산격중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

산격중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 성격은 두 숫자로 정리됩니다. 상 난이도 0문항, 중 난이도 12문항. 60%가 중 난이도에 몰려 있는 평탄한 시험지입니다. 그리고 이차함수의 식을 구하는 유형이 다섯 문항에 걸쳐 나왔습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태(소문항 (1)·(2) 구성)
• 난이도: 하 4 / 중 12 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 12 이차함수의 그래프 (2) 7 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 4 / 10 이차방정식의 활용 4 / 11 이차함수의 그래프 (1) 4 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 1
• 최다 반복 유형: 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 5회
• 가장 눈에 띄는 배치: 10·11·12번이 연속으로 "꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 식 구하기"

산격중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

산격중학교는 대구 북구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17·18·19·20번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태이고, 네 문항 모두 (1)·(2) 소문항으로 나뉘어 있습니다.

배치는 단원 순서를 따릅니다. 1~7번이 이차방정식, 8~16번이 이차함수, 그리고 17~20번이 답을 직접 쓰는 문항입니다. 서술 구간도 17·18번은 이차방정식의 활용, 19·20번은 이차함수로 나뉘어 있습니다.

이 시험의 무게중심은 분명합니다. 12 이차함수의 그래프 (2)가 7문항, 전체의 35%입니다. 이 단원은 y=ax²+bx+c 꼴을 다루는데, 산격중은 그중에서도 "그래프를 보고 식을 거꾸로 세우는" 문항을 집중적으로 냈습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 12문항, 상 0문항

중 난이도가 12문항, 전체의 60% 입니다. 이 정도로 한 구간에 몰린 시험은 흔치 않습니다.

의미는 분명합니다. 손도 못 댈 문항이 없는 대신, 실수 한 번이 그대로 점수입니다. 킬러를 버리고 나머지를 지키는 전략이 통하지 않고, 중 난이도 열두 문항을 전부 정확히 처리하는 것이 유일한 길입니다.

하 난이도 네 문항이 3·4·5번과 8번입니다. 앞쪽에 셋이 연속으로 있어 초반에 속도를 낼 수 있습니다.

중상 네 문항은 6·9·15·16번입니다. 흩어져 있어 한 구간에서 크게 막힐 일은 없지만, 6번이 앞쪽에 있어 초반 페이스를 흔들 수 있습니다.

출제 단원 — y=ax²+bx+c 단원에 7문항

12 이차함수의 그래프 (2)가 7문항으로 압도적 최다입니다. 대단원으로 묶으면 이차함수 11문항(55%), 이차방정식 9문항(45%) 입니다.

09 이차방정식의 풀이 (2)는 7번 한 문항뿐입니다. 근의 공식은 여기에 재료로 한 번 쓰였을 뿐, 단독으로 묻는 문항은 없습니다. 대신 인수분해가 다섯 문항에서 반복됩니다. 이 시험의 방정식은 대부분 인수분해로 깔끔하게 떨어집니다.

시그니처 배치 — 10·11·12번이 연속으로 같은 유형

이 시험에서 가장 눈에 띄는 것은 10·11·12번 세 문항이 연속으로 "이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때" 유형이라는 점입니다. 20번에서 한 번 더 나와 총 4회입니다.

절차는 하나입니다. y=a(x-p)²+q에 꼭짓점 (p, q)를 먼저 넣고, 다른 한 점의 좌표를 대입해 a를 구한다. 세 문항이 이 두 단계를 공유하고, 결합된 유형만 다릅니다. 10번은 절편과, 11번은 꼭짓점 꼴 변형과, 12번은 y=a(x-p)² 그래프와 묶였습니다.

이 절차 하나가 네 문항을 엽니다. 산격중 대비의 1순위입니다.

여기서 한 걸음 더 나아가면 시험 전체의 설계가 보입니다. 이차함수의 식을 구하는 방법은 크게 세 가지입니다.

