이산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

이산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 상 난이도는 17번 한 문항뿐이지만 중상이 7문항으로 두껍습니다. 특히 13번부터 19번까지 일곱 문항이 전부 중상·상이라, 선택형 뒤쪽이 이 시험의 승부처입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~19번은 선택형, 20~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 8 / 중상 7 / 상 1
• 배치 단원: 01 함수의 극한 7 / 03 미분계수와 도함수 7 / 02 함수의 연속 6 / 04 도함수의 활용 (1) 2
• 최다 반복 유형: 다항함수의 결정 4회(14·17·21·22번)
• 함수가 연속일 조건 (응용)이 14·18·19번에 쓰였고 셋 다 중상

이산고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

이산고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~19번이 선택형, 20~22번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 21번은 정답이 소문항 두 개로 나뉘어 기록돼 있습니다.

난이도 흐름을 번호 순으로 보면 이렇습니다.

• 1~6번 하
• 7~12번 중
• 13~16번 중상
• 17번 상
• 18·19번 중상
• 20·21번 중 (답 직접 쓰기)
• 22번 중상 (답 직접 쓰기)

하 → 중 → 중상 → 상 순서가 거의 그대로 번호를 따라갑니다. 구간으로 나누면 1~6번 확보, 7~12번 실수 방지, 13~19번 승부 구간입니다. 서술 구간은 20·21번이 중, 22번이 중상이라 선택형 뒤쪽에서 시간을 다 쓰면 서술형 중 난이도 두 문항을 놓칠 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상이 7문항

중상과 상을 합치면 8문항, 전체의 36% 입니다. 상은 한 문항뿐이라 "손도 못 대는 문항"은 적지만, 한 번 더 생각해야 하는 문항이 많은 시험입니다.

하 여섯 문항(1~6번)은 0/0 꼴 유리식 극한, 함수가 연속일 조건, 미분법의 공식, 평균변화율, 최대·최소 정리, 접점이 주어진 접선의 방정식입니다. 네 단원에서 골고루 나왔고 전부 교과서 예제 수준입니다.

출제 단원 — 극한 7 · 미분계수와 도함수 7 · 연속 6

대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 13문항(59%), II 다항함수의 미분법 9문항(41%) 입니다.

세 단원이 6~7문항씩 나눠 가진 균형형입니다. 중상 일곱 문항도 한 단원에 쏠리지 않았습니다. 02 함수의 연속 3문항(14·18·19번), 01 함수의 극한 2문항(13·22번), 03 미분계수와 도함수 2문항(15·16번) 입니다. 유일한 상인 17번은 함수의 극한입니다.

04 도함수의 활용 (1)은 6·20번 두 문항이고, 증가·감소와 극대·극소에 해당하는 05 도함수의 활용 (2) 문항은 분석표에 없습니다.

시그니처 유형 — "다항함수의 결정" 4회

이 시험을 관통하는 작업은 주어진 조건으로 숨겨진 다항함수 f(x)를 복원하는 것입니다.

다항함수의 결정이 14·17·21·22번 네 문항에서 쓰였습니다. 난이도는 14번 중상, 17번 상, 21번 중, 22번 중상입니다. 유일한 상 문항과 서술형 두 문항이 모두 이 유형을 포함하고 있습니다. 표준 절차는 이렇습니다.

• ∞/∞ 꼴 극한값이 유한하면 → 분자와 분모의 차수가 같고, 극한값은 최고차항 계수의 비
• 0/0 꼴 극한값이 유한하면 → 분자가 분모를 0으로 만드는 인수를 갖는다
• 조건을 합쳐 차수와 계수를 하나씩 확정

두 번째 축은 함수가 연속일 조건 (응용) 입니다. 14·18·19번 세 문항이고 셋 다 중상입니다. 14번은 다항함수의 결정과, 19번은 접선의 방정식과 결합됐습니다.

다음 유형들도 두세 번씩 겹칩니다.

