남강고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
남강고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 18문항입니다. 남강고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 함수의 극한이 2문항뿐이고, 가장 많이 나온 단원은 05 도함수의 활용 (2)(5문항) 입니다. 미분 파트가 12문항으로 전체의 3분의 2를 차지하고, 18문항 중 6문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.
핵심 요약
- 18문항 — 1~12번은 선택형, 13~18번은 답을 직접 쓰는 형태(6문항)
- 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 5 / 상 2
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 02 함수의 연속 4 / 03 미분계수와 도함수 4 / 01 함수의 극한 2 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 06 도함수의 활용 (3) 1
- 반복 유형: 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 2회(9·18번, 둘 다 중상)
- 상 2문항: 12번(선택형 마지막, 함수의 연속)·16번(답 직접 쓰기, 미분가능성)
남강고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
남강고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 18문항으로 출제됐습니다. 정답 기록을 보면 1~12번은 번호로 답하는 선택형, 13~18번은 수치로 답을 직접 쓰는 형태입니다. 문항 수가 적은 대신 서술 구간이 전체의 3분의 1입니다.
배치 단원이 06 도함수의 활용 (3)까지 넓게 퍼져 있고, 선택형 구간을 지나 서술형 구간에서 여러 단원이 다시 한 번 섞여 나옵니다.
- 선택형 1~12번 — 1·2번 연속 → 3번 극한 → 4·5번 미분계수 → 6·7번 접선·평균값 정리 → 8~10번 증가·감소와 극값·최대최소 → 11번 미분계수 → 12번 연속
- 서술형 13~18번 — 13번 극한 → 14번 최대·최소 → 15번 실근의 개수 → 16번 미분가능성 → 17번 연속 → 18번 극대·극소
1번이 함수의 극한이 아니라 함수의 연속 문항(중) 으로 시작하고, 첫 하 난이도는 4번에서 나옵니다. 초반부터 긴장을 늦출 수 없는 배치입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 8문항이 중심
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 17% | 4·6·13 |
| 중 | 8 | 44% | 1·2·3·5·8·10·14·17 |
| 중상 | 5 | 28% | 7·9·11·15·18 |
| 상 | 2 | 11% | 12·16 |
중 난이도가 8문항(44%) 으로 가장 많습니다. 하 난이도는 평균변화율과 미분계수(4번), 접점이 주어진 접선의 방정식(6번), 함수의 극한의 대소 관계(13번) 세 문항뿐입니다.
난이도는 번호 순서대로 올라가지 않습니다.
- 선택형 1~12번 — 중(1~3번) → 하(4번) → 중(5번) → 하(6번) → 중상(7번) → 중(8번) → 중상(9번) → 중(10번) → 중상(11번) → 상(12번)
- 서술형 13~18번 — 하(13번) → 중(14번) → 중상(15번) → 상(16번) → 중(17번) → 중상(18번)
선택형도 서술형도 각 구간 안에 상 문항이 하나씩 있습니다. 12번은 선택형의 마지막 문항, 16번은 서술형 한가운데입니다. 서술형 17번(중)이 16번(상) 뒤에 있으니, 16번에서 막히면 17·18번을 먼저 처리하는 순서 조정이 필요합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (2)가 5문항, 극한은 2문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 8·9·10·14·18 |
| 02 함수의 연속 | 4 | 1·2·12·17 |
| 03 미분계수와 도함수 | 4 | 4·5·11·16 |
| 01 함수의 극한 | 2 | 3·13 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 6·7 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 15 |
대단원으로 묶으면 I 함수의 극한과 연속 6문항(33%), II 다항함수의 미분법 12문항(67%) 입니다. 미분 파트가 극한·연속의 두 배입니다.
05 도함수의 활용 (2) 5문항은 증가·감소와 극대·극소, 최대·최소를 다루는 단원이고, 난이도는 중 3(8·10·14번), 중상 2(9·18번) 입니다. 5문항 중 14·18번 두 문항이 서술형입니다.
01 함수의 극한은 3번(중)과 13번(하) 두 문항뿐입니다. 극한 계산 자체보다는 연속(4문항)과 미분(12문항) 에서 점수가 갈리는 시험입니다.
단원별 최고 난이도는 이렇습니다.
- 02 함수의 연속 — 12번 상
- 03 미분계수와 도함수 — 16번 상
- 04 도함수의 활용 (1) — 7번 중상
- 05 도함수의 활용 (2) — 9·18번 중상
- 06 도함수의 활용 (3) — 15번 중상
- 01 함수의 극한 — 3번 중
시그니처 유형 — 극값·최대최소로 미정계수 정하기
이 시험을 관통하는 작업은 도함수로 함수의 모양을 파악하고, 그 조건으로 모르는 계수를 정하는 것입니다.