• 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 — 10·11·12·20번
• 축의 방정식과 두 점을 알 때 — 14번
• x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때 — 15번

세 가지 방법이 10~15번 구간에 전부 나왔습니다. 산격중은 "그래프를 보고 식을 세우는 능력"을 이 시험의 핵심으로 잡은 셈입니다. 주어진 조건에 따라 어느 꼴로 세울지 고르는 판단이 그대로 점수가 됩니다.

나머지 반복 유형은 다음과 같습니다.

• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 1·3·6·17·18번 5회
• y=ax²+bx+c의 그래프가 축과 만나는 점 — 9·10·15번 3회
• y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 — 11·14·19번 3회
• y=a(x-p)²+q의 그래프 — 13·16·19번 3회
• 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값 구하기 — 1·6번 2회
• 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 9·19번 2회
• 이차함수의 그래프의 활용 — 9·20번 2회
• y=ax²+q의 그래프 — 16·20번 2회

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1·4·5·6·7번) — 5문항

1번 중 인수분해를 이용한 풀이 · 한 근이 주어졌을 때 미지수의 값, 4번 하 한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값, 5번 하 중근을 가질 조건 · 중근, 6번 중상 한 근이 주어졌을 때 다른 한 근 · 미지수의 값 · 인수분해를 이용한 풀이, 7번 중 여러 가지 이차방정식의 풀이 · 근의 공식.

4번과 5번이 하 난이도입니다. 확보 구간입니다.

4번의 "한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값" 은 하 난이도지만 발상이 필요합니다. 근이면 대입해도 성립한다는 성질로 관계식을 만들고, 그 관계식을 이용해 묻는 식을 정리합니다. 원리를 모르면 하 난이도라도 막힙니다.

5번의 중근 조건은 (완전제곱식)=0 꼴이 되는 조건, 즉 상수항이 일차항 계수의 절반의 제곱과 같아야 한다는 관계입니다.

6번이 앞 구간의 유일한 중상입니다. 주어진 근을 대입해 미지수를 구하고 → 그 값을 넣어 방정식을 완성한 뒤 → 인수분해로 나머지 근을 찾는 세 단계입니다. 1번에서 첫 단계만 물었던 것을 6번에서 끝까지 밀어붙였습니다.

7번의 "여러 가지 이차방정식" 은 괄호를 전개하거나 분수·소수 계수를 정리한 뒤 푸는 유형입니다. 양변에 최소공배수를 곱할 때 상수항까지 빠짐없이 곱하는지가 실수 지점입니다.

2. 이차방정식의 활용 (2·3번) — 선택형 2문항

2번 중 활용; 연속하는 수 · 수, 3번 하 활용; 쏘아 올린 물체 · 인수분해를 이용한 풀이.

둘 다 정형화된 유형입니다.

2번의 연속하는 수는 연속한 세 정수를 n-1, n, n+1로 놓는 표준 세팅만 알면 풀립니다.

3번의 쏘아 올린 물체는 높이 식이 문제에 이미 주어지므로, 높이를 대입해 시간을 구하거나 시간을 대입해 높이를 구하는 계산만 하면 됩니다. 하 난이도 확보 문항입니다.

3. 이차함수의 기본 그래프 (8·13·16번) — 3문항

8번 하 y=ax²의 그래프의 성질 · 모양, 13번 중 y=a(x-p)²+q의 평행이동 · 그래프, 16번 중상 y=a(x-p)²+q의 그래프 · y=ax²+q의 그래프 · y=ax²의 그래프가 지나는 점.

8번은 a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고, a의 부호가 열린 방향을 정한다는 두 가지 성질입니다. 확보 구간입니다.

13번은 평행이동입니다. x축 방향 이동은 괄호 안에서 부호가 반대로 보인다는 점이 실수 지점입니다.

16번은 세 가지 그래프 유형이 한 문항에 묶인 복합형입니다. y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)²+q 세 꼴을 모두 알고 있어야 비교가 됩니다.

