상원중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025학년)

상원중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 단원은 이차방정식과 이차함수이고, 두 대단원이 11문항씩 정확히 반반으로 갈립니다. 이 시험의 성격을 결정하는 건 상 난이도 2문항이 15·16번에 나란히 붙어 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~17번은 선택형, 18~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 10 / 중상 4 / 상 2
• 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 7 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 5 / 10 이차방정식의 활용 4 / 12 이차함수의 그래프 (2) 4 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 2
• 대단원 비중: 이차방정식 11문항 · 이차함수 11문항
• 최다 반복 유형: 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 4회(2·9·15·19번), y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형 4회(12·17·21·22번)

상원중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

상원중학교는 대구 달서구에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~22번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치는 단원 순서대로 가지 않습니다. 1~3번은 이차방정식, 4~6번은 이차함수, 7~9번은 다시 이차방정식, 10~14번은 이차함수로 오갑니다. 두세 문항 단위로 단원이 바뀌는 구조라, 앞에서부터 순서대로 풀면 머릿속에서 이차방정식과 이차함수를 계속 전환해야 합니다.

주목할 점은 상 난이도 두 문항(15·16번)이 선택형의 끝부분에 붙어 있다는 것입니다. 그리고 그 직후 18번부터 서술형 구간이 시작됩니다. 가장 어려운 구간과 답을 직접 쓰는 구간이 연달아 온다는 뜻이라, 시간 배분을 앞쪽에서 벌어두지 않으면 뒷부분에서 그대로 무너집니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항이 15·16번에 붙어 있다

하 난이도 6문항 중 다섯 개(1·2·4·5·6번)가 앞부분에 몰려 있습니다. 시험지를 열자마자 확보 구간이 나오는 배치이니, 여기서 속도를 벌어 15·16번에 쓸 시간을 만들어야 합니다.

반대로 10번 이후에는 하 난이도가 20번 하나뿐입니다. 10번부터 22번까지 열세 문항 중 열두 문항이 중 이상입니다. 후반부가 균일하게 무겁다는 것이 이 시험의 실질적인 난도입니다.

출제 단원 — 이차방정식 11 대 이차함수 11

대단원으로 묶으면 이차방정식(08·09·10) 11문항, 이차함수(11·12) 11문항으로 정확히 반씩입니다. 어느 한쪽을 버리는 전략이 성립하지 않습니다.

눈여겨볼 것은 10 이차방정식의 활용이 4문항이나 된다는 점입니다. 그런데 이 네 문항의 난이도가 중 1(3번) · 중상 2(19·22번) · 상 1(16번) 로, 하 난이도가 하나도 없습니다. 활용 파트가 이 시험에서 가장 점수를 많이 흘리는 곳입니다.

반대로 11 이차함수의 그래프 (1) 7문항 중 네 개(4·5·6·20번)가 하 난이도입니다. 문항 수는 가장 많지만 가장 쉬운 단원이 여기입니다.

시그니처 유형 — 인수분해 풀이와 표준형 변형이 각 4회

이 시험을 관통하는 도구는 두 가지입니다.

첫째, 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이가 2·9·15·19번 네 문항에서 쓰였습니다. 2번은 그 자체가 목적이지만, 9번(중근 조건)·15번(한 근이 문자)·19번(활용; 원)에서는 마지막 단계의 계산 도구로 등장합니다. 인수분해 속도가 느리면 세 문항이 동시에 느려집니다.

둘째, y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기가 12·17·21·22번 네 문항에 들어 있습니다. 완전제곱꼴로 고쳐 꼭짓점을 읽어내는 절차 하나가 사분면 판정(12번), 증가·감소 범위(17번), 평행이동(21번), 좌표평면 도형의 넓이(22번)로 전부 이어집니다. 이 시험에서 가장 투자 대비 효율이 높은 연습이 표준형 변형입니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 이차방정식의 근의 공식 — 7·16번
• 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질 — 5·13번
• 이차함수 y=a(x-p)²의 그래프 — 4·13번
• 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 11·17번
• 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프가 축과 만나는 점 — 14·22번

특히 7번과 16번의 연결이 중요합니다. 7번은 근의 공식으로 미지수를 구하는 표준 문항인데, 16번은 같은 근의 공식을 써놓고 근이 정수가 되려면 판별식 안쪽이 어떤 값이어야 하는가를 묻습니다. 도구는 같고 묻는 방향이 반대입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 기본 풀이 (1·2·8·9번) — 4문항

1번 하 두 근이 주어진 이차방정식 구하기, 2번 하 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이, 8번 중 이차방정식과 이차방정식의 해, 9번 중 이차방정식이 중근을 가질 조건.

