치동고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
치동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 구조가 선명합니다. 1~10번은 하·중, 11~17번 일곱 문항은 전부 중상·상입니다. 그리고 상 두 문항(17·19번)이 모두 "함수가 연속일 조건 (응용)" 이고, 그중 19번은 서술형 마지막 문항입니다.
핵심 요약
- 19문항 — 1~17번은 선택형, 18~19번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 6 / 상 2
- 배치 단원: 02 함수의 연속 7 / 01 함수의 극한 6 / 03 미분계수와 도함수 3 / 04 도함수의 활용 (1) 3
- 반복 유형: 함수가 연속일 조건 (응용) 3회(14·17·19번), ∞/∞ 꼴의 극한 3회(11·13·15번)
- 중상 6문항이 11~16번에 연속 배치, 이어서 17번 상
치동고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
치동고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 19문항으로 출제됐습니다.
정답 기록을 보면 1~17번이 선택형, 18~19번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 18번은 소문항 세 개로 구성돼 있습니다.
난이도 흐름을 번호 순으로 보면 이렇습니다.
- 1·2번 하
- 3번 중
- 4·5번 하
- 6~10번 중
- 11~16번 중상
- 17번 상
- 18번 중 (답 직접 쓰기)
- 19번 상 (답 직접 쓰기)
10번과 11번 사이에 뚜렷한 경계가 있습니다. 10번까지는 하·중만 있고, 11번부터 17번까지는 중 이하 문항이 없습니다. 서술 구간도 18번 중, 19번 상이라, 시험 후반 아홉 문항 중 여덟 문항이 중상 이상입니다.
운영 포인트는 18번입니다. 서술형이지만 중 난이도라 확보해야 할 문항입니다. 선택형 11~17번에서 시간을 다 쓰고 18번을 비우는 일은 피해야 합니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상·상이 8문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 21% | 1·2·4·5 |
| 중 | 7 | 37% | 3·6·7·8·9·10·18 |
| 중상 | 6 | 32% | 11·12·13·14·15·16 |
| 상 | 2 | 11% | 17·19 |
중상과 상을 합치면 8문항, 전체의 42% 입니다.
하 네 문항(1·2·4·5번)은 좌극한과 우극한 읽기, 함수의 연속, 미분법의 공식, 평균값 정리입니다. 네 단원에서 한 문항씩 나왔고 전부 교과서 예제 수준입니다.
출제 단원 — 함수의 연속 7 · 함수의 극한 6
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 02 함수의 연속 | 7 | 2·3·7·10·14·17·19 |
| 01 함수의 극한 | 6 | 1·9·11·12·13·15 |
| 03 미분계수와 도함수 | 3 | 4·8·16 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 5·6·18 |
대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 13문항(68%), II 다항함수의 미분법 6문항(32%) 입니다. 극한과 연속이 3분의 2를 넘습니다.
난이도 배분이 단원별로 뚜렷하게 갈립니다.
- 01 함수의 극한 — 6문항 중 중상 4문항(11·12·13·15번)
- 02 함수의 연속 — 7문항 중 중상 1문항(14번), 상 2문항(17·19번)
- 03·04 미분 단원 — 6문항 중 중상은 16번 하나
중상 이상 여덟 문항 중 일곱 문항이 극한·연속 단원입니다. 증가·감소와 극대·극소에 해당하는 05 도함수의 활용 (2) 문항은 분석표에 없습니다.
시그니처 유형 — "함수가 연속일 조건 (응용)" 3회
이 시험의 최고 난도는 한 유형에서 나왔습니다.
함수가 연속일 조건 (응용) 이 14·17·19번 세 문항에 쓰였고 난이도는 14번 중상, 17·19번 상입니다. 이 시험의 상 두 문항이 전부 이 유형입니다. 문항마다 결합된 재료가 다릅니다.
- 14번 → 다항함수의 결정
- 17번 → 미정계수의 결정 (응용) · 함수의 극한값의 존재
- 19번 → 함수가 연속일 조건 · (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속
공통 동작은 경계점에서 좌극한 = 우극한 = 함숫값 세 식을 세우는 것입니다. 여기에 결합된 재료를 풀어낼 도구(다항함수의 결정 절차, 분자도 0이라는 조건 등)를 이어 붙이는 구조입니다.
