반송고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

반송고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 반송고 2-2 중간 수학2의 가장 뚜렷한 특징은 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 최다 단원이고, 상 2문항(16·17번)이 모두 이 단원이라는 점입니다. 여기에 중상이 9문항이라 중상 이상이 전체의 55%를 차지합니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번 선택형, 18~20번 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 5 / 중상 9 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 01 함수의 극한 4 / 02 함수의 연속 4 / 03 미분계수와 도함수 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2
• 최다 반복 유형: 다항함수의 결정 3회(12·15·18번) — 세 문항 모두 중상
• 10번 이후 11문항이 전부 중상 이상

반송고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

반송고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치는 완전한 난이도순입니다. 1~4번 하, 5~9번 중, 10~15번 중상, 16·17번 상, 그리고 서술형 18~20번이 모두 중상입니다. 앞 아홉 문항과 뒤 열한 문항의 난이도 차가 뚜렷하게 갈립니다.

대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 8문항(40%), 다항함수의 미분법 12문항(60%) 입니다. 배치 단원 기준으로 함수의 극한부터 도함수의 활용 (2)까지 다섯 단원이 모두 나왔고, 뒤쪽 미분 단원 비중이 더 큽니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9 + 상 2

중상 이상이 11문항(55%) 입니다. 하·중 아홉 문항은 1~9번에 모여 있으니, 9번까지는 실수 없이 빠르게 끝내고 10번 이후에 시간을 몰아 써야 합니다.

서술형 세 문항(18·19·20번)이 모두 중상입니다. 상 문항(16·17번)에서 오래 붙잡혀 있으면 서술형 세 문항을 한꺼번에 흘릴 수 있습니다. 서술형을 먼저 쓰고 16·17번으로 돌아오는 순서도 고려할 만합니다.

같은 범위로 치른 화성시 고등학교 가운데 나루고는 상 2문항, 동탄중앙고는 상 1문항, 병점고는 상 4문항이었습니다. 반송고는 상 2문항이지만 중상 이상 합계(11문항)는 네 학교 중 가장 많습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 6문항

도함수의 활용 (2)에서 6문항이 나왔고, 난이도는 7·8번 중 → 10·14번 중상 → 16·17번 상으로 가장 넓게 퍼져 있습니다. 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소를 모두 다룹니다.

반대로 미분계수와 도함수 4문항(2·3·5·6번)은 전부 하·중입니다. 이 단원은 확보 구간입니다.

같은 범위로 치른 화성시 4개교 중 도함수의 활용 문항((1)·(2) 합계)이 가장 많은 학교(8문항) 가 반송고입니다.

시그니처 유형 — "다항함수의 결정" 3회, "극대·극소로 미정계수 결정" 2회

다항함수의 결정이 12·15·18번 세 문항에 들어갔고, 세 문항 모두 중상입니다. 12번은 미정계수의 결정 (응용), 15번은 함수가 연속일 조건 (응용), 18번(서술형)은 항등식이 주어질 때 도함수 구하기와 결합됐습니다. 배치 단원으로는 함수의 극한(12·18번)과 함수의 연속(15번) 에 걸쳐 다항함수의 결정이 도구로 쓰인 셈입니다.

풀이의 뼈대는 다음 두 가지입니다.

• x→∞ 극한 조건에서 차수와 최고차항의 계수를 정합니다.
• x→a 극한에서 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0, 즉 f(a)=0입니다.

함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정은 10·14번에 반복됐습니다. 둘 다 중상입니다. 극값을 갖는 x에서 f′(x)=0이라는 조건과 극값 자체의 값을 연립하는 것이 기본입니다.

그 밖에 두 번씩 겹친 유형은 다음과 같습니다.

• 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 6·18번
• 함수의 최대·최소 — 8·17번

6번과 18번을 함께 보세요. 6번(중)에서 쓴 항등식이 주어질 때 도함수 구하기가 서술형 18번(중상)에서 다항함수의 결정과 결합돼 다시 나옵니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (7·8·10·14·16·17번) — 6문항

7번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 8번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 · 함수의 최대·최소, 10번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 함수의 극대·극소, 16번 상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 · 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 17번 상 함수의 극대·극소의 활용 · 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 함수의 최대·최소.

7번과 16번은 같은 뿌리입니다. 7번은 실수 전체에서 증가(또는 감소)하는 조건이라 f′(x) ≥ 0(또는 ≤ 0)이 모든 x에서 성립 → 이차식 f′(x)의 판별식 D ≤ 0이 기본입니다. 16번은 주어진 구간에서의 조건이라, 보통 판별식이 아니라 구간 양 끝에서 f′의 값과 그래프 위치를 따집니다. 16번에는 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건까지 결합돼 상으로 분류됐습니다.

17번 상은 극대·극소, 구간별 정의 함수의 미분가능성, 최대·최소까지 세 유형이 한 문항에 들어 있습니다. 구간의 경계에서 연속이면서 좌·우 미분계수가 같아야 한다는 조건을 먼저 세우고 들어가는 것이 정석입니다.

2. 함수의 극한 (1·4·12·18번) — 4문항

1번 하 0/0 꼴의 극한; 무리식, 4번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 12번 중상 미정계수의 결정 (응용) · 다항함수의 결정, 18번 중상(서술형) 다항함수의 결정 · 항등식이 주어질 때 도함수 구하기.

1번 무리식 0/0 꼴은 유리화, 4번은 그래프에서 좌극한과 우극한을 따로 읽기입니다. 둘 다 확보 구간입니다.

