동탄중앙고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
동탄중앙고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 동탄중앙고 2-2 중간 수학2의 가장 뚜렷한 특징은 네 단원(함수의 극한·함수의 연속·미분계수와 도함수·도함수의 활용 (1))이 정확히 5문항씩 나눠 가졌다는 점입니다. 상 난이도는 16번 한 문항이지만 중상이 8문항이라, 체감 난도는 결코 낮지 않습니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 8 / 상 1
- 배치 단원: 01 함수의 극한 5 / 02 함수의 연속 5 / 03 미분계수와 도함수 5 / 04 도함수의 활용 (1) 5
- 최다 반복 유형: ∞/∞ 꼴의 극한 3회(8·11·19번), 평균값 정리 2회(6·13번)
- 11번부터 20번까지 12번 하나를 빼면 전부 중상 이상
동탄중앙고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
동탄중앙고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 10문항, 다항함수의 미분법 10문항으로 정확히 반반입니다. 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)은 5문항, 도함수의 활용 (2)는 0문항입니다. 증가·감소나 극대·극소 단원 문항은 없었다는 뜻입니다.
단원은 번호 순서와 상관없이 섞여 있습니다. 2번(접선의 기울기)과 3번(미분법의 공식) 처럼 미분 문항이 앞쪽에 먼저 나오고, 함수의 연속 문항은 7번부터 16번 사이에 흩어져 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항, 상 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·3·4 |
| 중 | 7 | 35% | 5·6·7·8·9·10·12 |
| 중상 | 8 | 40% | 11·13·14·15·17·18·19·20 |
| 상 | 1 | 5% | 16 |
1~4번 하, 5~10번 중까지는 난이도가 차례로 올라갑니다. 그런데 11번부터는 12번(중) 하나를 제외하고 모두 중상 이상입니다. 시험지 후반 열 문항 중 아홉 문항이 중상 이상인 셈입니다.
서술형 19·20번은 둘 다 중상입니다. 선택형 뒷부분에서 시간을 다 쓰면 서술형 두 문항을 동시에 놓칠 수 있습니다.
같은 범위로 치른 화성시 고등학교 가운데 나루고·반송고는 상 2문항, 병점고는 상 4문항이었습니다. 네 학교 중 동탄중앙고가 상 문항이 가장 적지만(1문항), 중상은 8문항입니다.
출제 단원 — 네 단원이 5문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 5 | 25% | 1·4·8·11·19 |
| 02 함수의 연속 | 5 | 25% | 7·9·14·15·16 |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 25% | 3·5·10·12·17 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 5 | 25% | 2·6·13·18·20 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 0 | 0% | — |
버릴 단원이 없는 완전 균등 배치입니다. 대신 단원마다 난이도 분포가 다릅니다.
- 함수의 연속 — 7·9번 중, 14·15번 중상, 16번 상. 유일한 상 문항이 여기 있습니다.
- 도함수의 활용 (1) — 2번 하, 6번 중, 13·18·20번 중상. 중상이 가장 많은 단원입니다.
- 함수의 극한 — 1·4번 하, 8번 중, 11·19번 중상.
- 미분계수와 도함수 — 3번 하, 5·10·12번 중, 17번 중상. 상대적으로 가장 수월합니다.
같은 범위로 치른 화성시 4개교 중 도함수의 활용 (1) 문항이 가장 많은 학교(5문항) 가 동탄중앙고입니다.
시그니처 유형 — "∞/∞ 꼴의 극한" 3회, "평균값 정리" 2회
∞/∞ 꼴의 극한이 8·11·19번 세 문항에 들어갔습니다. 8번은 ∞×0 꼴·0/0 꼴(무리식)과 묶인 중, 11번은 함수의 극한의 대소 관계와 묶인 중상, 19번은 서술형으로 원과 접선을 이용한 극한의 활용과 묶인 중상입니다. 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나누는 기본 조작이 세 문항 모두의 출발점입니다.