• 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 6·19·21번
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 12·13·22번
• 함수가 연속일 조건 — 2·18번
• 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) — 15·21번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·7·10·12·13·17·22번) — 7문항

1번 하 0/0 꼴의 극한; 유리식, 7번 중 미정계수의 결정 · 0/0 꼴의 극한; 무리식, 10번 중 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 합성함수의 극한, 12번 중 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴의 극한, 13번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · ∞/∞ 꼴의 극한, 17번 상 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 (응용), 22번 중상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴의 극한 · 연속함수의 성질.

7번의 무리식 0/0 극한과 미정계수는 이렇게 풉니다. 극한값이 존재하는데 분모가 0으로 가면 분자도 0으로 가야 한다는 조건으로 미정계수 하나를 얻고, 그다음 근호가 있는 쪽을 유리화해 극한값을 계산합니다.

10번의 합성함수 극한은 f(g(x))에서 안쪽 g(x)가 어느 방향에서 다가가는지를 그래프로 먼저 읽어야 합니다.

17번이 이 시험 유일한 상입니다. 다항함수의 결정에 미정계수의 결정 (응용) 이 결합돼 조건이 여러 겹입니다. 조건 하나를 식 하나로 바꾸는 작업을 순서대로 적어 가며 푸는 것이 안전합니다.

22번은 서술 구간의 마지막 문항입니다. ∞/∞ 꼴로 차수를, 연속함수의 성질로 나머지 조건을 끌어내는 구조입니다. 어떤 조건에서 어떤 식을 얻었는지 한 줄씩 적어야 부분 점수를 지킬 수 있습니다.

2. 미분계수와 도함수 (3·4·8·9·15·16·21번) — 7문항

3번 하 미분법의 공식, 4번 하 평균변화율, 8번 중 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴, 9번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 15번 중상 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a), 16번 중상 미분계수의 기하적 의미 · 평균변화율의 기하적 의미, 21번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) · 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 다항함수의 결정.

9번은 미분가능성의 표준 유형입니다. 경계점에서 연속 조건과 좌우 미분계수 일치 조건 두 식을 세우면 끝납니다. 연속 조건만 쓰고 멈추는 실수가 가장 흔합니다.

16번의 기하적 의미는 그림 해석 문항입니다. 평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기, 미분계수는 접선의 기울기입니다. 그래프 위에서 기울기의 크기를 비교하는 보기형으로 나오는 경우가 많습니다.

21번은 소문항 두 개로 된 서술형입니다. lim (f(x)-f(a))/(x-a)를 f'(a)로 읽는 것에서 시작해 접선 조건과 다항함수의 결정으로 이어집니다. 앞 소문항에서 구한 값이 뒤 소문항의 재료이므로 첫 소문항 검산이 중요합니다.

15번의 항등식 문항도 같은 극한 형태를 씁니다. 등식에 특정 값을 대입해 기준값을 얻은 뒤 미분계수의 정의에 연결하는 흐름입니다.

3. 함수의 연속 (2·5·11·14·18·19번) — 6문항

2번 하 함수가 연속일 조건, 5번 하 최대·최소 정리, 11번 중 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 14번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 다항함수의 결정, 18번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 함수가 연속일 조건, 19번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우.

2번과 18번은 같은 개념의 기본형과 응용형입니다. 경계점에서 좌극한 = 우극한 = 함숫값 세 값이 일치해야 연속입니다. 2번에서 이 식을 빠르게 세우는 연습이 18번의 토대가 됩니다.

11번 사잇값 정리는 f(a)와 f(b)의 부호가 다르고 f가 [a, b]에서 연속이면 그 사이에 실근이 적어도 하나 있다는 정리입니다. 구간 끝값을 차례로 대입해 부호가 바뀌는 구간을 찾습니다.

14·18·19번 세 문항이 이 단원의 고비입니다. 셋 다 연속 조건을 응용한 중상인데, 결합된 재료가 다릅니다. 14번은 다항함수의 결정, 18번은 연속 조건 자체, 19번은 접선의 방정식입니다. 연속 조건으로 식을 얻는 동작은 같으니, 결합된 개념을 미리 따로 연습해 두면 한결 수월합니다.

