병점고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

병점고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 병점고 2-2 중간 수학2의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 4문항(17·18·20·21번) 이라는 점, 그리고 17번부터 22번까지 여섯 문항이 전부 중상 이상이라는 점입니다. 출제는 함수의 극한 8문항, 미분계수와 도함수 8문항에 집중됐고, 도함수의 활용은 3·4번 두 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 분석표 정답 기록상 전 문항 선택형
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 6 / 상 4
• 배치 단원: 01 함수의 극한 8 / 03 미분계수와 도함수 8 / 02 함수의 연속 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2
• 최다 반복 유형: 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 4회(7·13·18·19번)
• 가장 까다로운 구간: 17~22번 — 상 4 + 중상 2

병점고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

병점고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 분석표 정답 기록을 보면 22문항 모두 선택지 번호로 기록돼 있습니다.

대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 12문항, 다항함수의 미분법 10문항입니다. 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)은 3·4번 2문항, 도함수의 활용 (2)는 0문항입니다. 증가·감소, 극대·극소 단원 문항은 없었습니다.

단원은 번호 순서와 상관없이 섞여 있습니다. 대신 난이도는 1~3번 하, 4~10번 중까지 차례로 올라가고, 11번 이후 12문항 중 10문항이 중상 이상입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항

상 4문항에 중상 6문항, 합쳐 10문항(45%)이 중상 이상입니다. 하 난이도는 1·2·3번 세 문항뿐입니다.

11번 이후에서 중 난이도는 14·15번 두 문항만 남아 있습니다. 11~13번 중상 세 문항 뒤에 14·15번이 잠깐 쉬어 가는 구간이고, 16번부터 22번까지는 다시 중상·상이 이어집니다. 14·15번을 놓치지 않는 것이 중위권의 핵심입니다.

같은 범위로 치른 화성시 고등학교 가운데 나루고·반송고는 상 2문항, 동탄중앙고는 상 1문항이었습니다. 네 학교 중 병점고가 문항 수(22문항)도, 상 문항(4문항)도 가장 많습니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수가 8문항씩

상 4문항은 함수의 극한 2(17·20번), 미분계수와 도함수 1(18번), 함수의 연속 1(21번) 로 나뉩니다. 도함수의 활용 두 문항(3번 하, 4번 중)은 확보 구간입니다.

함수의 극한 8문항은 12·22번 중상, 17·20번 상으로 네 문항이 중상 이상이고, 나머지 1·8·9·15번은 하·중입니다. 미분계수와 도함수 8문항은 13·19번 중상, 18번 상으로 세 문항이 중상 이상입니다.

시그니처 유형 — "구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성" 4회

이 시험을 관통하는 개념은 미분가능성입니다.

구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 7·13·18·19번 네 문항에 쓰였고, 그중 13·18·19번에는 미분가능성과 연속성이 함께 붙어 있습니다. 난이도는 7번 중 → 13번 중상 → 18번 상 → 19번 중상입니다.

뼈대는 두 문장입니다.

• 구간의 경계 x = a에서 미분가능하려면 ① x = a에서 연속, ② 좌미분계수 = 우미분계수 두 조건이 모두 필요합니다.
• 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아닙니다. 보기형 문항에서 이 방향을 헷갈리면 틀립니다.

극한 쪽에서는 함수의 극한값의 존재가 17·20·22번, 미정계수의 결정 (응용) 이 12·20·22번에 세 번씩 나왔습니다. 20번(상)과 22번(중상)은 이 두 유형이 똑같이 겹친 문항입니다.

그 밖에 반복된 유형은 다음과 같습니다.

• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (x→a 꼴) — 5·6·10번
• 다항함수의 결정 — 9·12·22번
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 1·9번
• 곱의 미분법 — 2·10번
• 개수 세기형 계단함수의 극한 — 15·17번
• 함수가 연속일 조건 (응용) — 16·21번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·8·9·12·15·17·20·22번) — 8문항

1번 하 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴, 8번 중 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · 0/0 꼴(무리식), 9번 중 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴, 12번 중상 미정계수의 결정 (응용) · ∞−∞ 꼴 · 다항함수의 결정, 15번 중 함수의 극한의 활용 · 개수 세기형 계단함수의 극한, 17번 상 개수 세기형 계단함수의 극한 · 함수의 극한값의 존재, 20번 상 함수의 극한값의 존재 · 미정계수의 결정 (응용), 22번 중상 미정계수의 결정 (응용) · 함수의 극한값의 존재 · 다항함수의 결정.

15번과 17번의 "개수 세기형 계단함수" 는 보통 t의 값에 따라 교점이나 실근의 개수를 세어 정의한 함수입니다. 값이 정수로 뚝뚝 끊기므로 개수가 바뀌는 경계에서 좌극한과 우극한을 따로 구해야 합니다. 15번(중)으로 익히고 17번(상)에서 극한값의 존재까지 판단하는 흐름입니다.

12번 ∞−∞ 꼴은 무리식이면 유리화, 분수식이면 통분이 기본입니다. 여기에 미정계수 결정이 붙어 중상입니다.

20·22번은 함수의 극한값이 존재하도록 미정계수를 정하는 유형입니다. 좌극한 = 우극한 조건, 그리고 분모 → 0이면 분자 → 0 조건을 식으로 세워 미정계수를 구합니다.

2. 미분계수와 도함수 (2·5·6·7·10·13·18·19번) — 8문항

2번 하 곱의 미분법, 5번 중 미분계수를 이용한 극한값 (h→0 꼴 · x→a 꼴) · 치환을 이용한 극한값, 6번 중 평균변화율과 미분계수 · 미분계수를 이용한 극한값 (x→a 꼴), 7번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 10번 중 곱의 미분법 · 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 · 미분계수를 이용한 극한값, 13번 중상 미분가능성 · 미분가능성과 연속성, 18번 상 미분가능성 · 미분가능성과 연속성, 19번 중상 미분가능성과 연속성 · 구간별 함수의 미분가능성.

5·6·10번은 미분계수의 정의 변형입니다. lim {f(a+h) − f(a)}/h = f′(a)와 lim {f(x) − f(a)}/(x − a) = f′(a)를 증분을 맞춰 가며 자유롭게 바꿀 수 있어야 세 문항이 풀립니다.

10번은 곱의 미분법 {f(x)g(x)}′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) 에 미분계수 조건이 결합돼 있습니다. 2번(하)의 공식이 10번(중)의 재료입니다.

13·18·19번은 미분가능성 세트입니다. 세 문항 모두 중상 이상이고, 18번이 상입니다. 경계점에서 연속 조건과 미분계수 조건을 두 개의 식으로 세워 연립하는 연습을 반복하세요.

3. 함수의 연속 (11·14·16·21번) — 4문항

11번 중상 함수의 그래프와 연속 · 좌극한과 우극한 (그래프) · 함수가 연속일 조건, 14번 중 (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 미정계수의 결정, 16번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 사잇값 정리, 21번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 연속함수의 성질.

11번은 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 읽어 연속 여부를 판단하는 문항입니다.

14번 (x−a)f(x) 꼴은 x = a에서의 극한값과 함숫값을 맞추는 방식으로 미정계수를 구합니다. 연속 파트의 유일한 중 난이도라 확보해야 합니다.

21번 상은 연속 조건 응용에 연속함수의 성질(합·차·곱·몫의 연속) 이 결합됐습니다. 이 유형은 보통 두 함수 중 하나가 불연속이어도 곱은 연속일 수 있는 경우를 따집니다.

4. 도함수의 활용 (1) (3·4번) — 2문항

3번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 4번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우.

접선의 방정식 y − f(a) = f′(a)(x − a) 와 평균값 정리 f′(c) = {f(b) − f(a)}/(b − a) 만 정확하면 되는 확보 구간입니다.

