과천고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

과천고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 글은 경기 과천시의 과천고등학교 시험지 분석입니다. 과천시에는 이름이 비슷한 과천여고·과천외고·과천중앙고가 따로 있으니 검색할 때 학교 이름을 꼭 확인하세요.

이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 원의 방정식이 시험 전체를 관통한다는 점입니다. 원의 방정식 단원에 배치된 문항은 6개지만, 유형 기록상 원이 들어간 문항은 9개이고 상 난이도 3문항이 모두 원과 관련된 문항입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 5(1~5번) / 중 6 / 중상 6 / 상 3(14·17·18번)
• 배치 단원: 03 원의 방정식 6 / 04 도형의 이동 4 / 06 집합의 연산 4 / 05 집합의 뜻과 표현 3 / 02 직선의 방정식 2 / 01 평면좌표 1
• 최다 반복 유형: 점과 직선 사이의 거리 4회(4·11·18·19번)
• 가장 까다로운 구간: 13~18번, 중상과 상이 여섯 문항 연속

과천고 공통수학2 중간은 어떤 시험인가

과천고등학교는 경기 과천시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 20문항이고, 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

출제 범위는 도형의 방정식 전체(평면좌표 · 직선의 방정식 · 원의 방정식 · 도형의 이동)와 집합입니다. 명제 단원에 배치된 문항은 없습니다. 대단원으로 나누면 도형의 방정식 13문항(65%), 집합 7문항(35%) 입니다.

난이도 흐름은 이렇습니다.

• 1~5번 — 하 5문항 연속 (도형의 이동 · 원 · 집합 · 직선 · 원에서 하나씩)
• 6~12번 — 중과 중상이 섞인 구간 (중상은 9·11번)
• 13~18번 — 중상 13번, 상 14번, 중상 15·16번, 상 17·18번
• 19·20번 — 주관식, 중 · 중상

즉 선택형 뒷부분 13~18번에 어려운 문항이 몰려 있습니다. 앞 다섯 문항을 빠르게 넘기고 시간을 뒤로 보내는 운영이 필요한 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 5 · 상 3

하 5문항이 1~5번에 정확히 모여 있습니다. 이 다섯 문항은 공식 하나로 끝나는 기본 문항이라 반드시 확보해야 합니다.

상 3문항은 모두 원이 주인공입니다. 14번은 원의 평행이동과 두 원의 위치 관계, 17번은 원과 포물선의 교점, 18번은 원과 직선의 위치 관계입니다. 원 단원을 깊게 공부한 학생이 상 문항을 가져가는 구조입니다.

출제 단원 — 원의 방정식 6문항이 최다

원의 방정식이 6문항으로 가장 많고, 평면좌표는 9번 한 문항뿐입니다.

배치 단원 표만 보면 원이 30%지만, 실제 체감 비중은 더 큽니다. 유형 기록을 보면 원이 들어간 문항은 2·5·11·13·14·15·17·18·19번, 모두 9개입니다. 14·15·19번은 도형의 이동 단원에 배치됐지만 각각 원의 평행이동, 두 원 위의 점 사이의 거리, 원과 직선의 교점이 함께 들어 있습니다. 20문항 중 9문항이 원을 다룬다고 보면 됩니다.

시그니처 유형 — 점과 직선 사이의 거리 4회

이 시험에서 가장 자주 쓰인 도구는 점과 직선 사이의 거리입니다. 4·11·18·19번 네 문항에 들어갔습니다. 4번은 단독 출제(하), 11번은 원의 접선과 삼각형의 넓이, 18번은 원과 직선의 위치 관계, 19번은 직선의 대칭이동과 함께 나왔습니다.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리는 |ax₁ + by₁ + c| ÷ √(a² + b²) 입니다. 이 시험에서 이 공식이 쓰인 장면은 크게 두 가지입니다.