05 도함수의 활용 (2) 다섯 문항 중 세 문항이 미정계수의 결정입니다.
- 9번 중상 — 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건
- 10번 중 — 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정
- 18번 중상 (답 직접 쓰기) — 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 함수의 극대·극소
9번과 18번은 같은 유형(극대·극소를 이용한 미정계수의 결정) 이고 둘 다 중상입니다. 하나는 선택형, 하나는 서술형입니다. 표준 절차는 이렇습니다.
- x=a에서 극값을 가지면 → f'(a) = 0
- 극값이 주어지면 → f(a) = (극값)
- 두 식을 연립해 계수를 정한 뒤, f'(x)의 부호 변화로 극대·극소가 맞는지 확인
서술형에서는 이 확인 과정까지 풀이에 남겨 두는 것이 안전합니다.
다음 유형들도 두 번씩 겹칩니다.
- 함수가 연속일 조건 — 2·17번
- 다항함수의 결정 — 3·12번
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 3·13번
- 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) — 5·11번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (8·9·10·14·18번) — 5문항
8번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 9번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건, 10번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 중 최대·최소의 활용 · 함수의 최대·최소, 18번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 함수의 극대·극소.
8번 삼차함수가 실수 전체에서 증가(감소)할 조건은 f'(x) ≥ 0(또는 ≤ 0)이 모든 실수 x에서 성립하는 것이고, f'(x)가 이차식이므로 판별식 D ≤ 0으로 정리됩니다. 부등호에 등호가 들어가는지를 헷갈리지 마세요.
9번의 "사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건" 은 도함수가 삼차식이라는 점에서 출발합니다. f'(x) = 0의 실근과 그 근에서 부호가 바뀌는지를 따져야 합니다. 중근이 생기면 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니라는 점이 함정입니다.
10·14번 최대·최소는 닫힌구간에서 극값과 양 끝점의 함숫값을 모두 비교하는 것이 기본입니다. 14번은 서술형이고 최대·최소의 활용이 붙어 있어, 상황을 함수식으로 세우는 단계부터 풀이에 적어야 합니다.
2. 함수의 연속 (1·2·12·17번) — 4문항
1번 중 함수의 그래프와 연속 · 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 최대·최소 정리, 2번 중 함수가 연속일 조건 · 0/0 꼴의 극한; 무리식 · 미정계수의 결정, 12번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 다항함수의 결정, 17번 중 함수가 연속일 조건.
1번은 그래프 한 장에서 좌극한·우극한·연속·최대최소 정리를 한꺼번에 묻는 문항입니다. 시험의 첫 문항부터 세 유형이 결합돼 있으니 보이는 값을 하나씩 적어 가며 확인하세요.
2번은 연속 조건 + 무리식 0/0 꼴 + 미정계수 조합입니다. x=a에서 연속이려면 극한값이 존재해야 하고, 분모가 0으로 가면 분자도 0이어야 한다는 조건으로 계수를 먼저 정한 뒤 유리화로 극한값을 구합니다.
12번(상)은 연속 조건 응용에 다항함수의 결정이 붙은 선택형 마지막 문항입니다. 연속 조건에서 나오는 식들로 다항함수의 차수와 계수를 확정해야 합니다.
3. 미분계수와 도함수 (4·5·11·16번) — 4문항
4번 하 평균변화율과 미분계수, 5번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴, 11번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) · 미분계수의 기하적 의미, 16번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.
5번과 11번은 같은 x→a 꼴 미분계수 극한입니다. 5번은 곱의 미분법, 11번은 미분계수의 기하적 의미(접선의 기울기) 가 붙어 중상이 됐습니다. 주어진 극한을 f'(a) 꼴로 맞추는 동작이 두 문항의 공통 뼈대입니다.
16번(상)은 서술형 구간의 최고 난도 문항입니다. 구간별로 정의된 함수가 경계점에서 미분가능하려면 ① 연속(좌우 함숫값 일치) ② 좌우 미분계수 일치 두 조건이 모두 필요합니다. 연속 조건만 확인하고 멈추는 실수가 가장 흔합니다.
4. 함수의 극한 (3·13번) — 2문항
3번 중 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴의 극한, 13번 하 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴의 극한.
두 문항 모두 ∞/∞ 꼴입니다. ∞/∞ 꼴 극한값이 0이 아닌 값이면 분자와 분모의 차수가 같고 극한값은 최고차항 계수의 비라는 성질이 3번 다항함수의 결정의 출발점입니다.
13번 대소 관계는 f(x)가 두 식 사이에 끼어 있을 때 양쪽 극한이 같으면 f(x)의 극한도 같다는 성질입니다. 서술형 구간의 첫 문항이자 유일한 하 난이도라 반드시 챙겨야 합니다.
