서울 관악구 구암고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
서울 관악구 구암고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 구암고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 하 8문항이 1~9번에 모여 있고, 18번부터 24번까지 일곱 문항은 전부 중상 이상인 앞뒤가 뚜렷한 시험입니다. 대구에도 같은 이름의 구암고등학교가 있으니, 이 글은 서울 관악구 구암고등학교 시험지 기준입니다.
핵심 요약
- 24문항 — 정답 기록 기준 전 문항이 번호로 답하는 선택형
- 난이도: 하 8 / 중 8 / 중상 5 / 상 3
- 배치 단원: 01 함수의 극한 9 / 03 미분계수와 도함수 7 / 02 함수의 연속 5 / 04 도함수의 활용 (1) 3
- 반복 유형: 미분계수를 이용한 극한값의 계산 4문항(14·16·17·23번), 접선의 기울기 3회(9·18·21번)
- 상 3문항(20·22·24번)이 서로 다른 세 단원에서 하나씩
구암고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
구암고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 24문항으로 출제됐고, 정답 기록을 보면 모든 문항이 번호로 답하는 선택형입니다.
난이도를 번호 순서대로 늘어놓으면 이렇습니다.
- 1~6번 하
- 7번 중
- 8·9번 하
- 10~15번 중
- 16번 중상
- 17번 중
- 18·19번 중상
- 20번 상
- 21번 중상
- 22번 상
- 23번 중상
- 24번 상
7번 하나를 빼면 1~9번이 전부 하입니다. 10~15번은 중으로 한 단계 올라가고, 16번 이후 아홉 문항 중 17번만 중이며 나머지 여덟 문항은 중상 이상입니다. 특히 20~24번은 상과 중상이 번갈아 나오는 구간이라, 앞 15문항을 빠르게 끝내는 것이 시험 운영의 전부라고 해도 과하지 않습니다.
2025학년 난이도 분포 — 하·중 16문항, 중상·상 8문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 8 | 33% | 1·2·3·4·5·6·8·9 |
| 중 | 8 | 33% | 7·10·11·12·13·14·15·17 |
| 중상 | 5 | 21% | 16·18·19·21·23 |
| 상 | 3 | 13% | 20·22·24 |
하·중이 16문항(67%) 으로 기본기가 있으면 3분의 2는 가져갈 수 있는 구성입니다. 대신 상 3문항이 20·22·24번 짝수 번호에 하나씩 들어가 있고, 그 사이를 중상이 채웁니다.
하 난이도 8문항은 좌극한과 우극한(1번), 극한의 성질(2번), 극한값 구하기(3번), 연속일 조건(4번), 최대·최소 정리(5번), 미분법의 공식(6번), 평균변화율과 미분계수(8번), 접선의 기울기(9번) 입니다. 네 단원 모두의 기초가 들어 있습니다.
출제 단원 — 극한 9 · 미분계수 7 · 연속 5 · 접선 3
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 9 | 1·2·3·11·12·13·21·22·23 |
| 03 미분계수와 도함수 | 7 | 6·8·14·16·17·18·24 |
| 02 함수의 연속 | 5 | 4·5·7·10·19 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 9·15·20 |
대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 14문항(58%), II 다항함수의 미분법 10문항(42%) 입니다. 미분 파트는 04 도함수의 활용 (1)(접선·평균값 정리)까지만 배치됐고, 05 도함수의 활용 (2) 이후 단원에 배치된 문항은 없습니다.
단원마다 난이도가 고르게 퍼져 있다는 점이 특징입니다.
- 01 함수의 극한 9문항 — 하 3(1·2·3번), 중 3(11·12·13번), 중상 2(21·23번), 상 1(22번)
- 03 미분계수와 도함수 7문항 — 하 2(6·8번), 중 2(14·17번), 중상 2(16·18번), 상 1(24번)
- 02 함수의 연속 5문항 — 하 2(4·5번), 중 2(7·10번), 중상 1(19번)
- 04 도함수의 활용 (1) 3문항 — 하 1(9번), 중 1(15번), 상 1(20번)
상 3문항이 극한(22번)·미분계수와 도함수(24번)·도함수의 활용 (1)(20번)에서 하나씩 나왔습니다. 어느 한 단원만 깊게 파서는 대비가 안 되는 구조입니다.
시그니처 유형 — 미분계수의 정의와 접선의 기울기
이 시험을 관통하는 개념은 f'(a) = lim (f(a+h)-f(a))/h, 그리고 f'(a)는 접선의 기울기라는 두 줄입니다.
미분계수를 이용한 극한값의 계산이 14·16·17·23번 네 문항에서 쓰였습니다. 14·17·23번은 h→0 꼴, 16번은 x→a 꼴입니다. 난이도는 14·17번 중, 16·23번 중상입니다.
