서연고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
서연고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 문항 수가 많은 대신 1~7번이 전부 하 난이도로 시작합니다. 상 난이도는 두 문항뿐인데, 둘 다 함수의 연속 단원(18·22번) 에서 나왔습니다.
핵심 요약
- 25문항 — 1~22번은 선택형, 23~25번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 7 / 중하 5 / 중 8 / 중상 3 / 상 2
- 배치 단원: 01 함수의 극한 7 / 02 함수의 연속 7 / 03 미분계수와 도함수 5 / 04 도함수의 활용 (1) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 1
- 가장 까다로운 축: "함수의 그래프와 연속" 계열이 13·18·22번에 쓰였고 셋 다 중상·상
- 서술 구간 23~25번은 중하·중하·중으로 난도보다 서술 완성도가 관건
서연고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
서연고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 25문항으로 출제됐습니다.
정답 기록을 보면 1~22번이 선택형, 23~25번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 23번은 연속이지만 미분가능하지 않음을 보이는 증명형, 24번은 사잇값 정리로 실근의 존재를 보이는 형태, 25번은 소문항 세 개로 이어지는 구조입니다.
난이도 흐름을 번호 순으로 보면 이렇습니다.
- 1~7번 하
- 8~12번 중·중하 (9·12번 중하)
- 13번 중상
- 14~17번 중·중하 (15번 중하)
- 18번 상
- 19번 중
- 20·21번 중상
- 22번 상
- 23~25번 중하·중하·중 (답 직접 쓰기)
13번에서 처음 중상이 나오고, 18번과 20~22번에 어려운 문항이 몰립니다. 13~22번 사이에 중상·상 다섯 문항이 모두 들어 있습니다. 서술 구간은 오히려 난이도가 낮으니, 선택형 뒤쪽에서 시간을 다 쓰고 서술형을 비워 두는 일을 가장 경계해야 합니다.
2025학년 난이도 분포 — 하·중하가 12문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 7 | 28% | 1·2·3·4·5·6·7 |
| 중하 | 5 | 20% | 9·12·15·23·24 |
| 중 | 8 | 32% | 8·10·11·14·16·17·19·25 |
| 중상 | 3 | 12% | 13·20·21 |
| 상 | 2 | 8% | 18·22 |
하와 중하를 합치면 12문항, 전체의 48% 입니다. 중상·상은 다섯 문항(20%)이라 전체적으로는 기본기 비중이 큰 시험입니다. 대신 25문항을 한 시간 안에 풀어야 하므로 1~7번을 얼마나 빨리 끝내느냐가 뒤쪽 여유를 결정합니다.
하 난이도 일곱 문항은 함수의 극한값 구하기, 구간의 뜻과 기호, 미분법의 공식, 평균변화율, 최대·최소 정리, 롤의 정리, 좌극한과 우극한 읽기입니다. 다섯 단원 중 네 단원에서 골고루 하 문항이 하나 이상 나왔습니다.
출제 단원 — 극한과 연속이 7문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 7 | 1·7·8·14·15·17·20 |
| 02 함수의 연속 | 7 | 2·5·11·13·18·22·24 |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 3·4·9·21·23 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 5 | 6·10·12·16·25 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 19 |
대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 14문항(56%), II 다항함수의 미분법 11문항(44%) 입니다. 극한·연속 쪽이 조금 더 무겁습니다.
난이도는 02 함수의 연속에 집중됐습니다. 연속 단원 7문항 중 13번 중상, 18·22번 상으로 세 문항이 상위 난도입니다. 반면 01 함수의 극한은 7문항 중 중상이 20번 하나뿐입니다.
05 도함수의 활용 (2)는 19번 한 문항입니다. 증가·감소와 극대·극소 단원은 이 시험에서 비중이 작습니다.
시그니처 유형 — "그래프로 연속 판정하기" 13·18·22번
이 시험에서 점수 차이를 만드는 작업은 그래프를 보고 연속과 불연속을 판정하는 것입니다.
분석표 기준으로 함수의 그래프와 연속 계열 유형이 13·18·22번 세 문항에 들어 있습니다. 13번은 합성함수와 좌극한·우극한까지 결합됐고(중상), 18번은 함수가 연속일 조건 (응용)과 묶였고(상), 22번은 교점의 개수로 정의된 함수와 두 함수의 곱의 연속을 다룹니다(상).
세 문항의 공통 동작은 같습니다.
- 그래프에서 끊기거나 꺾이는 지점을 먼저 표시
- 그 지점에서 좌극한 · 우극한 · 함숫값 세 값을 각각 읽기
- 세 값이 모두 같을 때만 연속이라고 판정
여기에 다음 유형들이 두세 번씩 겹칩니다.
