서울사대부고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

서울 성북구 서울사대부고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 평면좌표 · 직선의 방정식 · 원의 방정식 · 도형의 이동 네 단원입니다. 서울사대부고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 선택형 18문항이 하 → 중 → 중상 → 상 순서로 정확히 배열되어 있고, 서술형 두 문항은 다시 하 난이도라는 점이 가장 큰 특징입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~18번은 선택형, 19·20번은 소문항으로 나뉜 서술형
• 난이도: 하 7 / 중 7 / 중상 4 / 상 2
• 배치 단원: 03 원의 방정식 8 / 04 도형의 이동 6 / 02 직선의 방정식 4 / 01 평면좌표 2
• 번호 순서가 곧 난이도 순서: 1~5번 하, 6~12번 중, 13~16번 중상, 17·18번 상
• 상 2문항: 17번(정점을 지나는 직선과 무게중심), 18번(원 위의 점과 직선 사이의 거리)
• 최다 반복 유형: 점과 직선 사이의 거리 4회(6·9·14·19번)

서울사대부고 고1 2학기 중간은 어떤 시험인가

서울사대부고의 정식 명칭은 서울대학교사범대학부설고등학교이고, 서울 성북구에 있습니다. 이 글은 같은 이름의 부설 중학교가 아니라 고등학교 1학년 시험 기준입니다.

2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다. 19번은 (1)(2)(3), 20번은 (1)(2)로 소문항이 나뉘어 있습니다.

출제 단원은 도형의 방정식 네 단원뿐입니다. 집합 단원 문항은 없습니다.

이 시험의 구조는 아주 단순합니다. 문항 번호가 올라갈수록 난이도도 한 단계씩 올라갑니다. 하 난이도가 끝나는 5번 다음부터 중, 12번 다음부터 중상, 16번 다음부터 상입니다. 서술형 19·20번만 예외로 하 난이도입니다. 그래서 앞에서 막히는 문항이 있다면 개념이 빠진 것이고, 뒤에서 막힌다면 응용 연습이 부족한 것이라고 진단하기 쉽습니다.

2025학년 난이도 분포 — 번호 순서가 곧 난이도 순서

하 7문항 · 중 7문항으로 70% 가 중 이하입니다. 중상은 4문항으로 적은 편입니다. 대신 상 난이도가 2문항이고, 17·18번이 연달아 나옵니다.

시간 운영도 이 구조를 따라가면 됩니다. 1~12번 열두 문항은 중 이하이니 빠르게 풀고, 13~16번 중상 네 문항에서 한 번 속도를 줄인 뒤, 17·18번 상 난이도로 넘어가기 전에 서술형 19·20번을 먼저 풀어 두는 선택도 가능합니다. 서술형 두 문항이 하 난이도라 확실한 점수이기 때문입니다.

출제 단원 — 원의 방정식 8문항

원의 방정식이 8문항(40%) 으로 가장 많고, 도형의 이동 6문항을 더하면 14문항(70%) 이 뒤쪽 두 단원입니다.

중상 이상 6문항(13~18번)을 단원별로 보면 원의 방정식이 4문항(14·15·16·18번) 입니다. 나머지는 도형의 이동 1(13번), 직선의 방정식 1(17번)입니다. 원의 방정식이 점수를 가르는 단원입니다. 원 8문항의 난이도는 하 1 · 중 3 · 중상 3 · 상 1로 모든 난이도에 걸쳐 있습니다.

평면좌표는 1번(하)과 7번(중) 두 문항뿐입니다. 다만 선분의 내분점은 16번 안에서 다시 쓰입니다.

시그니처 유형 — "점과 직선 사이의 거리" 4회, 축에 접하는 원 연속 2문항

이 시험에서 가장 많이 쓰인 개념은 점과 직선 사이의 거리입니다. 6번(중) · 9번(중) · 14번(중상) · 19번(서술형 하) 네 문항에 들어 있습니다. 원의 접선(6번), 원과 직선의 위치 관계(9번), 축과 직선에 동시에 접하는 원(14번), 삼각형의 넓이(19번)까지 쓰임새가 모두 다릅니다. 공식 하나를 네 가지 상황에 적용하는 시험입니다.

두 번째는 x축, y축에 동시에 접하는 원입니다. 14번과 15번이 연달아 이 유형이고 둘 다 중상입니다. 축에 동시에 접하면 중심이 (±r, ±r) 꼴이 된다는 사실이 두 문항의 출발점입니다.

여기에 다음 유형이 여러 번 겹칩니다.

• 선분의 내분점 — 1·7·16번 (3회)
• 두 점 사이의 거리 — 11·16·19번 (3회)
• 두 직선의 평행과 수직 — 3·17번
• 점의 대칭이동 — 10·20번
• 삼각형의 넓이 — 18·19번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 확보 구간 (1~5번) — 5문항 전부 하

1번 선분의 내분점, 2번 점의 평행이동, 3번 수직 또는 평행 조건이 주어진 직선, 4번 중심의 좌표가 주어진 원, 5번 원의 평행이동.