주의 문항 — 중상 6문항 + 상 4문항

11번 중상 (그래프와 연속) — 좌극한·우극한·함숫값을 그래프에서 모두 읽어야 합니다.

12번 중상 (∞−∞ · 미정계수 결정) — ∞−∞ 꼴에 미정계수 결정과 다항함수의 결정이 결합됐습니다.

13번 중상 · 19번 중상 (미분가능성과 연속성) — 경계점 조건 두 개를 연립합니다.

16번 중상 (연속일 조건 응용 · 사잇값 정리) — 연속 조건과 실근 존재를 함께 판단합니다.

17번 상 (개수 세기형 계단함수의 극한) — 개수가 바뀌는 경계에서 좌·우극한을 따로 구합니다.

18번 상 (구간별 함수의 미분가능성) — 미분가능성 세트 중 최고 난도입니다.

20번 상 (극한값의 존재 · 미정계수 결정 응용) — 22번과 같은 유형 조합입니다.

21번 상 (연속함수의 성질) — 연속 조건 응용에 연속함수의 성질이 결합됐습니다.

22번 중상 (미정계수 결정 응용 · 다항함수의 결정) — 마지막 문항까지 극한 응용입니다.

열 문항이 극한 4(12·17·20·22번), 미분계수 3(13·18·19번), 연속 3(11·16·21번) 으로 나뉩니다. 도함수의 활용에는 중상 이상이 한 문항도 없습니다.

병점고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 극한의 대소 관계, ∞/∞ 꼴 — 1·9번 대비.
2. 곱의 미분법, 접선의 방정식, 평균값 정리 — 2·3·4번 대비. 확보 구간.
3. ★ 미분계수의 정의를 이용한 극한값 — 5·6·10번 대비.
4. 평균변화율과 미분계수 — 6번 대비.
5. 함수의 극한의 활용 (도형), 무리식 0/0 꼴 — 8번 대비.
6. 다항함수의 결정 — 9·12·22번 대비.
7. ∞−∞ 꼴과 미정계수의 결정 — 12번 대비.
8. (x−a)f(x) 꼴의 연속 — 14번 대비. 확보 구간.
9. 그래프로 연속 판단하기 — 11번 대비.
10. 개수 세기형 계단함수의 극한 — 15·17번 대비.
11. ★ 구간별 함수의 미분가능성, 미분가능성과 연속성 — 7·13·18·19번을 관통하는 시그니처.
12. 함수가 연속일 조건 응용과 사잇값 정리 — 16번 대비.
13. ★ 극한값의 존재와 미정계수 결정 (응용) — 17·20·22번 대비.
14. 연속함수의 성질 (합·차·곱·몫) — 21번 대비.

자주 나오는 질문

병점고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 분석표 정답 기록상 22문항 모두 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한과 미분계수와 도함수가 각 8문항으로 가장 많습니다. 함수의 연속 4문항, 도함수의 활용 (1) 2문항이 뒤를 잇고, 도함수의 활용 (2)는 0문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 4문항(17·18·20·21번) 입니다. 17번은 개수 세기형 계단함수의 극한, 18번은 구간별 함수의 미분가능성, 20번은 극한값의 존재와 미정계수 결정, 21번은 연속함수의 성질입니다. 네 문항이 극한·미분·연속 세 단원에 흩어져 있습니다.

미분가능성은 얼마나 중요한가요?

구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 7·13·18·19번 네 문항에 쓰였습니다. 그중 세 문항이 중상 이상이고 18번은 상입니다. 이 시험에서 가장 많이 반복된 유형입니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

미분가능성과 극한값의 존재부터입니다. 두 유형이 상 4문항 중 3문항(17·18·20번)에 걸려 있습니다. 도함수의 활용은 3·4번 두 문항이 하·중이라 공식 점검으로 충분합니다.

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