접선의 기울기는 9·18·21번 세 문항에서 쓰였는데, 세 문항이 서로 다른 단원에 배치됐습니다.
- 9번(04 도함수의 활용 (1), 하) — 접선의 기울기 · 미분법의 공식
- 18번(03 미분계수와 도함수, 중상) — 구간별 미분가능성 · 곱의 미분법 · 접선의 기울기
- 21번(01 함수의 극한, 중상) — 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · 접선의 기울기
21번은 극한 단원 문항인데 접선의 기울기가 결합됐고, 23번도 극한 단원 문항인데 미분계수 극한이 결합됐습니다. 극한과 미분을 별개로 공부하면 뒤쪽 중상 문항에서 막힙니다.
다음 유형들도 두 번씩 겹칩니다.
- 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 사잇값 정리 — 7·19번 (같은 유형 조합, 7번 중 → 19번 중상)
- 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 18·24번 (18번 중상 → 24번 상)
- 함수의 극한값의 존재 — 20·22번 (둘 다 상)
- 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 — 14·18번
- 0/0 꼴의 극한; 유리식 — 11·13번
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 12·13번
- 미정계수의 결정 — 11·23번
- 미분법의 공식 — 6·9번
같은 유형이 쉬운 버전과 어려운 버전으로 두 번 나온 조합이 눈에 띕니다. 7번과 19번, 18번과 24번이 그렇습니다. 앞 문항을 확실히 이해하면 뒤 문항의 출발점이 보입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (1·2·3·11·12·13·21·22·23번) — 9문항
1번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 2번 하 함수의 극한에 대한 성질, 3번 하 함수의 극한값 구하기, 11번 중 미정계수의 결정 · 0/0 꼴의 극한; 유리식, 12번 중 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴의 극한, 13번 중 ∞/∞ 꼴의 극한 · 0/0 꼴의 극한; 유리식, 21번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · 접선의 기울기, 22번 상 함수의 극한값의 존재 · 미정계수의 결정 (응용), 23번 중상 다항함수의 결정 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h · 미정계수의 결정.
1~3번은 극한의 기본 읽기와 계산입니다. 그래프에서 좌극한·우극한을 따로 읽고, 극한의 성질로 식을 나눠 계산하는 확보 구간입니다.
11·13번은 0/0 꼴 유리식, 12·13번은 ∞/∞ 꼴입니다. 13번은 두 꼴이 한 문항에 같이 나옵니다. 0/0이면 인수분해 후 약분, ∞/∞이면 분모의 최고차항으로 나누기라는 기본 동작을 섞이지 않게 구분해야 합니다.
22번 상은 극한값이 존재한다는 조건(좌극한 = 우극한, 0/0 꼴이면 분자도 0) 으로 미정계수를 정하는 응용형입니다. 조건을 식으로 번역하는 단계에서 빠뜨리는 경우가 가장 많습니다.
23번 중상은 다항함수의 결정 + 미분계수 극한 + 미정계수의 결정 세 유형이 결합된 문항입니다. 극한 조건으로 f(x)의 꼴을 정한 뒤, 미분계수 극한을 f'(a)로 바꿔 계수를 확정하는 흐름입니다.
2. 미분계수와 도함수 (6·8·14·16·17·18·24번) — 7문항
6번 하 미분법의 공식, 8번 하 평균변화율과 미분계수 · 평균변화율, 14번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴, 16번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) · 미분계수를 이용한 극한값의 계산, 17번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h, 18번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 · 접선의 기울기, 24번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성.
14·16·17번 미분계수 극한 세 문항의 공통 동작은 주어진 극한을 f'(a) 꼴로 맞추는 것입니다. 분모가 h가 아니라 2h, 3h로 나오거나, 분자가 f(a+2h)-f(a-h)처럼 변형되면 f(a)를 빼고 더해 두 덩어리로 나누는 식 변형이 필요합니다.
18번과 24번은 구간별 함수의 미분가능성입니다. 경계점에서 ① 연속(좌우 함숫값 일치) ② 좌우 미분계수 일치 두 식이 모두 필요합니다. 18번은 여기에 곱의 미분법과 접선의 기울기가, 24번(상)은 "미분가능하면 연속이지만 연속이라고 미분가능한 것은 아니다" 라는 관계가 함께 붙어 있습니다. 이 관계를 거꾸로 적용하지 않도록 조심하세요.
3. 함수의 연속 (4·5·7·10·19번) — 5문항
4번 하 함수가 연속일 조건, 5번 하 최대·최소 정리, 7번 중 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 사잇값 정리, 10번 중 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 0/0 꼴의 극한; 무리식, 19번 중상 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 사잇값 정리.
7번과 19번은 같은 사잇값 정리 문항입니다. 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면, 열린구간 (a, b)에 실근이 적어도 하나 있다는 정리입니다. 구간 끝점의 함숫값 부호를 표로 정리해 두면 두 문항이 같은 방식으로 풀립니다.
