나루고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
나루고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 나루고 2-2 중간 수학2의 가장 뚜렷한 특징은 함수의 극한 단원 하나에서 9문항(45%) 이 나왔다는 점, 그리고 "다항함수의 결정"이 다섯 문항에 반복됐다는 점입니다. 반대로 도함수의 활용은 5번 한 문항뿐이었습니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 7 / 상 2
- 배치 단원: 01 함수의 극한 9 / 03 미분계수와 도함수 6 / 02 함수의 연속 4 / 05 도함수의 활용 (2) 1
- 최다 반복 유형: 다항함수의 결정 5회(7·15·17·18·19번)
- 상 2문항(17·18번)이 모두 함수의 극한
나루고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
나루고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태이고, 20번은 소문항 두 개로 나뉘어 있습니다.
배치는 난이도순입니다. 1~4번 하, 5~10번 중, 11~16번 중상, 17·18번 상으로 한 단계씩 올라가고, 서술형 19번(중)과 20번(중상)이 뒤에 붙습니다. 대신 단원은 번호 순서와 상관없이 섞여 있습니다.
대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 13문항(65%), 다항함수의 미분법 7문항(35%) 입니다. 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)은 0문항, 도함수의 활용 (2)는 5번 1문항입니다. 시험 대비의 무게중심은 극한·연속·미분계수에 있었습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 7 + 상 2
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·3·4 |
| 중 | 7 | 35% | 5·6·7·8·9·10·19 |
| 중상 | 7 | 35% | 11·12·13·14·15·16·20 |
| 상 | 2 | 10% | 17·18 |
중상 이상이 9문항(45%) 입니다. 선택형만 보면 11번부터 18번까지 여덟 문항이 전부 중상 이상이라, 10번까지를 얼마나 빨리 끝내느냐가 관건입니다.
서술형 두 문항은 중(19번)과 중상(20번) 입니다. 상 문항보다 쉬우니 서술형 답안을 먼저 확보한 뒤 17·18번에 남은 시간을 쓰는 순서도 고려할 만합니다.
같은 범위로 치른 화성시 고등학교 가운데 동탄중앙고는 상 1문항, 반송고는 상 2문항, 병점고는 상 4문항이었습니다. 나루고는 상 2문항입니다.
출제 단원 — 함수의 극한 9문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 9 | 45% | 1·4·7·10·15·17·18·19·20 |
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 30% | 2·3·6·12·13·14 |
| 02 함수의 연속 | 4 | 20% | 8·9·11·16 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 5% | 5 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 0 | 0% | — |
함수의 극한 9문항에 상 2문항(17·18번)과 서술형 2문항(19·20번)이 모두 들어 있습니다. 이 단원이 곧 이 시험의 성패입니다.
미분계수와 도함수 6문항 중에서는 12·13·14번 세 문항이 연속으로 중상입니다. 함수의 연속 4문항은 8·9번(중)과 11·16번(중상)으로 나뉩니다.
같은 범위로 치른 화성시 4개교 중 함수의 극한 문항이 가장 많고(9문항), 도함수의 활용 문항이 가장 적은(1문항) 학교가 나루고입니다.
시그니처 유형 — "다항함수의 결정" 5회
이 시험을 관통하는 유형은 극한값 조건으로 다항함수 f(x)를 찾아내는 문제입니다.
다항함수의 결정이 7·15·17·18·19번 다섯 문항에 쓰였습니다. 그중 7·15·18번은 ∞/∞ 꼴의 극한과 짝을 이뤄 세 번 반복됐는데, 난이도가 7번 중 → 15번 중상 → 18번 상으로 올라갑니다. 서술형 19번(중)도 다항함수의 결정에 미정계수의 결정이 결합된 형태입니다.
풀이의 뼈대는 두 줄입니다.
- x→∞ 극한 조건이 주어지면 차수와 최고차항의 계수를 정합니다.