4. 이차함수의 식 구하기 (10·11·12·14·15번) — 5문항

10번 중 꼭짓점과 다른 한 점 · 축과 만나는 점, 11번 중 꼭짓점과 다른 한 점 · 꼭짓점 꼴 변형, 12번 중 꼭짓점과 다른 한 점 · y=a(x-p)²의 그래프, 14번 중 축의 방정식과 두 점 · 꼭짓점 꼴 변형, 15번 중상 x축과의 두 교점과 다른 한 점 · a, b, c의 부호 · 축과 만나는 점.

이 시험의 심장부입니다.

10~12번은 같은 절차입니다. 꼭짓점을 y=a(x-p)²+q에 넣고 다른 한 점으로 a를 구합니다. 세 문항을 한 번에 연습할 수 있으니, 이 절차를 손에 붙이는 것이 가장 효율이 좋습니다.

14번은 축의 방정식이 주어진 경우입니다. 축이 x=p라면 꼭짓점의 x좌표가 p이므로, y=a(x-p)²+q 꼴로 세우고 두 점을 대입해 a와 q를 구하는 연립 절차가 됩니다.

15번은 x축과의 두 교점이 주어진 경우입니다. 두 교점이 α, β라면 y=a(x-α)(x-β) 꼴로 세우고 다른 한 점을 대입해 a를 구합니다. 여기에 a, b, c의 부호 판정까지 결합돼 중상입니다. 부호는 a는 열린 방향, c는 y절편, b는 축의 위치(-b/2a)와 a의 부호를 함께 보는 순서로 고정하세요.

5. 9번 — 중상, 절편과 활용

9번 중상 그래프가 축과 만나는 점 · 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 · 그래프의 활용.

이차함수 파트의 첫 중상입니다. x절편 두 개, y절편, 꼭짓점을 모두 구한 뒤 그것으로 도형을 만들어 넓이 등을 계산하는 흐름입니다. 절편을 먼저 전부 구해 놓고 시작하면 정리됩니다.

6. 답을 직접 쓰는 17~20번 — 소문항 구성

17번 중 활용; 상자를 만드는 경우 · 인수분해를 이용한 풀이 · 실생활, 18번 중 잘못 보고 푼 이차방정식 · 두 근이 주어진 이차방정식 구하기 · 인수분해를 이용한 풀이, 19번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프 · 꼭짓점 꼴 변형 · 꼭짓점과 축의 방정식, 20번 중 그래프의 활용 · 꼭짓점과 다른 한 점 · y=ax²+q의 그래프.

네 문항 모두 중 난이도입니다. 어렵지는 않지만 소문항 (1)에서 식을 세우고 (2)에서 답을 구하는 구조라, 앞 소문항이 틀리면 뒤가 연쇄로 무너집니다.

17번의 "상자를 만드는 경우" 는 판의 네 귀퉁이를 잘라 상자를 만드는 유형입니다. 잘라낸 길이를 x로 놓고 밑면의 두 변을 (원래 길이 - 2x)로 표현하는 세팅이 (1)의 답입니다. 길이는 양수여야 하므로 음수 근과 범위를 벗어나는 근을 버리는 단계를 반드시 확인하세요.

18번의 "잘못 보고 푼 이차방정식" 이 이 시험에서 가장 특징적인 문항입니다. 두 사람이 각각 다른 계수를 잘못 보고 풀었다는 설정에서, 잘못 본 사람이라도 제대로 본 계수는 맞게 반영했다는 것이 열쇠입니다. 상수항을 잘못 본 사람의 두 근으로는 일차항 계수를, 일차항을 잘못 본 사람의 두 근으로는 상수항을 복원합니다. 유형을 모르면 헤매고, 알면 두 줄로 끝납니다.

19번은 꼭짓점 꼴 변형 후 축과 꼭짓점을 서술하는 문항입니다. 변형 계산이 (1)이고 그 결과를 읽는 것이 (2)입니다.