- 미분법의 공식 — 3·16·19번
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 8·14·25번
- 다항함수의 결정 + 미정계수의 결정 — 14·15번
- 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 — 7·13번
- 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 10·25번
- 함수의 연속 — 5·23번
14번과 15번은 같은 재료(다항함수의 결정 · 미정계수의 결정)로 만든 문항입니다. 14번에는 ∞/∞ 꼴 극한이 하나 더 얹혀 중, 15번은 중하입니다. 둘을 한 세트로 연습하면 효율이 좋습니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (1·7·8·14·15·17·20번) — 7문항
1번 하 함수의 극한값 구하기, 7번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 함수의 극한값의 존재, 8번 중 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴의 극한, 14번 중 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 · ∞/∞ 꼴의 극한, 15번 중하 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 17번 중 0/0 꼴의 극한; 무리식 · 함수의 극한에 대한 성질, 20번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이.
8번의 "함수의 극한의 대소 관계" 는 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)에서 양쪽 극한이 같으면 가운데 극한도 같다는 성질을 씁니다. ∞/∞ 꼴과 결합되어 있으니 양 끝 함수의 극한을 최고차항 계수 비로 빠르게 구하는 것이 핵심입니다.
17번의 무리식 0/0 극한은 근호가 있는 쪽을 유리화하는 것이 첫 동작입니다. 켤레식을 곱해 0이 되는 인수를 약분하는 절차가 손에 익어 있어야 합니다.
20번은 극한 단원의 유일한 중상입니다. 도형에서 길이나 넓이를 변수 t에 대한 식으로 세우는 단계가 절반이고, 세운 뒤 극한을 계산하는 단계가 나머지 절반입니다.
2. 함수의 연속 (2·5·11·13·18·22·24번) — 7문항
2번 하 구간의 뜻과 기호, 5번 하 최대·최소 정리 · 함수의 연속, 11번 중 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 함수가 연속일 조건, 13번 중상 함수의 그래프와 연속; 합성함수 · 좌극한과 우극한 · 함수의 그래프와 연속, 18번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 함수의 그래프와 연속, 22번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 함수의 그래프와 연속; 합성함수, 24번 중하 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간.
11번의 "(x-a)f(x) 꼴" 은 등식 양변에 x=a를 넣으면 좌변이 0이 되므로 우변도 0이어야 한다는 조건에서 출발합니다. 그다음 f(a)는 극한으로 구합니다.
13번 합성함수의 연속은 f(g(x))에서 안쪽 g(x)가 어느 값으로 다가가는지를 좌우 따로 읽어야 합니다. 안쪽 값이 위에서 다가오는지 아래에서 다가오는지에 따라 바깥 함수의 좌극한·우극한 중 어느 쪽을 쓸지가 갈립니다.
22번은 이 시험에서 가장 낯선 문항입니다. 교점의 개수를 t에 대한 함수로 정의하고, 그 함수와 다른 함수의 곱이 연속인지를 묻습니다. 교점 개수가 바뀌는 t값이 불연속 후보이므로 그림부터 그려 그 지점을 찾는 것이 출발점입니다.
24번은 서술 구간입니다. 사잇값 정리를 쓸 때는 닫힌구간에서 연속이라는 조건과 양 끝 함숫값의 부호가 다르다는 사실을 둘 다 적어야 감점이 없습니다.
3. 미분계수와 도함수 (3·4·9·21·23번) — 5문항
3번 하 미분법의 공식, 4번 하 평균변화율, 9번 중하 접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정 · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴, 21번 중상 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h, 23번 중하 미분가능성과 연속성 · 함수의 연속.
21번이 이 단원의 고비입니다. 모든 실수에서 성립하는 등식이 주어지면 특정 값을 대입해 f(0) 같은 기준값을 먼저 얻고, 그것을 도함수의 정의식 lim (f(x+h)-f(x))/h에 연결하는 흐름이 보통입니다.
23번은 연속이지만 미분가능하지 않음을 보이는 서술형입니다. 연속(좌극한 = 우극한 = 함숫값)을 먼저 보이고, 좌미분계수와 우미분계수가 다르다는 것을 이어서 보여야 합니다. 두 단계 중 하나라도 빠지면 논증이 완성되지 않습니다.
9번의 곱의 미분법은 (fg)' = f'g + fg'을 그대로 적용합니다. 접선의 기울기 조건을 식으로 바꾸는 과정에서 부호 실수가 잦습니다.
4. 도함수의 활용 (1) (6·10·12·16·25번) — 5문항
6번 하 롤의 정리, 10번 중 곡선과 직선이 접할 때 · 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 12번 중하 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 16번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 미분법의 공식, 25번 중 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · ∞/∞ 꼴의 극한 · 함수의 극한의 활용.
12번의 "곡선 밖의 한 점" 은 접점을 (t, f(t))로 두는 것이 정석입니다. 접선 y - f(t) = f'(t)(x - t)에 주어진 점을 대입해 t를 구합니다. 주어진 점을 접점으로 착각하면 바로 틀립니다.