- x→a 극한에서 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0이므로 f(a)=0, 즉 f(x)가 (x−a)를 인수로 가집니다.
이 두 조건을 조합해 f(x)를 세우는 연습이 곧 17·18·19번 대비입니다.
그 밖에 두 번씩 겹친 유형은 다음과 같습니다.
- 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (x→a 꼴) — 6·13번
- 미정계수의 결정 — 9·19번
- 미분법의 공식 — 13·18번
- 치환을 이용한 극한값의 계산 — 14·15번
- 미정계수의 결정 (응용) — 17·20번
14번과 15번을 함께 보세요. 14번은 미분계수 단원, 15번은 함수의 극한 단원인데 둘 다 치환을 이용한 극한값 계산이 들어간 중상입니다. 단원이 달라도 변수를 바꿔 익숙한 꼴로 만드는 기술이 공통으로 필요합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (1·4·7·10·15·17·18·19·20번) — 9문항
1번 하 0/0 꼴의 극한; 유리식, 4번 하 함수의 극한의 대소 관계, 7번 중 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴, 10번 중 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이, 15번 중상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴 · 치환을 이용한 극한값, 17번 상 미정계수의 결정 (응용) · 다항함수의 결정, 18번 상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴 · 미분법의 공식, 19번 중(서술형) 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 20번 중상(서술형) 함수의 극한값의 존재 · 미정계수의 결정 (응용).
1번 유리식 0/0 꼴은 인수분해 후 약분, 4번 대소 관계는 양쪽 극한값이 같으면 가운데도 같다는 성질입니다. 둘 다 확보 구간입니다.
10번 도형의 길이와 넓이는 보통 점이 움직일 때 길이나 넓이를 식으로 세운 뒤 극한을 취하는 유형입니다. 식 세우기가 절반입니다.
20번 서술형은 함수의 극한값의 존재를 묻습니다. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다는 조건을 식으로 쓰고, 그 과정을 답안에 빠짐없이 적어야 부분 점수를 지킬 수 있습니다.
2. 미분계수와 도함수 (2·3·6·12·13·14번) — 6문항
2번 하 곱의 미분법, 3번 하 접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정 · 접선의 방정식, 6번 중 미분계수를 이용한 극한값 (x→a 꼴) · 미분계수의 기하적 의미, 12번 중상 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 도함수의 정의, 13번 중상 미분계수를 이용한 극한값 (x→a 꼴) · 미분법의 공식, 14번 중상 미분계수를 이용한 극한값 (h→0 꼴) · 치환을 이용한 극한값.
2번 곱의 미분법 {f(x)g(x)}′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) 와 3번 접선의 기울기 = f′(a) 는 반드시 맞혀야 하는 하 문항입니다.
12번 항등식이 주어질 때 도함수 구하기는 보통 f(x+y) 꼴 항등식에서 0을 대입해 f(0)을 먼저 구하고, 도함수의 정의식에 항등식을 넣어 정리하는 유형입니다.
13·14번은 미분계수의 정의를 변형한 극한입니다. 분자와 분모의 증분이 같은 꼴이 되도록 맞추는 것이 핵심이고, 이것이 흔들리면 두 문항을 함께 잃습니다.
3. 함수의 연속 (8·9·11·16번) — 4문항
8번 중 사잇값 정리; 실근의 개수 · 실근이 존재하는 구간, 9번 중 (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 미정계수의 결정, 11번 중상 함수가 연속일 조건 (응용), 16번 중상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 함수의 그래프와 연속.
8번 사잇값 정리는 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 적어도 하나 있다는 성질입니다.
16번이 연속 파트의 고비입니다. 교점의 개수로 정의된 함수는 개수가 바뀌는 지점에서 불연속이 됩니다. 보통 그 불연속을 곱하는 함수가 0이 되도록 메워 주는 구조로 풉니다.
