이솔고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

이솔고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 중상이 7문항, 상이 2문항으로 절반 가까이가 어려운 구간입니다. 그리고 상 두 문항(16·17번)이 똑같이 "다항함수의 결정 + 미정계수의 결정 (응용)" 조합으로 만들어졌습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 7 / 상 2
• 배치 단원: 02 함수의 연속 7 / 01 함수의 극한 6 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 03 미분계수와 도함수 2 / 05 도함수의 활용 (2) 2
• 반복 유형: 함수가 연속일 조건 계열 4문항(2·4·18·20번), 다항함수의 결정 3회(6·16·17번)
• 중상이 7번부터 등장, 12~17번 여섯 문항은 연속으로 중상·상

이솔고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

이솔고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~17번이 선택형, 18~20번이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

난이도 흐름을 번호 순으로 보면 앞부분이 들쭉날쭉합니다.

• 1~3번 하
• 4번 중
• 5번 하
• 6번 중
• 7번 중상
• 8·9번 중
• 10번 중상
• 11번 중
• 12~15번 중상
• 16·17번 상
• 18번 중 · 19번 중상 · 20번 중 (답 직접 쓰기)

7번과 10번에 중상이 먼저 끼어 있습니다. 앞에서부터 순서대로 풀다가 7번에서 오래 붙잡히면 뒤 구간 시간이 줄어듭니다. 12번부터 17번까지는 여섯 문항 연속으로 중상·상이라, 앞 11문항에서 막히는 문항은 표시해 두고 넘어가는 운영이 필요합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상·상이 9문항

중상과 상을 합치면 9문항, 전체의 45% 입니다. 하 난이도는 네 문항뿐입니다.

하 네 문항(1·2·3·5번)은 0/0 꼴 유리식 극한, 함수가 연속일 조건, 함수의 연속, 평균값 정리입니다. 그중 2·3번은 함수의 연속 단원입니다.

출제 단원 — 함수의 연속이 7문항으로 1위

대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 13문항(65%), II 다항함수의 미분법 7문항(35%) 입니다.

02 함수의 연속이 7문항으로 가장 많고, 서술형 세 문항 중 두 문항(18·20번)도 이 단원입니다. 난이도는 하 2, 중 3, 중상 2(10·12번)입니다.

01 함수의 극한은 6문항이지만 상 두 문항(16·17번)이 모두 여기 있습니다. 15번 중상까지 더하면 극한 단원 뒤쪽 세 문항이 이 시험의 최상위 난도 구간입니다.

03 미분계수와 도함수는 2문항(7·13번)뿐인데 둘 다 중상입니다. 문항 수는 적어도 쉽게 넘길 단원은 아닙니다.

시그니처 유형 — 연속 조건과 다항함수의 결정

이 시험에는 두 개의 축이 있습니다.

첫 번째 축은 함수가 연속일 조건입니다. 기본형이 2·18·20번, 응용형이 4·18·20번에 쓰였습니다. 문항으로 치면 2·4·18·20번 네 문항이고, 서술형 18·20번은 둘 다 기본형과 응용형이 함께 들어간 문항입니다. 핵심 동작은 하나입니다.

• 경계점에서 좌극한 = 우극한 = 함숫값 세 식을 세운다
• 미지수가 있으면 이 식으로 값을 확정한다

두 번째 축은 다항함수의 결정입니다. 6·16·17번 세 문항에 쓰였고, 6번은 중이지만 16·17번은 상입니다. 16·17번은 둘 다 미정계수의 결정 (응용) 과 결합됐고, 17번에는 미분계수를 이용한 극한값의 계산까지 더해졌습니다.

• ∞/∞ 꼴 극한값이 유한하면 → 분자와 분모의 차수 비교
• 0/0 꼴 극한값이 유한하면 → 분자도 0이 되는 인수를 가짐
• 조건을 합쳐 미정계수를 하나씩 확정

다음 유형들도 두 번씩 겹칩니다.