1·2번은 반드시 확보해야 하는 구간입니다. 두 근 α, β가 주어지면 a(x-α)(x-β)=0으로 되돌리는 것 하나로 1번이 끝납니다.

9번의 중근 조건은 (완전제곱식)=0 꼴이 되는 상수를 찾는 유형입니다. x의 계수의 절반을 제곱한다는 규칙을 정확히 기억하세요.

2. 근의 공식과 완전제곱식 (7·18번) — 2문항

7번 중 근의 공식을 이용하여 이차방정식의 미지수의 값 구하기, 18번 중 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이.

18번은 답을 직접 쓰는 첫 문항입니다. 완전제곱식 꼴로 고치는 과정을 단계별로 요구하는 형태라, 계산 과정을 생략하지 말고 순서대로 적는 연습이 필요합니다.

3. 이차방정식의 활용 (3·16·19·22번) — 4문항, 하 난이도 0

3번 중 한 근이 무리수일 때 미지수의 값 구하기, 16번 상 이차방정식의 근이 정수가 될 조건, 19번 중상 이차방정식의 활용; 원, 22번 중상 이차방정식의 활용; 좌표평면 위의 도형의 넓이.

이 네 문항이 이 시험의 승부처입니다. 3번은 앞자리에 있는데도 중 난이도이고, 나머지 셋은 전부 중상 이상입니다.

19번 원 활용은 반지름을 미지수로 두고 넓이나 둘레 조건으로 이차방정식을 세우는 유형입니다. 식을 세운 뒤에는 인수분해로 풀고, 길이는 양수라는 조건으로 한 근을 버리는 마무리를 빠뜨리지 마세요.

22번은 이차함수 그래프의 절편으로 도형을 만들고 넓이를 구하는 복합형입니다. 이차함수 단원의 도구(축과 만나는 점, 표준형 변형)를 이차방정식 활용에서 다시 쓰는 문항이라, 두 단원을 한꺼번에 알아야 열립니다.

4. 이차함수의 기초 그래프 (4·5·6·10·13·20번) — 6문항

4번 하 y=a(x-p)²+q의 그래프, 5번 하 y=ax²의 그래프의 성질, 6번 하 y=ax²+q의 그래프, 10번 중 y=ax²의 식 구하기, 13번 중 y=a(x-p)²의 그래프, 20번 하 이차함수의 함숫값.

하 난이도 네 문항이 전부 여기 있습니다. y=ax²에서 시작해 q만큼 위로, p만큼 옆으로 옮기는 평행이동의 규칙 한 줄이 4·6·13번을 동시에 해결합니다.

20번은 답을 직접 쓰지만 난이도는 하입니다. 함숫값 대입 한 번으로 끝나니 서술형 구간에서 먼저 처리해 두세요.

5. 이차함수의 그래프와 부호·범위 (12·14·17번) — 3문항

12번 중 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건, 14번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프와 a, b, c의 부호, 17번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프에서 증가·감소하는 범위.

14번의 부호 판정은 감으로 고르면 틀립니다. a는 그래프가 위로 볼록인지 아래로 볼록인지, c는 y절편의 부호, b는 축의 위치와 a의 부호를 함께 본다 — 이 세 줄을 순서대로 확인하세요.

17번의 증가·감소 범위는 축의 방정식만 정확히 구하면 끝납니다. 표준형 변형이 여기서 또 쓰입니다.

6. 이차함수의 식 구하기와 평행이동 (11·21번) — 2문항

11번 중 이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때, 21번 중 y=ax²+bx+c의 그래프의 평행이동.

꼭짓점을 알면 y=a(x-p)²+q로 놓고 나머지 한 점을 대입한다. 11번은 이 절차 그대로입니다.

21번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 평행이동은 x에 (x-m), y에 (y-n)을 넣는 규칙인데, 부호를 반대로 넣는 실수가 가장 잦습니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 4문항

15번 상 (이차방정식의 한 근이 문자로 주어졌을 때, 식의 값 구하기) — 근을 대입해 얻은 관계식을 그대로 쓰는 것이 핵심입니다. 근을 직접 구하려 들면 무리수 계산에 빠집니다.

