성보고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

성보고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 18문항입니다. 성보고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ를 한 줄로 요약하면 "쉬운 문항이 거의 없고, 킬러가 앞에 있는 시험" 입니다. 하 난이도는 2번 한 문항뿐이고, 유일한 상 난이도는 4번에 배치됐습니다.

핵심 요약

• 18문항 — 1~16번은 선택형, 17·18번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 7 / 상 1
• 배치 단원: 01 함수의 극한 7 / 03 미분계수와 도함수 6 / 02 함수의 연속 5 / 04 도함수의 활용 (1) 0
• 최다 반복 유형: 다항함수의 결정 4회(3·4·5·13번)
• 가장 까다로운 구간: 3~5번 다항함수의 결정 연속 배치, 그중 4번이 상

성보고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

성보고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 18문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~16번이 선택형, 17·18번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 18번은 소문항 두 개로 나뉘어 있고, 정답 기록상 (1)은 풀이를 쓰는 형태입니다.

배치를 크게 나누면 함수의 극한과 연속(01·02단원)이 12문항, 미분계수와 도함수(03단원)가 6문항입니다. 04 도함수의 활용 (1)로 분류된 문항은 한 문항도 없습니다. 배치 단원 기준으로는 03 미분계수와 도함수까지만 출제됐습니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 1문항, 중 9문항

하 난이도가 2번 하나뿐입니다. 1번부터 중 난이도로 시작하니, 몸풀기 문항 없이 바로 본게임에 들어간다고 생각하는 편이 맞습니다.

상 난이도 4번이 시험지 맨 앞쪽에 있다는 점이 가장 중요합니다. 같은 관악구의 삼성고(13번)·신림고(20번)·인헌고(22번)가 상 난이도를 13번 이후에 둔 것과 대조적입니다. 4번에서 오래 붙잡고 있으면 뒤의 중 난이도 문항을 풀 시간이 줄어듭니다. 4번은 표시만 해두고 넘어갔다가 돌아오는 운영을 미리 정해두세요.

대신 중 난이도가 9문항으로 절반입니다. 12·13·14번은 세 문항 연속 중이라, 이 구간을 빠르게 통과하는 것이 시간 확보의 열쇠입니다.

출제 단원 — 함수의 극한 7문항, 미분계수와 도함수 6문항

배치가 단원 순서를 거의 그대로 따릅니다. 1~6번이 함수의 극한, 7~10번이 함수의 연속, 11~14번이 미분계수와 도함수입니다. 그 뒤로 15번(극한), 16번(미분), 17번(연속), 18번(미분)이 한 번씩 다시 섞입니다.

주의할 점은 13번이 03 미분계수와 도함수에 배치됐지만 다항함수의 결정이 함께 쓰였다는 것입니다. 극한 단원에서 익힌 다항함수의 결정이 미분 단원에서도 다시 나옵니다.

시그니처 유형 — "다항함수의 결정" 4회

이 시험을 관통하는 개념은 극한 조건으로 다항함수의 차수와 계수를 정하는 것입니다.

다항함수의 결정이 3·4·5·13번 네 문항에서 쓰였습니다. 특히 3·4·5번이 연달아 나오고, 난이도가 중(3번) → 상(4번) → 중상(5번) 입니다. 시험 초반 세 문항이 같은 개념으로 묶여 있다는 뜻입니다.

여기에 미정계수의 결정이 5·8·15번에서 세 번 나오고, 4번에는 미정계수의 결정 (응용) 이 붙어 있습니다. 극한값이 존재하도록 계수를 정하는 문제가 4·5·8·15번 네 문항에 퍼져 있는 셈입니다.

그 밖에 반복된 유형은 다음과 같습니다.