10번 (x-a)f(x) 꼴은 x=a에서도 연속이려면 극한값과 함숫값이 같아야 한다는 조건으로 f(a)를 구하는 문항이고, 여기에 무리식 0/0 꼴(유리화) 이 붙었습니다.
4. 도함수의 활용 (1) (9·15·20번) — 3문항
9번 하 접선의 기울기 · 미분법의 공식, 15번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 · 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이, 20번 상 평균값 정리; 그래프를 이용하는 경우 · 접선의 방정식; 기울기가 주어진 경우 · 함수의 극한값의 존재.
15번 "곡선 밖의 한 점" 에서 긋는 접선은 접점을 (t, f(t))로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 주어진 점을 대입해 t를 구하는 순서입니다. 접점을 모르는 상태에서 바로 기울기를 구하려 하면 막힙니다.
20번은 세 개념이 한꺼번에 얽힌 상 문항입니다. 평균값 정리는 두 끝점을 잇는 직선과 기울기가 같은 접선이 구간 안에 존재한다는 뜻이고, 이 문항은 그래프를 보고 판단하는 유형에 기울기가 주어진 접선과 극한값의 존재 조건까지 결합됐습니다.
주의 문항 — 중상·상 8문항
16번 중상 (x→a 꼴 미분계수 극한) — 중상 구간의 첫 문항입니다.
18번 중상 (구간별 미분가능성 + 곱의 미분법 + 접선의 기울기) — 24번의 쉬운 버전입니다.
19번 중상 (사잇값 정리) — 7번과 같은 유형의 어려운 버전입니다.
20번 상 (평균값 정리 + 접선 + 극한값의 존재) — 세 개념이 한 문항에 들어갔습니다.
21번 중상 (극한의 활용 + 접선의 기울기) — 도형 상황을 식으로 세우는 것이 먼저입니다.
22번 상 (극한값의 존재 + 미정계수 응용) — 조건을 식으로 번역하는 문항입니다.
23번 중상 (다항함수의 결정 + 미분계수 극한) — 극한과 미분이 섞였습니다.
24번 상 (구간별 미분가능성 + 미분가능성과 연속성) — 시험의 마지막 문항입니다.
구암고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- 좌극한·우극한 읽기와 극한의 성질 — 1·2·3번 대비. 확보 구간.
- 함수가 연속일 조건과 최대·최소 정리 — 4·5번 대비. 확보 구간.
- 미분법의 공식과 평균변화율 — 6·8·9번 대비. 확보 구간.
- ★ 사잇값 정리 — 7·19번 대비. 끝점 함숫값의 부호 표로 정리.
- (x-a)f(x) 꼴 연속과 무리식 유리화 — 10번 대비.
- 0/0 꼴과 ∞/∞ 꼴 구분 — 11·12·13번 대비.
- 함수의 극한의 대소 관계 — 12번 대비.
- ★ 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 14·16·17·23번 대비. f'(a) 꼴로 맞추기.
- 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선 — 15번 대비. 접점을 t로 두기.
- ★ 구간별 함수의 미분가능성 — 18·24번 대비. 연속 + 미분 두 식.
- 미분가능성과 연속성의 관계 — 24번 대비. 역은 성립하지 않음.
- 평균값 정리(그래프 해석) — 20번 대비.
- 함수의 극한의 활용(도형)과 접선의 기울기 — 21번 대비.
- 극한값의 존재 조건으로 미정계수 결정 — 22번 대비.
- 다항함수의 결정 — 23번 대비.
자주 나오는 질문
구암고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 24문항이고, 정답 기록 기준 모든 문항이 번호로 답하는 선택형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 01 함수의 극한이 9문항으로 가장 많습니다. 이어서 03 미분계수와 도함수 7문항, 02 함수의 연속 5문항, 04 도함수의 활용 (1) 3문항입니다. 05 도함수의 활용 (2) 이후 단원에 배치된 문항은 없습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도가 세 문항(20·22·24번) 있습니다. 20번은 평균값 정리, 22번은 극한값의 존재와 미정계수, 24번은 구간별 함수의 미분가능성으로 세 단원에서 하나씩 나왔습니다.
어떤 개념을 제일 먼저 잡아야 하나요?
미분계수의 정의(미분계수를 이용한 극한값의 계산) 입니다. 14·16·17·23번 네 문항에서 쓰였고, 극한 단원 문항(23번)에도 결합돼 있습니다.
대구 구암고와 같은 학교인가요?
아닙니다. 내신판에는 서울 관악구 구암고등학교와 대구 구암고등학교가 따로 등록돼 있습니다. 이 글은 서울 관악구 구암고등학교 시험지 분석입니다.
과년도 구암고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
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2025학년 서울 관악구 구암고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
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