두 번째 축은 ∞/∞ 꼴의 극한입니다. 11·13·15번 세 문항이고 셋 다 중상입니다. 11번은 대소 관계와, 13번은 도형 활용과, 15번은 다항함수의 결정·합성함수의 극한과 결합됐습니다. 핵심은 분자·분모의 최고차항 비교입니다.
다음 유형들도 두 번씩 겹칩니다.
- 다항함수의 결정 — 14·15번
- 함수의 극한값의 존재 — 3·17번
- 함수의 극한에 대한 성질 — 9·12번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 연속 (2·3·7·10·14·17·19번) — 7문항
2번 하 함수의 연속, 3번 중 함수의 그래프와 연속 · 함수의 극한값의 존재, 7번 중 연속함수의 성질, 10번 중 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 함수의 증가와 감소, 14번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 다항함수의 결정, 17번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 미정계수의 결정 (응용) · 함수의 극한값의 존재, 19번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 함수가 연속일 조건 · (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속.
3번은 그래프에서 연속과 극한값의 존재를 구분하는 문항입니다. 극한값이 존재한다(좌극한 = 우극한) 와 연속이다(극한값 = 함숫값) 는 다른 조건입니다. 그래프에서 구멍 난 점과 끊긴 점을 구분해 읽으세요.
10번 사잇값 정리에는 증가·감소가 결합됐습니다. 사잇값 정리로 실근의 존재를, 증가·감소로 실근이 하나뿐인지를 판단하는 조합으로 자주 쓰입니다.
17번이 선택형의 마지막이자 첫 상입니다. 연속 조건에 미정계수의 결정 (응용) 과 극한값의 존재가 겹쳤습니다. 조건 하나를 식 하나로 바꾸는 작업을 순서대로 적어 가며 풀어야 합니다.
19번은 서술형이면서 상입니다. (x-a)f(x) 꼴은 등식 양변에 x=a를 넣으면 좌변이 0이 되므로 우변도 0이어야 한다는 조건에서 출발합니다. 그다음 f(a)는 극한으로 구하고, 연속 조건으로 나머지 미지수를 확정합니다. 각 단계를 식으로 적어야 부분 점수를 받을 수 있습니다.
2. 함수의 극한 (1·9·11·12·13·15번) — 6문항
1번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 9번 중 함수의 극한에 대한 성질, 11번 중상 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴의 극한, 12번 중상 함수의 극한에 대한 성질 · 치환을 이용한 극한값의 계산, 13번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · ∞/∞ 꼴의 극한, 15번 중상 다항함수의 결정 · 합성함수의 극한 · ∞/∞ 꼴의 극한.
9번과 12번은 함수의 극한에 대한 성질의 기본형과 응용형입니다. 12번은 치환 극한이 결합돼 중상입니다. 극한식에서 x 대신 다른 식이 들어가 있으면 그 식을 t로 치환해 익숙한 꼴로 바꾸는 것이 첫 동작입니다.
11번의 대소 관계는 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)에서 양쪽 극한이 같으면 가운데도 같다는 성질입니다. ∞/∞ 꼴과 결합됐으니 양 끝 함수를 적절한 식으로 나눈 뒤 최고차항 비교로 극한을 구합니다.
13번은 도형에서 길이·넓이를 변수에 대한 식으로 세우는 단계가 절반입니다. 식이 세워지면 ∞/∞ 꼴 계산으로 마무리됩니다.
15번은 극한 단원에서 가장 재료가 많은 문항입니다. 다항함수의 결정에 합성함수의 극한까지 결합됐습니다. ∞/∞ 꼴 극한값이 유한하면 분자·분모의 차수가 같다는 성질로 차수부터 정하는 것이 출발점입니다.
3. 미분계수와 도함수 (4·8·16번) — 3문항
4번 하 미분법의 공식, 8번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h · lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a), 16번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴.
8번은 미분계수 극한의 두 가지 꼴이 모두 쓰였습니다. lim (f(a+h)-f(a))/h와 lim (f(x)-f(a))/(x-a)는 둘 다 f'(a) 입니다. 분모가 h의 상수배로 변형되면 계수를 맞춰 줍니다.
16번은 미분가능성의 표준 유형입니다. 경계점에서 연속 조건(좌우 함숫값 일치)과 미분가능 조건(좌우 미분계수 일치) 두 식을 세웁니다. 곱의 미분법이 함께 쓰였으니 도함수 계산에서 실수하지 않도록 주의하세요.