네 단원이 골고루 한두 문항씩 들어 있습니다. 공식을 정확히 쓰는지만 보는 문항이니 여기서 시간을 쓰지 않아야 합니다.

2. 원의 방정식 기본 · 응용 (6·8·9번) — 3문항, 전부 중

6번 기울기가 주어진 원의 접선 · 점과 직선 사이의 거리, 8번 원 위의 점에서의 접선, 9번 원과 직선이 만나지 않을 때 · 일반형 원의 방정식에서 중심과 반지름.

9번은 k가 들어간 일반형 원의 방정식에서 시작합니다. 완전제곱식으로 바꿔 중심과 반지름을 구하고, 정리하면 반지름은 k와 관계없이 일정하고 중심만 k에 따라 움직입니다. 원과 직선이 만나지 않으려면 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 커야 한다는 부등식을 세웁니다.

3. 도형의 이동 (2·5·10·11·13·20번) — 6문항

2번 하 점의 평행이동, 5번 하 원의 평행이동, 10번 중 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값, 11번 중 원점에 대한 대칭이동 · 두 점 사이의 거리, 13번 중상 도형 f(x, y)=0의 평행이동과 대칭이동, 20번 하(서술형) 점의 대칭이동 · 직선의 대칭이동.

10번은 y축 위의 점과 직선 y=x 위의 점을 거치는 경로의 최솟값입니다. 두 끝점을 각각 직선 y=x와 y축에 대해 대칭이동해 경로를 한 직선으로 펴는 것이 핵심입니다. 성북구 다른 학교들은 이 유형에 원 위의 점까지 섞어 중상·상으로 냈지만, 이 시험의 10번은 원 없이 점만 다뤄 중 난이도입니다.

11번은 포물선 위의 두 점이 원점에 대해 대칭인 경우입니다. 한 점을 (t, t²+t-1)로 두면 다른 점은 (-t, -(t²+t-1)) 이고, 이 점도 포물선 위에 있다는 식으로 t를 구합니다.

13번은 그림으로 주어진 f(x, y)=0에서 f(x-1, -y+2)=0의 그래프를 고르는 문항입니다. -y+2=-(y-2)로 보면, x축에 대해 대칭이동한 뒤 x축 방향으로 1, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 것입니다. 순서를 거꾸로 적용하면 다른 그림이 나오니 주의하세요.

4. 축에 접하는 원과 접선의 길이 (14·15·16번) — 3문항, 전부 중상

14번 x축, y축에 동시에 접하는 원 · 원과 직선이 접할 때 · 점과 직선 사이의 거리, 15번 x축, y축에 동시에 접하는 원 · 원의 대칭이동 · 현의 길이, 16번 접선의 길이 · 두 점 사이의 거리 · 선분의 내분점.

14번은 직선 y=3x+5, x축, y축에 모두 접하고 중심이 제2사분면에 있는 원입니다. 중심을 (-r, r)로 두고 중심과 직선 사이의 거리가 r이라는 식을 세우면 절댓값 때문에 r이 두 개 나옵니다.

15번은 조건 (가)에서 원이 y=x에 대칭이동해도 그대로라고 했으니 중심이 직선 y=x 위에 있습니다. 조건 (나)의 직선 x=-(3/2)r이 원과 만나야 하므로 중심의 위치가 하나로 정해지고, 현의 길이로 반지름을 구합니다.

16번은 원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점 A, B로 만든 삼각형이 정삼각형인 경우입니다. <보기> ㄱ·ㄴ·ㄷ을 하나씩 판단합니다. 직선 PQ가 선분 AB를 수직이등분한다는 성질을 쓰면 ㄴ의 내분 비율을 따질 수 있습니다.

5. 상 난이도 (17·18번)

17번 상 정점을 지나는 직선 · 두 직선의 수직 · 삼각형의 무게중심, 18번 상 원 위의 점과 직선 사이의 거리 · 원과 직선이 두 점에서 만날 때 · 삼각형의 넓이.

17번의 두 직선 kx-y+k-2=0과 x+ky+2k+1=0을 k로 묶어 보면, 둘 다 k에 관계없이 점 (-1, -2)를 지나고 항상 서로 수직입니다. 이 사실을 먼저 보면 세 직선이 만드는 삼각형은 (-1, -2)에서 직각인 직각이등변삼각형으로 좁혀지고, 무게중심이 원점이라는 조건을 붙이면 됩니다.

18번은 조건 (나) "넓이가 s인 점 P의 개수가 항상 짝수"를 해석하는 것이 관건입니다. 직선이 원의 중심을 지나지 않으면 작은 쪽 호에서 점이 1개만 나오는 넓이가 생겨 개수가 홀수가 됩니다. 그래서 직선은 원의 중심을 지나야 합니다. 이 조건과 넓이의 최댓값 조건 (가)를 연립합니다.