4. 도함수의 활용 (5번) — 1문항
5번 중 함수의 최대·최소 · 최대·최소 정리.
도함수의 활용 단원에서 나온 유일한 문항입니다. 닫힌구간에서의 최대·최소는 극값과 구간 양 끝의 함숫값을 모두 비교하는 절차가 기본입니다.
주의 문항 — 중상 7문항 + 상 2문항
11번 중상 (함수가 연속일 조건 응용) — 좌극한·우극한·함숫값 세 개를 모두 맞춰야 합니다.
12번 중상 (항등식이 주어질 때 도함수) — 도함수의 정의를 이용하는 유형과 결합됐습니다.
13번 중상 · 14번 중상 (미분계수를 이용한 극한값) — 정의식 변형이 핵심입니다.
15번 중상 (다항함수의 결정 · 치환) — 다항함수의 결정에 치환을 이용한 극한값 계산이 결합됐습니다.
16번 중상 (교점의 개수로 정의된 함수) — 불연속점을 찾는 그래프 해석이 먼저입니다.
17번 상 (미정계수의 결정 응용) — 다항함수의 결정과 결합된 이 시험의 최고 난도 중 하나입니다.
18번 상 (다항함수의 결정 · 미분법의 공식) — ∞/∞ 꼴 극한과 미분법의 공식까지 세 유형이 얽혔습니다.
20번 중상 서술형 (함수의 극한값의 존재) — 좌극한·우극한 비교 과정을 답안에 적어야 합니다.
아홉 문항 중 네 문항(15·17·18·20번)이 함수의 극한 단원이고, 나머지는 미분계수와 도함수 3문항(12·13·14번), 함수의 연속 2문항(11·16번)입니다. 극한 단원의 응용 유형을 끝까지 파는 것이 상위권 전략입니다.
나루고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 0/0 꼴(유리식), 극한의 대소 관계 — 1·4번 대비. 확보 구간.
- 곱의 미분법과 접선의 기울기 — 2·3번 대비. 확보 구간.
- ★ 다항함수의 결정 (x→∞, x→a 조건) — 7·15·17·18·19번을 관통하는 시그니처.
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 7·15·18번의 공통 재료.
- 미정계수의 결정과 응용 — 9·17·19·20번 대비.
- 함수의 극한값의 존재 (좌극한·우극한) — 20번 서술형 대비.
- 함수의 극한의 활용 (도형) — 10번 대비.
- 사잇값 정리 — 8번 대비.
- 함수가 연속일 조건, (x−a)f(x) 꼴의 연속 — 9·11번 대비.
- 교점의 개수로 정의된 함수의 연속 — 16번 대비.
- ★ 미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산 — 6·13·14번 대비.
- 치환을 이용한 극한값 계산 — 14·15번 대비.
- 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 12번 대비.
- 닫힌구간에서 함수의 최대·최소 — 5번 대비.
자주 나오는 질문
나루고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
도함수의 활용은 얼마나 나왔나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)에서 5번 한 문항입니다. 도함수의 활용 (1)은 나오지 않았습니다. 출제 비중은 함수의 극한 9문항, 미분계수와 도함수 6문항, 함수의 연속 4문항 순입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 17·18번 두 문항이고 둘 다 함수의 극한 단원입니다. 17번은 미정계수의 결정 응용, 18번은 다항함수의 결정에 미분법의 공식이 결합된 문항입니다. 바로 앞 11~16번도 전부 중상입니다.
서술형은 어떤 유형인가요?
19번(중)은 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 20번(중상)은 함수의 극한값의 존재 · 미정계수의 결정 (응용) 입니다. 두 문항 모두 함수의 극한 단원입니다.
어떤 단원부터 공부해야 하나요?
함수의 극한, 그중에서도 다항함수의 결정부터입니다. 다섯 문항에 쓰였고 상 2문항과 서술형 1문항이 여기에 걸려 있습니다. 그다음이 미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산입니다.
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