• 함수가 연속일 조건 — 7·8·9번 (3회)
• 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim (f(x)-f(a))/(x-a) — 11·12·14번 (3회)
• 0/0 꼴의 극한; 유리식 — 2·15번
• 미분법의 공식 — 13·14번

7·8·9번 세 문항이 모두 함수가 연속일 조건을 씁니다. 01단원이 끝나자마자 02단원으로 넘어가 같은 개념을 세 번 연속 묻는 구성입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·2·3·4·5·6·15번) — 7문항, 상 1문항 포함

1번 중 0/0 꼴의 극한; 무리식, 2번 하 함수의 극한값 구하기 · 0/0 꼴의 극한; 유리식, 3번 중 ∞/∞ 꼴의 극한 · 다항함수의 결정, 4번 상 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 (응용), 5번 중상 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 6번 중 함수의 극한의 활용, 15번 중상 미정계수의 결정 · 0/0 꼴의 극한; 유리식.

1번이 무리식 극한인데 난이도가 중입니다. 근호가 있는 쪽을 유리화한 뒤 약분하는 과정이 한 단계 더 있어서, 2번(하)보다 오히려 손이 많이 갑니다.

3~5번은 다항함수의 결정 3연속입니다. 풀이 원칙은 두 가지입니다.

• x→∞일 때 f(x)/g(x)의 극한값이 0이 아닌 상수면 분자와 분모의 차수가 같고, 극한값은 최고차항 계수의 비입니다.
• x→a일 때 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0으로 가야 합니다.

4번은 이 두 원칙에 미정계수의 결정 응용이 겹친 상 난이도 문항입니다. 조건이 두 개 이상 주어지는 경우가 많으니 조건 하나당 식 하나를 세우고 차례로 정리하세요.

15번은 미정계수의 결정과 0/0 꼴 유리식이 결합된 중상 문항입니다. 분모가 0으로 가면 분자도 0이라는 원칙으로 계수 하나를 먼저 정하고, 그다음 약분해서 극한값 조건을 씁니다.

2. 함수의 연속 (7·8·9·10·17번) — 5문항

7번 중상 함수가 연속일 조건 · 함수의 연속, 8번 중 함수가 연속일 조건 · 최대·최소 정리 · 미정계수의 결정, 9번 중 연속함수의 성질 · 함수가 연속일 조건, 10번 중상 함수의 그래프와 연속; 합성함수, 17번 중상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속.

함수가 연속일 조건은 x=a에서 함숫값, 좌극한, 우극한이 모두 같아야 한다는 것입니다. 7·8·9번이 모두 이 조건을 씁니다.

10번은 합성함수의 연속입니다. 그래프로 주어진 함수를 합성할 때, 안쪽 함수의 값이 바깥 함수의 불연속점에 걸리는지 좌우 양쪽에서 따져야 합니다.

17번은 답을 직접 쓰는 중상 문항입니다. 교점의 개수를 새로운 함수로 정의하고, 그 함수와 다른 함수의 곱이 연속인지를 묻습니다. 교점 개수 함수는 개수가 바뀌는 지점에서 불연속이 되고, 곱한 함수가 그 지점에서 0이 되면 곱이 연속이 될 수 있습니다.

3. 미분계수와 도함수 (11·12·13·14·16·18번) — 6문항

11번 중상 미분가능성과 연속성 · 함수의 극한에 대한 성질 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산, 12번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 미분계수의 기하적 의미, 13번 중 미분법의 공식 · 다항함수의 결정, 14번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 미분법의 공식, 16번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 평균변화율, 18번 중 도함수의 정의를 이용하여 도함수 구하기 · 치환을 이용한 극한값의 계산.

11·12·14번이 모두 lim (f(x)-f(a))/(x-a) = f'(a) 를 씁니다. 주어진 극한식을 이 꼴로 맞추는 변형이 핵심이고, 12번은 여기에 미분계수의 기하적 의미(미분계수 = 접선의 기울기) 가 함께 쓰였습니다.

11번의 미분가능성과 연속성은 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아니다라는 관계를 묻습니다. 이 방향을 헷갈리면 틀립니다.

16번은 구간별 정의 함수의 미분가능성입니다. 경계에서 연속 조건과 좌우 미분계수 일치 조건을 모두 세워야 합니다.