25번은 소문항 세 개로 된 서술형입니다. 분석표상 접선의 방정식에서 시작해 ∞/∞ 꼴 극한과 함수의 극한의 활용으로 끝나는 구조입니다. 앞 소문항의 결과가 뒤 소문항의 재료가 되므로 (1)에서 틀리면 연쇄로 무너집니다. (1)을 구한 뒤 검산하고 넘어가세요.
6번 롤의 정리와 16번 평균값 정리는 정의를 그대로 쓰는 유형입니다. 정리가 성립하기 위한 연속·미분가능 조건까지 함께 기억해 두세요.
5. 도함수의 활용 (2) (19번) — 1문항
19번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 · 미분법의 공식.
삼차함수가 실수 전체에서 증가하려면 f'(x) ≥ 0이 항상 성립해야 합니다. f'(x)가 이차식이므로 판별식 D ≤ 0 조건으로 바꾸는 것이 표준 풀이입니다. 등호 포함 여부를 놓치지 마세요.
주의 문항 — 중상 3문항 · 상 2문항
13번 중상 (합성함수와 그래프의 연속) — 처음 만나는 중상입니다. 안쪽 함수의 좌우 접근 방향을 따로 읽어야 합니다.
18번 상 (함수가 연속일 조건 응용) — 그래프와 조건식을 동시에 다룹니다. 경계점에서 좌극한·우극한·함숫값 세 식을 세우는 것부터 시작하세요.
20번 중상 (극한의 활용; 도형의 길이와 넓이) — 식 세우기에서 시간이 걸립니다.
21번 중상 (항등식과 도함수) — 대입할 값을 먼저 정해야 풀이가 열립니다.
22번 상 (교점의 개수로 정의된 함수) — 그림 없이는 접근이 어렵습니다. 선택형 마지막 문항이라 시간이 부족하면 서술형 23~25번을 먼저 채우는 판단도 필요합니다.
다섯 문항 모두 13~22번 사이에 있고, 그중 세 문항(13·18·22번)이 함수의 연속 단원입니다.
서연고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- 함수의 극한값, 좌극한·우극한 읽기 — 1·7번 대비. 확보 구간.
- 구간의 뜻과 기호 — 2번 대비. 확보 구간.
- 미분법의 공식과 평균변화율 — 3·4·16·19번의 기초.
- 최대·최소 정리, 롤의 정리, 평균값 정리 — 5·6·16번 대비. 정리의 전제 조건까지 암기.
- 함수의 극한의 대소 관계와 ∞/∞ 꼴 — 8·14·25번 대비.
- 곱의 미분법과 접선 기울기 조건 — 9번 대비.
- 곡선과 직선이 접할 조건 — 10번 대비.
- (x-a)f(x) 꼴 함수의 연속 — 11번 대비. 우변도 0이라는 조건부터.
- 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선 — 12번 대비. 접점을 t로 두기.
- ★ 그래프로 연속 판정, 합성함수의 연속 — 13·18·22번을 관통하는 최중요 개념.
- 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 — 14·15번 대비. 한 세트로 연습.
- 0/0 꼴 무리식 극한 — 17번 대비. 유리화.
- ★ 함수가 연속일 조건 (응용) — 18번 대비.
- 삼차함수가 증가할 조건 — 19번 대비. 판별식 D ≤ 0.
- 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 — 20번 대비.
- 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 21번 대비.
- 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성 — 22번 대비. 그림부터.
- 미분가능성과 연속성 증명 서술 — 23번 대비. 연속 → 좌우 미분계수 비교 순서.
- 사잇값 정리 서술 — 24번 대비. 연속 조건과 부호 변화를 둘 다 적기.
- 접선에서 극한으로 이어지는 소문항형 — 25번 대비.
자주 나오는 질문
서연고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 25문항입니다. 1~22번은 선택형, 23~25번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 01 함수의 극한과 02 함수의 연속이 각 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 03 미분계수와 도함수 5문항, 04 도함수의 활용 (1) 5문항, 05 도함수의 활용 (2) 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 두 문항(18·22번) 이고 둘 다 함수의 연속 단원입니다. 중상은 13·20·21번 세 문항입니다.
서술형은 어렵나요?
23~25번 세 문항의 난이도는 중하·중하·중입니다. 23번은 미분가능성과 연속성 증명, 24번은 사잇값 정리, 25번은 소문항 세 개짜리 접선·극한 문항입니다. 어렵기보다는 논증을 빠짐없이 적는 것이 중요합니다.
어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?
그래프로 연속을 판정하는 방법입니다. 상위 난도 다섯 문항 중 13·18·22번 세 문항이 이 개념에서 나왔습니다.
과년도 서연고 기출도 볼 수 있나요?
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2025학년 서연고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
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