4. 도함수의 활용 (1) (6·20번) — 2문항

6번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 20번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 · 곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식의 활용.

6번은 y - f(a) = f'(a)(x - a) 에 대입하면 끝나는 확보 문항입니다.

20번은 서술 구간 첫 문항입니다. 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 (t, f(t))로 두고, 접선 y - f(t) = f'(t)(x - t)에 주어진 점을 대입해 t에 대한 방정식을 푸는 것이 정석입니다. 주어진 점을 접점으로 착각하는 실수만 피하면 됩니다.

주의 문항 — 13~19번 일곱 문항 + 22번

13번 중상 (극한의 활용; 도형의 길이와 넓이) — 도형 상황을 식으로 바꾸는 단계에서 시간이 걸립니다.

14번 중상 (연속 조건 응용 + 다항함수의 결정) — 두 시그니처 유형이 한 문항에 겹쳤습니다.

15번 중상 (항등식과 도함수) — 대입할 값을 먼저 정해야 풀이가 열립니다.

16번 중상 (미분계수·평균변화율의 기하적 의미) — 그림 해석 문항입니다.

17번 상 (다항함수의 결정 + 미정계수 응용) — 이 시험의 최고 난도입니다.

18번 중상 (함수가 연속일 조건 응용) — 2번의 확장형입니다.

19번 중상 (연속 조건 + 접선) — 연속과 미분 단원을 오갑니다.

22번 중상 (서술형, 다항함수의 결정) — 풀이 과정을 적어야 하므로 부분 점수 관리가 필요합니다.

여덟 문항 중 다섯 문항(14·17·18·19·22번)이 다항함수의 결정 또는 함수가 연속일 조건 (응용) 을 포함합니다. 이 두 유형을 확실히 잡으면 어려운 구간의 절반 이상이 열립니다.

이산고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 0/0 꼴 유리식 극한 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 함수가 연속일 조건 기본형 — 2번 대비. 18번의 토대.
3. 미분법의 공식과 평균변화율 — 3·4번 대비. 확보 구간.
4. 최대·최소 정리 — 5번 대비.
5. 접점이 주어진 접선의 방정식 — 6·19·21번의 공통 재료.
6. 0/0 꼴 무리식 극한과 미정계수 — 7번 대비. 분자도 0이라는 조건 + 유리화.
7. 곱의 미분법 — 8번 대비.
8. 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 9번 대비. 연속 + 미분 두 식.
9. 합성함수의 극한 — 10번 대비. 안쪽 함수의 접근 방향.
10. 사잇값 정리 — 11번 대비.
11. 함수의 극한의 대소 관계와 ∞/∞ 꼴 — 12·13·22번 대비.
12. 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 — 13번 대비.
13. ★ 함수가 연속일 조건 (응용) — 14·18·19번 대비. 셋 다 중상.
14. 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 — 15번 대비.
15. 미분계수와 평균변화율의 기하적 의미 — 16번 대비. 기울기 비교.
16. ★ 다항함수의 결정 — 14·17·21·22번을 관통하는 최중요 절차.
17. 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선 — 20번 대비. 접점을 t로 두기.
18. 서술형 풀이 적는 연습 — 20~22번 대비. 조건 하나당 식 하나.

자주 나오는 질문

이산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~19번은 선택형, 20~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 01 함수의 극한과 03 미분계수와 도함수가 각 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 02 함수의 연속 6문항, 04 도함수의 활용 (1) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번 한 문항이고 함수의 극한 단원의 다항함수의 결정 문항입니다. 대신 중상이 7문항(13·14·15·16·18·19·22번) 으로 많습니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

20~22번 세 문항입니다. 20번 중은 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선, 21번 중은 소문항 두 개로 된 미분계수·접선·다항함수의 결정, 22번 중상은 다항함수의 결정과 ∞/∞ 꼴 극한입니다.

어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?

다항함수의 결정입니다. 22문항 중 네 문항(14·17·21·22번)에서 쓰였고, 유일한 상 문항과 서술형 두 문항이 여기에 포함됩니다.

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