18번은 도함수의 정의로 도함수를 구하는 문항입니다. f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h 를 그대로 계산하고, 치환을 이용한 극한값 계산이 함께 쓰였습니다. 정답 기록상 (1)이 풀이를 쓰는 형태이니 정의식에서 출발해 극한을 계산하는 과정을 순서대로 적는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 상 1문항과 중상 7문항

4번 상 (다항함수의 결정 + 미정계수 응용) — 시험지 앞쪽의 유일한 상입니다. 시간 운영을 미리 정해두세요.

5번 중상 (다항함수의 결정 + 미정계수) — 4번 바로 뒤에 같은 개념이 한 번 더 나옵니다.

7번 중상 (함수가 연속일 조건) — 연속 단원 첫 문항인데 중상입니다.

10번 중상 (합성함수의 연속) — 그래프를 좌우로 나눠 읽어야 합니다.

11번 중상 (미분가능성과 연속성) — 세 가지 개념이 한 문항에 들어갔습니다.

15번 중상 (미정계수의 결정 + 0/0 유리식) — 분자도 0이라는 원칙으로 출발합니다.

16번 중상 (구간별 정의 함수의 미분가능성) — 조건식 두 개를 빠짐없이 세워야 합니다.

17번 중상 (교점 개수로 정의된 함수의 연속성) — 답을 직접 쓰는 문항 중 난도가 더 높은 쪽입니다.

관악구 다른 고등학교와 비교

같은 2025학년 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ를 내신판 분석표 기준으로 관악구 다섯 학교끼리 나란히 놓으면 다음과 같습니다.

성보고는 다섯 학교 중 하 난이도가 가장 적고(1문항), 04 도함수의 활용 (1) 문항이 없는 유일한 학교입니다. 쉬운 점수가 적은 대신 출제 단원은 03 미분계수와 도함수까지만 나왔습니다.

성보고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 0/0 꼴 극한(유리식·무리식) — 1·2·15번 대비. 유리화 후 약분까지 빠르게.
2. ∞/∞ 꼴 극한 — 3번 대비. 최고차항으로 나누기.
3. ★ 다항함수의 결정 — 3·4·5·13번 대비. 이 시험의 시그니처.
4. ★ 미정계수의 결정(기본·응용) — 4·5·8·15번 대비. 분모가 0이면 분자도 0.
5. 함수의 극한의 활용 — 6번 대비.
6. 함수가 연속일 조건 — 7·8·9번 대비. 세 문항 연속으로 나옵니다.
7. 최대·최소 정리와 연속함수의 성질 — 8·9번 대비.
8. 합성함수의 연속 — 10번 대비. 안쪽 함숫값이 불연속점에 걸리는지 확인.
9. 교점 개수로 정의된 함수와 곱의 연속 — 17번 대비.
10. 미분가능성과 연속성의 관계 — 11번 대비. 방향 헷갈리지 않기.
11. 미분계수 정의를 이용한 극한값 계산 — 11·12·14번 대비.
12. 미분계수의 기하적 의미 — 12번 대비. 미분계수를 접선의 기울기로 해석하기.
13. 미분법의 공식 — 13·14번 대비.
14. 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 16번 대비. 연속 + 미분계수 일치.
15. 도함수의 정의로 도함수 구하기 — 18번 대비. 정의식부터 적는 연습.

자주 나오는 질문

성보고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 18문항입니다. 1~16번은 선택형, 17·18번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 01 함수의 극한이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 03 미분계수와 도함수 6문항, 02 함수의 연속 5문항입니다. 04 도함수의 활용 (1)은 출제되지 않았습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 4번 한 문항(다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 응용)입니다. 시험지 앞쪽에 있다는 점이 특징입니다. 중상은 7문항(5·7·10·11·15·16·17번)입니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다. 대신 중 난이도가 9문항으로 절반이라, 중 문항을 실수 없이 지키는 것이 기본 점수가 됩니다.

답을 직접 쓰는 문항은 어떻게 나왔나요?

17·18번 두 문항입니다. 17번은 중상(교점 개수로 정의된 함수의 연속성), 18번은 중(도함수의 정의로 도함수 구하기) 이고 18번은 소문항 두 개로 나뉘어 있습니다.

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