• 연속함수의 성질 — 4·12번
• 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 — 13·19번
• 미정계수의 결정 (응용) — 16·17번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 연속 (2·3·4·10·12·18·20번) — 7문항

2번 하 함수가 연속일 조건, 3번 하 함수의 연속, 4번 중 연속함수의 성질 · 함수가 연속일 조건 (응용), 10번 중상 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 12번 중상 함수의 그래프와 연속 · 연속함수의 성질, 18번 중 함수가 연속일 조건 (응용) · 함수가 연속일 조건, 20번 중 함수가 연속일 조건 (응용) · 함수가 연속일 조건.

10번의 사잇값 정리가 중상으로 나왔습니다. f가 [a, b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 적어도 하나 있습니다. 여러 구간을 비교하거나 실근의 개수를 따지는 형태라면 각 구간 끝값의 부호표를 만들어 두는 것이 빠릅니다.

12번의 그래프와 연속은 그래프에서 끊기는 점마다 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽어야 합니다. 연속함수의 성질(연속함수끼리의 합·차·곱은 연속)과 결합됐는데, 역은 성립하지 않는다(각각 불연속이어도 합이나 곱은 연속일 수 있다)는 점까지 함께 정리해 두세요.

18·20번은 서술형입니다. 난이도는 둘 다 중이지만, 연속 조건을 쓸 때 좌극한·우극한·함숫값을 각각 계산해 적는 과정이 빠지면 감점 요인이 됩니다.

2. 함수의 극한 (1·6·8·15·16·17번) — 6문항

1번 하 0/0 꼴의 극한; 유리식, 6번 중 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴의 극한, 8번 중 함수의 극한의 대소 관계, 15번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · ∞-∞ 꼴의 극한, 16번 상 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 (응용), 17번 상 미정계수의 결정 (응용) · 다항함수의 결정 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a).

6번과 16·17번은 같은 유형의 기본형과 응용형입니다. 6번에서 ∞/∞ 꼴로 차수를 정하는 절차를 익혀 두면, 16·17번에서 조건이 여러 겹 쌓여도 순서대로 풀어 갈 수 있습니다.

17번은 미분계수 극한까지 결합됐습니다. lim (f(x)-f(a))/(x-a)를 f'(a)로 바꿔 읽는 순간 조건 하나가 도함수 식으로 바뀝니다. 극한 단원 문항이지만 미분 도구가 필요합니다.

15번의 ∞-∞ 꼴은 근호가 있으면 유리화해서 ∞/∞ 꼴로 바꾸는 것이 첫 동작입니다. 도형 상황에서 길이·넓이를 식으로 세운 뒤 이 변형을 적용하는 흐름입니다.

8번의 대소 관계는 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)에서 양쪽 극한이 같으면 가운데도 같다는 성질입니다.

3. 도함수의 활용 (1) (5·14·19번) — 3문항

5번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 14번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선과 수직인 직선의 방정식, 19번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴.

14번의 "접선이 곡선과 다시 만나는 점" 이 이 단원의 고비입니다. 접점의 x좌표를 a라 하면 곡선의 식에서 접선의 식을 뺀 함수가 (x-a)²을 인수로 갖는다는 성질이 열쇠입니다. 삼차함수라면 남은 인수가 일차식이라 다시 만나는 점이 바로 나옵니다. 접선과 수직인 직선은 기울기의 곱이 -1이라는 조건을 씁니다.

19번은 서술형 중 유일한 중상입니다. 곱의 미분법으로 도함수를 구한 뒤 접선의 방정식을 세우는 구조라, 도함수 계산 실수가 곧 오답으로 이어집니다.

4. 미분계수와 도함수 (7·13번) — 2문항, 둘 다 중상

7번 중상 미분가능성과 연속성 · (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속, 13번 중상 항등식이 주어질 때 미분계수 구하기 · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 · 치환을 이용한 극한값의 계산.

7번은 앞쪽에 배치된 중상입니다. 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아니다라는 관계를 판단하는 문항에 (x-a)f(x) 꼴 함수가 결합됐습니다. 보기 판단형이라면 반례가 되는 함수(꺾이는 점이 있는 함수) 를 떠올리는 연습이 도움이 됩니다.

13번은 세 가지 도구가 한 문항에 들어갔습니다. 항등식에서 미분계수를 끌어내고, 곱의 미분법으로 계산하고, 치환으로 극한을 정리합니다. 도구 하나하나는 기본이지만 연결 순서를 정하는 데 시간이 걸립니다.