16번 상 (이차방정식의 근이 정수가 될 조건) — 근의 공식을 쓴 뒤 근호 안이 완전제곱수가 되어야 한다는 조건으로 범위를 좁히는 문항입니다. 조건을 세운 다음 가능한 값을 나열하는 과정이 길어 시간을 많이 씁니다.

14번 중상 (a, b, c의 부호) — 부호 조합을 세 번 판정해야 해서 하나만 틀려도 답이 바뀝니다.

17번 중상 (증가·감소하는 범위) — 축을 기준으로 방향이 갈린다는 것, 그리고 아래로 볼록인지 위로 볼록인지에 따라 증가·감소가 뒤집힌다는 것을 같이 봐야 합니다.

19번 중상 (활용; 원) — 식 세우기가 관문입니다.

22번 중상 (활용; 좌표평면 위의 도형의 넓이) — 답을 직접 쓰는 마지막 문항이고, 두 단원이 결합된 복합형입니다.

상원중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 두 근으로 이차방정식 복원하기 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 인수분해를 이용한 풀이 — 2번은 물론 9·15·19번의 마무리 도구.
3. 중근을 가질 조건 — 9번 대비.
4. 근의 공식 — 7번 대비, 그리고 16번의 뿌리.
5. 완전제곱식으로 고쳐 풀기 — 18번 대비. 서술형이니 과정을 쓰는 연습까지.
6. 한 근이 무리수일 때 미지수 구하기 — 3번 대비.
7. ★ 한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값 — 15번 대비. 대입해 얻은 관계식을 활용.
8. ★ 근이 정수가 될 조건 — 16번 대비. 근호 안이 완전제곱수.
9. 원 관련 활용 — 19번 대비. 반지름을 미지수로.
10. y=ax², y=ax²+q, y=a(x-p)², y=a(x-p)²+q의 평행이동 — 4·6·13번 대비. 확보 구간.
11. y=ax²의 그래프의 성질과 식 구하기 — 5·10번 대비.
12. 이차함수의 함숫값 — 20번 대비. 서술형 중 가장 쉬운 문항.
13. ★ y=ax²+bx+c를 표준형으로 변형 — 12·17·21·22번을 관통하는 최중요 절차.
14. 꼭짓점과 한 점으로 식 구하기 — 11번 대비.
15. a, b, c의 부호 판정 — 14번 대비.
16. 증가·감소하는 범위 — 17번 대비. 축이 기준.
17. 그래프의 평행이동(서술형) — 21번 대비. 부호 주의.
18. 좌표평면 위의 도형의 넓이 — 22번 대비. 절편 먼저, 넓이 나중.

자주 나오는 질문

상원중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~17번은 선택형이고, 18~22번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 11 이차함수의 그래프 (1)이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 08 이차방정식의 풀이 (1) 5문항, 10 이차방정식의 활용 4문항, 12 이차함수의 그래프 (2) 4문항, 09 이차방정식의 풀이 (2) 2문항 순입니다. 대단원으로 묶으면 이차방정식 11문항, 이차함수 11문항으로 정확히 반반입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15·16번 두 문항입니다. 15번은 한 근이 문자로 주어졌을 때 식의 값을 구하는 유형, 16번은 근이 정수가 될 조건을 찾는 유형입니다. 둘이 나란히 붙어 있어서 이 구간에서 시간이 크게 갈립니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

이차방정식의 활용부터입니다. 4문항(3·16·19·22번)인데 하 난이도가 하나도 없어서 점수를 가장 많이 잃는 곳입니다. 반대로 이차함수 기초 그래프(4·5·6·13·20번)는 하 난이도가 많으니 먼저 훑어 확보해 두세요.

서술형은 어떤 문항이 나오나요?

18~22번 다섯 문항입니다. 18번 완전제곱식 풀이(중), 19번 원 활용(중상), 20번 함숫값(하), 21번 그래프의 평행이동(중), 22번 좌표평면 도형의 넓이(중상)입니다. 20번이 가장 쉬우니 서술형 구간에 들어가면 20번부터 처리하는 것도 방법입니다.

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