20번은 그래프의 활용입니다. 실생활 상황에서 이차함수의 식을 세우고(꼭짓점과 한 점 이용), 그 식으로 특정 값을 구하는 구조입니다. 10~12번에서 연습한 절차가 서술형으로 그대로 나왔습니다.

주의 문항 — 중상 4문항

6번 중상 (한 근으로 다른 근 구하기) — 앞쪽 배치라 페이스를 흔들 수 있습니다.

9번 중상 (절편과 그래프의 활용) — 절편을 전부 구해야 시작됩니다.

15번 중상 (x축 두 교점으로 식 구하기 + 부호 판정) — 선택형에서 가장 복잡합니다.

16번 중상 (세 가지 그래프 비교) — 세 꼴을 모두 알아야 합니다.

네 문항이 흩어져 있어 한 구간에서 크게 무너질 위험은 낮습니다. 대신 중 12문항의 실수 관리가 이 시험의 전부입니다.

산격중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 1·3·6·17·18번. 이 시험 최다 반복.
2. 한 근이 주어졌을 때 미지수·다른 근 구하기 — 1·6번 대비.
3. 한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값 — 4번 대비. 원리 이해 필수.
4. 중근과 중근을 가질 조건 — 5번 대비. 확보 구간.
5. 여러 가지 이차방정식의 풀이와 근의 공식 — 7번 대비. 분수·소수 계수 정리.
6. 활용; 연속하는 수 / 쏘아 올린 물체 — 2·3번 대비. 확보 구간.
7. 활용; 상자를 만드는 경우 — 17번 대비. 세팅 암기, 근의 범위 확인.
8. ★ 잘못 보고 푼 이차방정식 — 18번 대비. 유형을 모르면 손을 못 댑니다.
9. y=ax²의 그래프의 성질·모양 — 8번 대비. 확보 구간.
10. y=a(x-p)²+q의 그래프와 평행이동 — 13·16·19번 대비.
11. ★★ 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 — 10·11·12·20번. 최우선 1순위.
12. 식 구하기; 축의 방정식과 두 점을 알 때 — 14번 대비.
13. ★ 식 구하기; x축과의 두 교점과 다른 한 점 — 15번 대비. y=a(x-α)(x-β) 꼴.
14. y=ax²+bx+c를 꼭짓점 꼴로 변형 — 11·14·19번 대비.
15. 그래프가 축과 만나는 점 — 9·10·15번 대비. y=0 대입 후 인수분해.
16. a, b, c의 부호 판정 — 15번 대비. a → c → b 순서 고정.
17. 그래프의 활용 — 9·20번 대비. 절편·꼭짓점 먼저 구하기.

자주 나오는 질문

산격중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태이고 네 문항 모두 (1)·(2) 소문항으로 나뉘어 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 12 이차함수의 그래프 (2)가 7문항으로 가장 많습니다. 전체의 35%입니다. 나머지 08·10·11 단원이 각 4문항, 09 단원이 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 4문항(6·9·15·16번)입니다. 대신 중 난이도가 12문항(60%) 이라 실수 관리가 곧 등급입니다.

가장 많이 나온 유형은 무엇인가요?

"이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때"가 10·11·12번 연속으로 나오고 20번에서 한 번 더 나왔습니다. y=a(x-p)²+q에 꼭짓점을 넣고 다른 한 점으로 a를 구하는 절차 하나가 네 문항을 엽니다.

서술형은 어느 단원에서 나오나요?

답을 직접 쓰는 네 문항이 이차방정식의 활용(17·18번)과 이차함수(19·20번)에 두 개씩 나뉘어 있습니다. 특히 18번의 "잘못 보고 푼 이차방정식" 은 유형을 모르면 손을 못 대니 반드시 익혀두세요.

근의 공식은 많이 나오나요?

적게 나옵니다. 09 이차방정식의 풀이 (2) 단원은 7번 한 문항뿐이고, 근의 공식도 거기 재료로 쓰인 것이 전부입니다. 대신 인수분해가 다섯 문항에서 반복됩니다.

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