6. 서술형 (19·20번) — 둘 다 하

19번 두 점 사이의 거리 → 점과 직선 사이의 거리 → 삼각형의 넓이. (1)에서 변 AB의 길이, (2)에서 점 C와 직선 AB 사이의 거리를 구한 뒤 (3)에서 둘을 곱해 넓이를 냅니다.

20번 점의 대칭이동 → 두 점을 지나는 직선 → 직선의 대칭이동. x축 대칭, 원점 대칭으로 두 점을 만들고, (1) 기울기, (2) y=x에 대한 대칭이동을 차례로 구합니다.

두 문항 모두 앞 소문항의 답이 뒤 소문항에 그대로 쓰이는 연쇄 구조입니다. 첫 계산에서 실수하면 뒤가 전부 틀리니 소문항마다 검산하세요.

주의 문항 — 상 2문항 + 중상 4문항

17번 상 (정점을 지나는 직선과 무게중심) — 두 직선이 같은 정점을 지나고 수직이라는 점을 못 보면 계산이 길어집니다.

18번 상 (원 위의 점과 직선 사이의 거리) — "항상 짝수" 조건을 기하적으로 해석해야 합니다.

13번 중상 (f(x, y)=0의 이동) — 식을 이동 순서로 해석하는 문항입니다.

14번 중상 (세 직선에 접하는 원) — 절댓값을 풀 때 경우를 빠뜨리기 쉽습니다.

15번 중상 (현의 길이) — 조건 (가)(나)로 중심의 위치를 먼저 확정해야 합니다.

16번 중상 (접선의 길이, <보기>) — ㄱ·ㄴ·ㄷ 중 하나만 틀려도 답이 달라집니다.

성북구 7개 고등학교 비교 (2025 고1 2학기 중간 공통수학2)

내신판에 확보된 서울 성북구 7개 고등학교의 같은 시험을 분석표 기준으로 직접 세어 비교했습니다. 답 작성형은 정답이 선택지 번호가 아닌 문항 수입니다.

서울사대부고는 중상이 4문항으로 7곳 중 가장 적습니다. 대신 상 난이도 2문항은 계성고(3) 다음으로 많습니다. 쉬운 문항과 어려운 문항의 경계가 뚜렷한 시험입니다. 집합 단원 없이 도형의 방정식만 출제한 학교는 계성고 · 서울사대부고 · 용문고 세 곳이고, 도형의 이동 6문항은 계성고(9) 다음으로 많습니다.

성북구 학교들에서 공통으로 보이는 흐름도 있습니다. 정점을 지나는 직선 유형은 7곳 중 6곳에서 나왔고 모두 중상 이상이었습니다(서울사대부고는 17번 상). 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값은 5곳에서 나왔는데, 서울사대부고 10번은 그중 유일하게 중 난이도였습니다.

서울사대부고 고1 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 내분점 · 점의 평행이동 · 원의 기본형 — 1·2·4·5번. 확보 구간입니다.
2. 두 직선의 평행과 수직 — 3번, 그리고 17번의 수직 판단.
3. ★ 점과 직선 사이의 거리 — 6·9·14·19번에 네 번 쓰였습니다.
4. 원의 접선 (원 위의 점, 기울기) — 6·8번 대비.
5. 일반형 원의 방정식과 원·직선의 위치 관계 — 9번 대비.
6. 수직이등분선의 방정식 — 12번 대비.
7. 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 — 10번 대비.
8. 원점 대칭인 두 점 좌표 설정 — 11번 대비.
9. f(x, y)=0의 이동 순서 해석 — 13번 대비.
10. ★ x축, y축에 동시에 접하는 원 — 14·15번 연속 대비.
11. 현의 길이와 접선의 길이 — 15·16번 대비.
12. ★ 정점을 지나는 직선과 두 직선의 수직 — 17번(상) 대비.
13. ★ 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최대·최소 — 18번(상) 대비.
14. 서술형 연쇄 계산 — 19·20번처럼 앞 소문항 결과를 뒤에서 쓰는 풀이 쓰기.

자주 나오는 질문

서울사대부고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 소문항으로 나뉜 서술형입니다.

서울사대부고 정식 명칭은 무엇인가요?

서울대학교사범대학부설고등학교이고 서울 성북구에 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 원의 방정식 8문항(40%) 이 가장 많습니다. 도형의 이동 6문항, 직선의 방정식 4문항, 평면좌표 2문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18번 두 문항입니다. 17번은 직선의 방정식, 18번은 원의 방정식입니다.

서술형은 어려운가요?

19·20번 모두 하 난이도입니다. 다만 소문항 결과가 이어지는 구조라 첫 계산 실수가 전체 감점으로 번질 수 있습니다.

집합도 시험 범위에 들어갔나요?

2025학년 이 시험에서는 집합 단원 문항이 없었습니다. 20문항 전부 도형의 방정식 네 단원에서 나왔습니다.

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