평균값 정리; 정의를 이용하는 경우는 6번(중)과 13번(중상) 에 반복됐습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하면 f′(c) = {f(b) − f(a)} / (b − a) 인 c가 구간 안에 존재한다는 정리입니다. 같은 유형이 두 번, 난이도를 올려 나왔으니 정리의 조건과 식을 정확히 쓰는 연습이 필요합니다.
그 밖에 두 번씩 겹친 유형은 다음과 같습니다.
- 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (x→a 꼴) — 5·10번
- 함수의 그래프와 연속 — 7·15번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (1·4·8·11·19번) — 5문항
1번 하 함수의 극한값 구하기, 4번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 8번 중 ∞/∞ 꼴 · ∞×0 꼴 · 0/0 꼴(무리식), 11번 중상 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴, 19번 중상(서술형) 함수의 극한의 활용; 원과 접선 · ∞/∞ 꼴.
4번은 그래프에서 x가 a보다 작은 쪽과 큰 쪽으로 다가갈 때의 값을 따로 읽는 문항입니다. 확보 구간입니다.
8번은 극한의 꼴 세 가지가 한 문항에 들어 있습니다. ∞/∞은 최고차항으로 나누기, ∞×0은 통분이나 유리화로 한 꼴 만들기, 무리식 0/0은 유리화가 기본입니다.
11번 대소 관계는 양쪽에서 끼운 두 함수의 극한값이 같으면 가운데 함수의 극한값도 같다는 성질에 ∞/∞ 계산이 결합됐습니다.
2. 함수의 연속 (7·9·14·15·16번) — 5문항
7번 중 함수의 그래프와 연속 · 최대·최소 정리 · 사잇값 정리, 9번 중 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 14번 중상 함수가 연속일 조건 (응용), 15번 중상 함수의 그래프와 연속 · 합성함수, 16번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속.
7번은 연속함수의 세 가지 성질(그래프, 최대·최소 정리, 사잇값 정리) 을 한꺼번에 묻습니다. 보기형으로 나오면 정리의 조건(닫힌구간, 연속)을 하나씩 확인해야 합니다.
15번 합성함수의 연속은 보통 그래프로 주어진 함수를 합성했을 때 연속인지 판단하는 유형입니다. 안쪽 함수의 값이 바깥 함수의 불연속점에 닿는지를 먼저 확인하세요.
16번 상은 이 시험의 최고 난도입니다. 교점의 개수로 정의된 함수는 개수가 바뀌는 지점에서 불연속이 되고, 보통 여기에 다른 함수를 곱해 그 불연속을 메워서 연속이 되도록 조건을 맞추는 구조입니다.
3. 미분계수와 도함수 (3·5·10·12·17번) — 5문항
3번 하 미분법의 공식, 5번 중 곱의 미분법 · 미분계수를 이용한 극한값 (x→a 꼴), 10번 중 미분계수를 이용한 극한값 (h→0 꼴 · x→a 꼴), 12번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기, 17번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 다항함수의 결정.
5·10번은 미분계수의 정의 변형입니다. lim {f(a+h) − f(a)}/h = f′(a), lim {f(x) − f(a)}/(x − a) = f′(a) 두 꼴을 자유롭게 오갈 수 있어야 합니다.
17번 미분가능성은 구간의 경계에서 ① 연속, ② 좌미분계수 = 우미분계수 두 조건을 모두 세우는 것이 정석입니다. 여기에 다항함수의 결정이 결합돼 중상입니다.
4. 도함수의 활용 (1) (2·6·13·18·20번) — 5문항
2번 하 접선의 기울기, 6번 중 평균값 정리, 13번 중상 평균값 정리, 18번 중상 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리 · 최대·최소의 활용(넓이) · 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용, 20번 중상(서술형) 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선의 방정식.