5. 도함수의 활용 (2) (9·11번) — 2문항

9번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 함수의 극대·극소, 11번 중 최대·최소의 활용; 부피.

9번은 x=a에서 극값을 가지면 f'(a) = 0이라는 조건으로 미정계수를 구합니다. 11번 부피 최대·최소는 부피를 한 변수에 대한 식으로 세운 뒤 도함수가 0이 되는 점과 구간 끝값을 비교합니다. 변수의 범위를 먼저 정하지 않으면 답이 범위 밖으로 나갈 수 있습니다.

주의 문항 — 중상 7문항 · 상 2문항

7번 중상 (미분가능성과 연속성) — 앞쪽에 있는 중상입니다. 오래 붙잡지 말고 표시 후 넘어가는 판단도 필요합니다.

10번 중상 (사잇값 정리) — 부호표로 구간을 정리하세요.

12번 중상 (그래프와 연속 + 연속함수의 성질) — 그래프에서 끊기는 점을 모두 찾은 뒤 성질을 적용해야 합니다.

13번 중상 (항등식 · 곱의 미분법 · 치환) — 세 도구의 연결 순서가 핵심입니다.

14번 중상 (접선이 곡선과 다시 만나는 점) — (x-a)² 인수 성질을 모르면 계산이 길어집니다.

15번 중상 (극한의 활용 + ∞-∞ 꼴) — 식 세우기 후 유리화입니다.

16번 상 · 17번 상 (다항함수의 결정 + 미정계수의 결정 응용) — 같은 조합이 두 번 연속으로 나왔습니다. 한 문항을 뚫으면 다른 한 문항도 열릴 가능성이 높습니다.

19번 중상 (서술형, 접선의 방정식) — 도함수 계산부터 검산하세요.

이솔고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 0/0 꼴 유리식 극한 — 1번 대비. 확보 구간.
2. ★ 함수가 연속일 조건 — 2·4·18·20번을 관통하는 최중요 개념. 좌극한 = 우극한 = 함숫값.
3. 함수의 연속과 연속함수의 성질 — 3·4·12번 대비.
4. 평균값 정리 — 5번 대비. 확보 구간.
5. ∞/∞ 꼴로 다항함수의 차수 정하기 — 6번 대비. 16·17번의 기초.
6. 미분가능성과 연속성의 관계 — 7번 대비. 반례 함수 떠올리기.
7. 함수의 극한의 대소 관계 — 8번 대비.
8. 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 9번 대비. f'(a) = 0.
9. 사잇값 정리 — 10번 대비. 부호표 만들기.
10. 최대·최소의 활용; 부피 — 11번 대비. 변수 범위 먼저.
11. 항등식과 미분계수, 치환을 이용한 극한 — 13번 대비.
12. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 14번 대비. (x-a)² 인수 성질.
13. ∞-∞ 꼴 극한과 도형 활용 — 15번 대비. 유리화.
14. ★ 다항함수의 결정 + 미정계수의 결정 (응용) — 16·17번 대비. 이 시험의 상 두 문항.
15. 미분계수를 이용한 극한 계산 — 17번 대비. f'(a)로 바꿔 읽기.
16. 곱의 미분법과 접선의 방정식 — 13·19번 대비.
17. 연속 조건 서술 연습 — 18·20번 대비. 세 값을 각각 적기.

자주 나오는 질문

이솔고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 02 함수의 연속이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 01 함수의 극한 6문항, 04 도함수의 활용 (1) 3문항, 03 미분계수와 도함수 2문항, 05 도함수의 활용 (2) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16·17번 두 문항이고, 둘 다 함수의 극한 단원의 다항함수의 결정 + 미정계수의 결정 (응용) 문항입니다. 중상은 7·10·12·13·14·15·19번 일곱 문항입니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

18~20번 세 문항입니다. 18·20번(중)은 함수가 연속일 조건, 19번(중상)은 접선의 방정식과 곱의 미분법입니다.

어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?

함수가 연속일 조건입니다. 2·4·18·20번 네 문항에 쓰였고, 서술형 세 문항 중 두 문항이 여기서 나왔습니다.

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