4. 도함수의 활용 (1) (5·6·18번) — 3문항
5번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 6번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 18번 중 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우.
6번의 "곡선 밖의 한 점" 은 접점을 (t, f(t))로 두고 접선 y - f(t) = f'(t)(x - t)에 주어진 점을 대입해 t를 구합니다.
18번은 소문항 세 개로 된 서술형입니다. 분석표상 접점이 주어진 접선의 방정식에서 시작해 접선이 곡선과 다시 만나는 점으로 이어지는 구조입니다. 접점의 x좌표를 a라 하면 곡선의 식에서 접선의 식을 뺀 함수가 (x-a)²을 인수로 갖는다는 성질을 쓰면 계산이 짧아집니다. 앞 소문항에서 구한 접선이 뒤 소문항의 재료이므로 (1) 검산이 중요합니다.
주의 문항 — 11~17번 일곱 문항 + 19번
11번 중상 (대소 관계 + ∞/∞ 꼴) — 중상 구간의 첫 문항입니다.
12번 중상 (극한의 성질 + 치환) — 치환할 식을 먼저 정하세요.
13번 중상 (극한의 활용; 도형의 길이와 넓이) — 식 세우기에서 시간이 걸립니다.
14번 중상 (연속 조건 응용 + 다항함수의 결정) — 17·19번의 예고편 같은 문항입니다.
15번 중상 (다항함수의 결정 + 합성함수의 극한) — 차수부터 정하기.
16번 중상 (구간별 함수의 미분가능성) — 연속 + 미분 두 식.
17번 상 (연속 조건 응용 + 미정계수 응용 + 극한값의 존재) — 조건이 가장 많이 겹친 선택형입니다.
19번 상 (서술형, (x-a)f(x) 꼴 연속) — 풀이 과정을 적어야 하므로 부분 점수 관리가 필요합니다.
여덟 문항 중 일곱 문항이 극한·연속 단원이고, 그중 세 문항(14·17·19번)이 함수가 연속일 조건 (응용)입니다.
치동고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- 좌극한·우극한 읽기와 함수의 연속 — 1·2번 대비. 확보 구간.
- 미분법의 공식과 평균값 정리 — 4·5번 대비. 확보 구간.
- 극한값의 존재와 연속의 차이 — 3번 대비. 17번의 재료.
- 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선 — 6번 대비. 접점을 t로 두기.
- 연속함수의 성질 — 7번 대비.
- 미분계수를 이용한 극한 계산(두 가지 꼴) — 8번 대비.
- 함수의 극한에 대한 성질 — 9·12번 대비.
- 사잇값 정리와 증가·감소 — 10번 대비.
- ★ ∞/∞ 꼴 극한과 최고차항 비교 — 11·13·15번 대비. 셋 다 중상.
- 치환을 이용한 극한값의 계산 — 12번 대비.
- 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 — 13번 대비.
- 다항함수의 결정 — 14·15번 대비.
- 합성함수의 극한 — 15번 대비. 안쪽 함수의 접근 방향.
- 구간별 함수의 미분가능성 — 16번 대비.
- ★ 함수가 연속일 조건 (응용) — 14·17·19번을 관통하는 최중요 개념. 이 시험의 상 두 문항.
- (x-a)f(x) 꼴 함수의 연속 — 19번 대비. 우변도 0이라는 조건부터.
- 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 18번 대비. (x-a)² 인수 성질.
자주 나오는 질문
치동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 19문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~19번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 02 함수의 연속이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 01 함수의 극한 6문항, 03 미분계수와 도함수 3문항, 04 도함수의 활용 (1) 3문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도가 두 문항(17·19번) 있고, 둘 다 함수의 연속 단원의 함수가 연속일 조건 (응용) 문항입니다. 19번은 서술형입니다. 중상은 11~16번 여섯 문항입니다.
서술형은 어떤 유형이 나오나요?
18~19번 두 문항입니다. 18번 중은 소문항 세 개로 된 접선의 방정식과 접선이 곡선과 다시 만나는 점, 19번 상은 (x-a)f(x) 꼴 함수의 연속과 함수가 연속일 조건입니다.
어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?
함수가 연속일 조건 (응용) 입니다. 14·17·19번 세 문항에 쓰였고, 이 시험의 상 두 문항이 모두 여기서 나왔습니다.
과년도 치동고 기출도 볼 수 있나요?
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