18번 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리는 주어진 직선과 기울기가 같은 접선의 접점에서 거리가 최소가 된다는 발상이 핵심입니다. 이 유형은 보통 그 거리를 삼각형의 높이로 써서 넓이의 최대·최소로 연결합니다.
20번 서술형 "접선이 곡선과 다시 만나는 점" 은 보통 곡선의 식에서 접선의 식을 뺀 식이 접점의 x좌표를 중근으로 가진다는 점으로 인수분해해 나머지 교점을 찾습니다. 서술형이니 접선의 방정식을 세우는 과정부터 빠짐없이 적으세요.
주의 문항 — 중상 8문항 + 상 1문항
11번 중상 (극한의 대소 관계 · ∞/∞) — 부등식 양쪽의 극한을 각각 계산해야 합니다.
13번 중상 (평균값 정리) — 6번과 같은 유형의 심화입니다.
14번 중상 (함수가 연속일 조건 응용) — 좌극한·우극한·함숫값을 모두 맞춰야 합니다.
15번 중상 (합성함수의 연속) — 그래프 해석이 먼저입니다.
16번 상 (교점의 개수로 정의된 함수) — 이 시험의 유일한 상입니다.
17번 중상 (미분가능성 · 다항함수의 결정) — 연속과 미분계수 두 조건을 함께 세웁니다.
18번 중상 (곡선 위의 점과 직선 사이의 거리) — 접선·거리·넓이 세 유형이 얽혔습니다.
19번 중상 서술형 (원과 접선 극한) — 도형 조건을 식으로 옮기는 과정을 적어야 합니다.
20번 중상 서술형 (접선이 곡선과 다시 만나는 점) — 접선의 방정식부터 교점까지 과정을 적어야 합니다.
아홉 문항이 네 단원에 고르게 흩어져 있습니다. 함수의 연속 3, 도함수의 활용 (1) 3, 함수의 극한 2, 미분계수와 도함수 1입니다. 한 단원만 깊게 파서는 막을 수 없는 시험입니다.
동탄중앙고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 극한값 구하기, 그래프로 좌극한·우극한 읽기 — 1·4번 대비. 확보 구간.
- 미분법의 공식과 접선의 기울기 — 2·3번 대비. 확보 구간.
- ★ ∞/∞ · ∞×0 · 무리식 0/0 꼴의 극한 — 8·11·19번 대비.
- 함수의 극한의 대소 관계 — 11번 대비.
- 원과 접선을 이용한 극한의 활용 — 19번 서술형 대비.
- 연속함수의 성질 (최대·최소 정리, 사잇값 정리) — 7·9번 대비.
- 함수가 연속일 조건과 합성함수의 연속 — 14·15번 대비.
- ★ 교점의 개수로 정의된 함수의 연속 — 16번(상) 대비.
- 미분계수의 정의를 이용한 극한값 — 5·10번 대비.
- 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 12번 대비.
- 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 17번 대비.
- ★ 평균값 정리 — 6·13번 대비.
- 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리 — 18번 대비.
- 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 20번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
동탄중앙고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
네 단원이 5문항씩 똑같습니다. 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1)입니다. 도함수의 활용 (2)(증가·감소, 극대·극소)는 0문항이었습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번 한 문항입니다. 교점의 개수로 정의된 함수와 두 함수의 곱의 연속을 묻습니다. 다만 중상이 8문항이고 11번 이후에 몰려 있어 후반부 전체가 고난도 구간입니다.
서술형은 어떤 유형인가요?
19번은 원과 접선을 이용한 함수의 극한의 활용 · ∞/∞ 꼴, 20번은 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선의 방정식입니다. 둘 다 중상입니다.
어떤 단원부터 공부해야 하나요?
단원 비중이 같으니 중상 이상이 많은 함수의 연속과 도함수의 활용 (1) 부터 잡는 편이 효율적입니다. 두 단원에 중상 이상 여섯 문항(13·14·15·16·18·20번)이 걸려 있습니다.
과년도 동탄중앙고 기출도 볼 수 있나요?
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