신림고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

신림고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 신림고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ의 성격은 뚜렷합니다. 15번까지는 하·중 위주로 가다가, 16번부터 마지막 23번까지 여덟 문항이 전부 중상 이상입니다. 그리고 문항 수로는 극한보다 미분 쪽이 더 많습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~20번은 선택형, 21~23번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 8 / 상 1
• 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 9 / 01 함수의 극한 5 / 02 함수의 연속 5 / 04 도함수의 활용 (1) 4
• 최다 반복 유형: 미분계수를 이용한 극한값의 계산 4문항(5·13·14·20번)
• 가장 까다로운 구간: 16~23번 여덟 문항 연속 중상 이상, 20번이 상

신림고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

신림고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 23문항으로 출제됐습니다.

정답 기록을 보면 1~20번이 선택형, 21~23번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 답을 직접 쓰는 세 문항은 난이도가 모두 중상입니다.

배치를 크게 나누면 다항함수의 미분법(03·04단원)이 13문항, 함수의 극한과 연속(01·02단원)이 10문항입니다. 2학기 중간고사는 보통 극한·연속이 앞부분이라 그쪽 비중이 클 거라고 생각하기 쉬운데, 신림고 이 시험은 미분 파트가 더 무겁습니다. 특히 03 미분계수와 도함수 한 단원에서만 9문항이 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항, 뒤쪽 여덟 문항은 중상 이상

시험지가 앞뒤로 확실히 나뉩니다. 1~4번이 하, 5~15번은 13번 하나를 빼면 전부 중입니다. 그런데 16번부터 23번까지는 한 문항도 빠짐없이 중상 또는 상입니다.

이 구조가 뜻하는 건 시간 배분입니다. 앞의 15문항을 얼마나 빨리 끝내느냐가 뒤 여덟 문항에 쓸 시간을 결정합니다. 중 난이도 10문항에서 시간을 아끼지 못하면 답을 직접 쓰는 21~23번(모두 중상) 에 손도 못 대고 끝날 수 있습니다.

유일한 상 난이도는 20번으로, 선택형 마지막 문항입니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수 9문항

03 미분계수와 도함수가 9문항으로 압도적입니다. 3~7번 다섯 문항이 연달아 이 단원이고, 13·14·17·23번에서 다시 나옵니다.

단원이 번호 순서대로 배치되지 않았다는 점도 알아두세요. 3번에서 이미 미분(평균변화율)이 나오고, 9·10번은 도함수의 활용, 12번에야 함수의 연속이 처음 등장합니다. 상 난이도 20번은 01 함수의 극한에 배치됐지만 다항함수의 결정, ∞/∞ 꼴 극한, 미분계수를 이용한 극한값 계산이 한꺼번에 쓰였습니다. 극한과 미분을 오가는 문항이라 단원을 나눠 공부하면 막힙니다.

시그니처 유형 — "미분계수를 이용한 극한값의 계산" 4문항

이 시험을 관통하는 개념은 미분계수의 정의식을 알아보고 거꾸로 쓰는 것입니다.

미분계수를 이용한 극한값의 계산이 5·13·14·20번 네 문항에서 쓰였습니다. 5·20번은 lim (f(a+h)-f(a))/h 꼴, 13·14번은 lim (f(x)-f(a))/(x-a) 꼴입니다. 난이도는 중(5·14번) → 중상(13번) → 상(20번) 으로 퍼져 있어서, 기본형만 알면 두 문항, 변형까지 익히면 네 문항이 열립니다.

두 번째 축은 사잇값 정리입니다. 15·19·22번 세 문항에서 쓰였고, 15번은 실근이 존재하는 구간, 19번은 실근의 개수, 22번은 답을 직접 쓰는 형태로 나왔습니다.

그 밖에 두 번씩 반복된 유형은 다음과 같습니다.

• 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 — 7·17번
• 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 — 10·16번
• 미정계수의 결정 — 13·19번

10번과 16번의 조합을 보세요. 둘 다 평균값 정리의 정의를 쓰는데, 10번은 중, 16번은 중상입니다. 같은 유형이 난이도를 올려 한 번 더 나온 구조입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (3·4·5·6·7·13·14·17·23번) — 9문항, 시험의 중심

3번 하 평균변화율, 4번 하 미분법의 공식, 5번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim (f(a+h)-f(a))/h, 6번 중 미분계수의 기하적 의미, 7번 중 곱의 미분법, 13번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim (f(x)-f(a))/(x-a) · 미정계수의 결정, 14번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim (f(x)-f(a))/(x-a), 17번 중상 곱의 미분법 · 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이, 23번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

3·4번은 하 난이도 확보 문항입니다. 평균변화율은 (f(b)-f(a))/(b-a), 미분법의 공식은 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 이 전부입니다.