3. 함수의 연속 (9·11·15·19번) — 4문항

9번 중 함수가 연속일 조건 · 함수의 그래프와 연속, 11번 중상 [x] 꼴을 포함한 함수의 연속, 15번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 다항함수의 결정, 19번 중상(서술형) 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속.

11번 [x] 꼴(가우스 기호) 은 정수 지점에서 좌극한과 우극한이 달라질 수 있다는 점이 핵심입니다. 경계가 되는 정수에서 세 값(좌극한·우극한·함숫값)을 따로 계산하세요.

19번 서술형의 교점의 개수로 정의된 함수 유형은 보통 불연속점을 먼저 찾고, 곱해진 함수가 그 불연속을 메워 연속이 되도록 조건을 세웁니다. 여기에 (x−a)f(x) 꼴의 연속이 함께 결합된 문항입니다.

4. 미분계수와 도함수 (2·3·5·6번) — 4문항, 하·중만

2번 하 평균변화율, 3번 하 미분법의 공식, 5번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (x→a 꼴), 6번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 항등식에서 미분법의 활용.

이 단원 네 문항에는 중상 이상이 없습니다. 평균변화율 {f(b) − f(a)}/(b − a), 미분계수의 정의, 미분법 공식을 정확히 쓰면 네 문항을 모두 확보할 수 있습니다.

5. 도함수의 활용 (1) (13·20번) — 2문항, 둘 다 중상

13번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 최대·최소의 활용; 넓이, 20번 중상(서술형) 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 치환을 이용한 극한값의 계산.

13번은 접선의 방정식 y − f(a) = f′(a)(x − a)를 세운 뒤, 보통 접선이 만드는 도형의 넓이를 식으로 세워 최대·최소를 따지는 흐름입니다.

20번 서술형 평균값 정리는 f′(c) = {f(b) − f(a)}/(b − a) 를 쓰는 유형에 치환을 이용한 극한값 계산이 결합돼 있습니다. 정리의 조건(닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능)을 답안에 명시하는 습관이 필요합니다.

주의 문항 — 중상 9문항 + 상 2문항

10번 중상 · 14번 중상 (극대·극소로 미정계수 결정) — f′=0 조건과 극값 조건을 연립합니다.

11번 중상 ([x] 꼴 함수의 연속) — 정수 경계에서 좌·우극한을 따로 계산합니다.

12번 중상 (미정계수의 결정 응용) — 다항함수의 결정이 결합됐습니다.

13번 중상 (접선의 방정식 · 넓이의 최대·최소) — 접선과 최적화가 이어집니다.

15번 중상 (연속일 조건 응용 · 다항함수의 결정) — 연속 조건과 다항함수의 결정이 결합됐습니다.

16번 상 (주어진 구간에서 증가·감소 조건) — 7번의 심화형입니다.

17번 상 (극대·극소의 활용 · 미분가능성 · 최대·최소) — 세 유형이 결합된 이 시험의 최고 난도입니다.

18·19·20번 중상 서술형 — 다항함수의 결정, 교점의 개수로 정의된 함수의 연속, 평균값 정리입니다.

열한 문항 중 네 문항(10·14·16·17번)이 도함수의 활용 (2) 이고, 연속 3문항(11·15·19번), 극한 2문항(12·18번), 도함수의 활용 (1) 2문항(13·20번)이 뒤를 잇습니다.

반송고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 무리식 0/0 꼴, 그래프로 좌·우극한 읽기 — 1·4번 대비. 확보 구간.
2. 평균변화율, 미분법 공식, 미분계수의 정의 — 2·3·5번 대비. 확보 구간.
3. 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 6번, 그리고 18번 서술형까지 연결.
4. ★ 다항함수의 결정 — 12·15·18번 대비. 세 문항 모두 중상.
5. 함수가 연속일 조건, [x] 꼴 함수의 연속 — 9·11·15번 대비.
6. 교점의 개수로 정의된 함수와 (x−a)f(x) 꼴의 연속 — 19번 서술형 대비.
7. 접선의 방정식과 넓이의 최대·최소 — 13번 대비.
8. 평균값 정리 — 20번 서술형 대비.
9. 실수 전체에서 삼차함수가 증가·감소할 조건 (판별식) — 7번 대비.
10. ★ 주어진 구간에서 증가·감소할 조건 — 16번(상) 대비. 7번과 비교하며 학습.
11. ★ 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 10·14번 대비.
12. 닫힌구간에서 최대·최소, 최대·최소로 미정계수 결정 — 8번 대비.
13. ★ 극대·극소의 활용 + 구간별 함수의 미분가능성 — 17번(상) 대비.

자주 나오는 질문

반송고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 함수의 극한·함수의 연속·미분계수와 도함수가 각 4문항, 도함수의 활용 (1)이 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16·17번 두 문항이고 둘 다 도함수의 활용 (2)입니다. 16번은 주어진 구간에서 삼차함수가 증가·감소할 조건, 17번은 극대·극소의 활용에 미분가능성과 최대·최소가 결합된 문항입니다.

서술형은 어떤 유형인가요?

18번은 다항함수의 결정 · 항등식이 주어질 때 도함수, 19번은 교점의 개수로 정의된 함수의 연속 · (x−a)f(x) 꼴의 연속, 20번은 평균값 정리 · 치환을 이용한 극한값입니다. 세 문항 모두 중상이고 단원이 모두 다릅니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

도함수의 활용 (2)부터입니다. 6문항으로 가장 많고 상 2문항이 여기에 있습니다. 그다음은 세 문항에 쓰인 다항함수의 결정입니다. 미분계수와 도함수 단원은 하·중만 나왔으니 공식 점검으로 확보하세요.

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