부호 주의.
14. ★ a, p, q의 부호 판정 — 14·19번 대비. 볼록 → 꼭짓점 x → 꼭짓점 y.
15. 지나지 않는 사분면 — 19번 대비. 개형을 직접 그리기.
16. ★ 표준형으로 변형하기 — 20·21번 대비. 20~24번 전체의 출발점.
17. 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 21·24번 대비.
18. ★ 식 구하기 세 가지 꼴 구분 — 21·22·23번 대비. 조건에 맞는 꼴 고르기.
19. 증가·감소하는 범위 — 23번 대비. 축을 기준으로.
20. 그래프의 활용(도형) — 24번 대비. 꼭짓점과 절편 먼저.

자주 나오는 질문

화홍중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항이고, 전 문항이 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 10 이차방정식의 활용과 11 이차함수의 그래프 (1)이 각 7문항으로 공동 1위입니다. 이어서 12 이차함수의 그래프 (2) 5문항, 08 이차방정식의 풀이 (1) 3문항, 09 이차방정식의 풀이 (2) 2문항입니다.

활용 문제는 어떤 유형이 나오나요?

일곱 문항이 전부 다른 유형입니다. 수(2번), 연속하는 수(6번), 쏘아 올린 물체(7번), 실생활(8번), 도로를 만드는 경우(9번), 삼각형과 사각형(11·12번)입니다. 앞의 네 개가 중, 뒤의 세 개가 중상 이상입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 세 문항(12·21·24번) 있습니다. 12번은 도형 활용, 21번은 꼭짓점과 식 구하기, 24번은 그래프의 활용입니다. 각 파트의 마지막 자리에 배치돼 있습니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 1·13·14번 세 문항뿐입니다. 중 난이도가 12문항으로 절반을 차지하므로, 중 난이도에서 흘리지 않는 것이 등급을 지키는 핵심입니다.

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