5. 도함수의 활용 (1)·(3) (6·7·15번) — 3문항
6번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 7번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 15번 중상 두 그래프의 교점의 개수 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
7번 평균값 정리는 f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)를 만족하는 c를 구간 안에서 찾는 문항입니다. 구한 c가 열린구간 (a, b) 안에 있는지 확인하는 단계를 빼먹지 마세요.
15번(서술형)은 06 도함수의 활용 (3)에서 나온 유일한 문항입니다. 방정식 f(x) = k의 실근의 개수는 y = f(x)의 그래프와 직선 y = k의 교점 개수와 같습니다. 도함수로 극댓값·극솟값을 구해 그래프 개형을 그리고, 직선 y = k를 위아래로 움직이며 교점 수가 바뀌는 지점을 찾는 순서입니다.
주의 문항 — 중상·상 7문항
7번 중상 (평균값 정리) — 선택형 첫 중상입니다. c의 범위 확인까지 해야 합니다.
9번 중상 (사차함수의 극값 조건 + 미정계수) — 중근 함정을 조심하세요.
11번 중상 (미분계수 극한 + 기하적 의미) — 5번과 같은 꼴의 어려운 버전입니다.
12번 상 (연속 조건 응용 + 다항함수의 결정) — 선택형 마지막 문항입니다.
15번 중상 · 답 직접 쓰기 (방정식의 실근의 개수) — 그래프 개형을 그려야 풀립니다.
16번 상 · 답 직접 쓰기 (구간별 함수의 미분가능성) — 연속과 미분 두 조건을 모두 적어야 합니다.
18번 중상 · 답 직접 쓰기 (극대·극소를 이용한 미정계수) — 9번과 같은 유형, 시험의 마지막 문항입니다.
서술형 6문항 중 세 문항(15·16·18번)이 중상 이상입니다. 선택형을 빨리 끝내고 서술형에 시간을 넉넉히 남기는 운영이 필요합니다.
남강고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- 그래프에서 좌극한·우극한·연속 읽기와 최대·최소 정리 — 1번 대비.
- 연속 조건과 무리식 0/0 꼴 — 2·17번 대비. 분자도 0 조건으로 계수 먼저.
- ∞/∞ 꼴과 다항함수의 결정 — 3·13번 대비.
- 함수의 극한의 대소 관계 — 13번 대비. 서술형 확보 문항.
- 평균변화율과 미분계수 — 4번 대비. 확보 구간.
- 미분계수 극한(x→a 꼴)과 곱의 미분법 — 5·11번 대비.
- 접점이 주어진 접선의 방정식 — 6번 대비. 확보 구간.
- 평균값 정리 — 7번 대비. c의 범위 확인.
- 삼차함수가 증가·감소할 조건 — 8번 대비. 판별식 D ≤ 0.
- ★ 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 9·18번 대비. f'(a)=0과 부호 변화 확인.
- 사차함수가 극값을 가질 조건 — 9번 대비. 중근 함정.
- ★ 최대·최소와 그 활용 — 10·14번 대비. 극값과 끝값 비교.
- 연속 조건 응용과 다항함수의 결정 — 12번 대비.
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 15번 대비. 그래프 개형과 직선 y=k.
- ★ 구간별 함수의 미분가능성 — 16번 대비. 연속 + 미분 두 식을 풀이로 쓰기.
자주 나오는 질문
남강고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 18문항입니다. 1~12번은 선택형, 13~18번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 02 함수의 연속 4문항, 03 미분계수와 도함수 4문항, 01 함수의 극한 2문항, 04 도함수의 활용 (1) 2문항, 06 도함수의 활용 (3) 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 12번과 16번 두 문항입니다. 12번은 연속 조건 응용과 다항함수의 결정(선택형), 16번은 구간별 함수의 미분가능성(답 직접 쓰기)입니다.
시험 범위는 어디까지인가요?
배치 단원 기준 01 함수의 극한부터 06 도함수의 활용 (3)까지 문항이 나왔습니다. 06 단원은 15번(방정식의 실근의 개수) 한 문항입니다.
서술형은 어떤 유형이 나오나요?
13~18번 여섯 문항입니다. 13번(하) 극한의 대소 관계, 14번(중) 최대·최소의 활용, 15번(중상) 방정식의 실근의 개수, 16번(상) 구간별 미분가능성, 17번(중) 연속일 조건, 18번(중상) 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정입니다.
과년도 남강고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
남강고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출 받아보기
2025학년 남강고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
📚 남강고 전체 기출이 궁금하다면?
가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.
(서울 관악구 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)