5·14번은 미분계수 정의의 기본형입니다. h 꼴에서 lim (f(a+2h)-f(a))/h 처럼 h 앞에 계수가 붙으면 분모를 맞춰 주고 그만큼 곱하고, x→a 꼴에서 분모가 x²-a² 처럼 바뀌면 인수분해해 (x-a)를 따로 떼어냅니다.

17번은 한 문항에 세 단계가 들어 있습니다. 곱의 미분법으로 도함수를 구하고, 접점에서 접선의 방정식을 세운 뒤, 접선과 x축·y축이 만드는 삼각형의 넓이까지 계산합니다. 각 단계는 어렵지 않지만 이어 붙이는 과정에서 계산 실수가 나기 쉽습니다.

23번은 시험지 마지막 문항입니다. 구간별로 정의된 함수가 경계에서 미분가능하려면 먼저 연속이어야 하고, 그다음 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 조건식 두 개를 모두 세워야 값이 확정됩니다.

2. 함수의 극한 (1·2·8·11·20번) — 5문항, 상 1문항 포함

1번 하 함수의 극한값 구하기, 2번 하 함수의 극한값의 존재, 8번 중 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 함수의 그래프와 연속, 11번 중 함수의 극한에 대한 성질, 20번 상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴의 극한 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산.

2번의 극한값의 존재는 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 있다는 것입니다. 8번은 그래프에서 좌극한·우극한을 읽는 문항이라, 점이 찍힌 함숫값과 극한값을 구분하는 것이 핵심입니다.

20번이 이 시험의 유일한 상입니다. ∞/∞ 꼴 극한과 미분계수 정의식이 함께 쓰인 다항함수의 결정 문항입니다. 일반적으로 x→∞ 극한 조건은 차수와 최고차항 계수를, 미분계수 꼴의 극한 조건은 특정 점에서의 함숫값이나 미분계수를 알려줍니다. 조건을 하나씩 식으로 옮기는 순서를 지켜야 합니다.

3. 함수의 연속 (12·15·18·19·22번) — 5문항

12번 중 함수가 연속일 조건, 15번 중 최대·최소 정리 · 함수의 연속 · 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 18번 중상 함수의 그래프와 연속; 합성함수 · 합성함수의 극한 · 미분가능성과 연속성, 19번 중상 사잇값 정리; 실근의 개수 · 미정계수의 결정, 22번 중상 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 사잇값 정리.

15번은 연속 단원의 대표 정리 두 개가 한 문항에 들어갔습니다. 최대·최소 정리는 닫힌구간에서 연속이면 최댓값과 최솟값이 존재한다는 것, 사잇값 정리는 여기에 양 끝 함숫값의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 있다는 것입니다.

18번은 이 단원에서 개념이 가장 촘촘한 문항입니다. 합성함수의 연속, 합성함수의 극한, 미분가능성과 연속성의 관계가 모두 쓰였습니다. 미분가능하면 연속이지만 그 역은 성립하지 않는다는 방향을 정확히 알고 있어야 합니다.

19번은 사잇값 정리로 실근의 개수를 따지는 문항입니다. 여러 구간에서 함숫값의 부호 변화를 확인해 실근이 적어도 몇 개인지 세고, 여기에 미정계수 조건이 붙습니다.

22번은 답을 직접 쓰는 사잇값 정리 문항입니다. 연속이라는 조건과 부호가 다르다는 조건을 둘 다 빠뜨리지 않고 적어야 합니다.

4. 도함수의 활용 (1) (9·10·16·21번) — 4문항

9번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 10번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 16번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 21번 중상 공통인 접선 · 접선이 곡선과 다시 만나는 점.

9번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선입니다. 접점을 (t, f(t))로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤 주어진 점을 대입해 t를 구하는 순서가 표준입니다. 접점을 먼저 모른다는 점이 곡선 위의 점이 주어진 경우와의 차이입니다.

21번은 답을 직접 쓰는 중상 문항입니다. 두 곡선의 공통인 접선은 두 곡선 위의 접점에서 기울기가 같고 접선의 방정식이 같다는 조건을 씁니다. 여기에 접선이 곡선과 다시 만나는 점까지 구해야 해서, 접선 식과 곡선 식을 연립하는 단계가 이어집니다.

주의 문항 — 상 1문항과 중상 8문항

20번 상 (다항함수의 결정 + 미분계수) — 선택형 마지막이자 이 시험의 최고 난도입니다.

13번 중상 (미분계수 극한 + 미정계수) — 중 난이도 구간 한가운데 끼어 있는 중상입니다.

16번 중상 (평균값 정리) — 10번과 같은 유형이 난도를 올려 다시 나옵니다.

17번 중상 (곱의 미분법 + 접선 + 넓이) — 세 단계를 이어 붙이는 복합형입니다.

18번 중상 (합성함수의 연속·극한 + 미분가능성) — 개념 세 개가 한 문항에 들어갔습니다.

19번 중상 (사잇값 정리; 실근의 개수) — 구간을 나눠 부호를 확인해야 합니다.

21번 중상 (공통인 접선) — 답을 직접 쓰는 문항 중 첫 번째입니다.

22번 중상 (사잇값 정리) — 조건 두 개를 모두 적어야 합니다.

23번 중상 (구간별 정의 함수의 미분가능성) — 마지막 문항입니다. 연속 조건을 먼저 세우세요.

상·중상 아홉 문항 중 여덟 개가 16번 이후입니다. 1~15번을 빠르게 끝내는 것이 이 시험의 첫 번째 전략입니다.

관악구 다른 고등학교와 비교

같은 2025학년 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ를 내신판 분석표 기준으로 관악구 다섯 학교끼리 나란히 놓으면 다음과 같습니다.

신림고는 다섯 학교 중 문항 수가 가장 많고(23문항), 03 미분계수와 도함수 문항도 가장 많습니다(9문항). 다섯 학교 중 미분 파트(03·04단원)가 극한·연속 파트보다 많은 학교는 신림고뿐입니다.

신림고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 미분법의 공식 — 3·4번 대비. 확보 문항.
2. 함수의 극한값과 극한값의 존재 — 1·2번 대비. 확보 문항.
3. ★ 미분계수 정의를 이용한 극한값 계산(두 꼴 모두) — 5·13·14·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
4. 미분계수의 기하적 의미 — 6번 대비. 미분계수 = 접선의 기울기.
5. 곱의 미분법 — 7·17번 대비.
6. 좌극한·우극한 그래프 읽기와 극한의 성질 — 8·11번 대비.
7. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 9번 대비. 접점을 t로 두기.
8. 평균값 정리 — 10·16번 대비. 같은 유형이 두 번.
9. 함수가 연속일 조건 — 12번 대비.
10. ★ 최대·최소 정리와 사잇값 정리 — 15·19·22번 대비. 실근의 존재와 개수.
11. 미정계수의 결정 — 13·19번 대비.
12. 접선과 좌표축으로 둘러싸인 넓이 — 17번 대비. 절편 먼저.
13. 합성함수의 연속·극한과 미분가능성 — 18번 대비.
14. ★ 다항함수의 결정 — 20번(상) 대비. 조건 하나씩 식으로.
15. 공통인 접선과 접선이 다시 만나는 점 — 21번 대비.
16. 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 23번 대비. 연속 + 미분계수 일치.

자주 나오는 질문

신림고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~20번은 선택형, 21~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 03 미분계수와 도함수가 9문항으로 가장 많습니다. 이어서 01 함수의 극한 5문항, 02 함수의 연속 5문항, 04 도함수의 활용 (1) 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20번 한 문항(다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴 극한 · 미분계수를 이용한 극한값 계산)입니다. 중상은 8문항이고 그중 7문항이 16번 이후에 있습니다.

답을 직접 쓰는 문항은 어떻게 나왔나요?

21~23번 세 문항이고 세 문항 모두 중상입니다. 21번은 공통인 접선, 22번은 사잇값 정리, 23번은 구간별 정의 함수의 미분가능성입니다.

신림고 다른 학년 기출도 있나요?

내신판에는 신림고 3학년 미적분 등 다른 학년 시험지 분석도 있습니다. 학교 페이지에서 학년·학기별로 확인할 수 있고, 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

신림고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출 받아보기

2025학년 신림고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.

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