• 원과 직선의 위치 관계 — 원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 비교 (d < r이면 두 점에서 만남, d = r이면 접함)
• 삼각형의 높이 — 한 변을 밑변으로 두고 나머지 꼭짓점에서 그 직선까지의 거리를 높이로 사용

두 번씩 나온 유형도 정리해 둡니다.

• 두 직선의 평행과 수직 — 7·17번
• 삼각형의 넓이 — 11·13번
• 유한집합의 원소의 개수; n(A∪B) 공식 — 12·20번
• 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 — 18·19번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 원의 방정식 (2·5·11·13·17·18번) — 6문항

2번 하 중심의 좌표가 주어진 원의 방정식 · 표준형에서 중심과 반지름 구하기, 5번 하 원 위의 점에서의 접선의 방정식, 11번 중상 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식 · 삼각형의 넓이 · 점과 직선 사이의 거리, 13번 중상 현의 길이 · 삼각형의 넓이 · 원 위의 점과 직선 사이의 거리, 17번 상 원과 포물선의 네 교점의 조건 · 지름의 양 끝 점이 주어진 원의 방정식 · 두 직선의 평행과 수직, 18번 상 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 · 원과 직선이 접할 때 · 점과 직선 사이의 거리.

5번 원 위의 점에서의 접선은 원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁)에서 x₁x + y₁y = r² 입니다. 공식 한 번 대입으로 끝나는 하 문항입니다.

11번 원 밖의 점에서 그은 접선은 접선을 y − b = m(x − a)로 두고 중심에서 접선까지의 거리 = 반지름으로 m을 구하는 것이 표준 풀이입니다.

13번 현의 길이는 중심에서 현까지의 거리를 d라 할 때 2√(r² − d²) 입니다. 여기에 삼각형 넓이가 붙어 중상이 됐습니다.

17번(상) 은 원과 포물선이 네 점에서 만나는 조건을 묻고, 지름의 양 끝 점이 주어진 원이 재료로 쓰였습니다. 지름의 양 끝 점이 주어지면 중점이 중심, 두 점 사이 거리의 절반이 반지름입니다.

18번(상) 은 원과 직선이 두 점에서 만나는 경우와 접하는 경우를 함께 따집니다. d와 r의 대소 비교로 조건을 세우는 문항입니다.

2. 도형의 이동 (1·14·15·19번) — 4문항

1번 하 점의 평행이동, 14번 상 도형의 평행이동(원) · 공통인 현의 길이 · 두 원의 위치 관계(외접·내접) 조건, 15번 중상 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 · 도형의 대칭이동 · 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값·최솟값, 19번 중(주관식) 도형의 대칭이동(직선) · 점과 직선 사이의 거리 · 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때.

14번(상) 은 원을 평행이동한 뒤 두 원 사이의 관계를 봅니다. 원을 평행이동하면 중심만 움직이고 반지름은 그대로입니다. 두 원이 외접하면 중심 거리 = 반지름의 합, 내접하면 중심 거리 = 반지름의 차입니다. 공통인 현은 두 원의 방정식을 빼서 나오는 직선이 출발점입니다.

15번 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값은 한 점을 직선(또는 축)에 대해 대칭이동시켜 꺾인 경로를 곧은 선분으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

19번 주관식은 직선의 대칭이동에 원과 직선의 위치 관계가 결합된 문항입니다. 대칭이동한 직선의 식을 정확히 쓰는 것부터가 출발입니다.

3. 집합의 연산 (8·12·16·20번) — 4문항

8번 중 집합의 연산의 성질 · 집합의 연산을 간단히 하기 · 배수와 약수의 집합의 연산, 12번 중 n(A∪B) 공식 · 드모르간의 법칙, 16번 중상 집합의 연산과 집합의 개수 · n(A)의 계산 · 여집합과 차집합, 20번 중상(주관식) 유한집합의 원소의 개수의 최댓값과 최솟값.

n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) 가 12번과 20번 두 문항에 쓰였습니다. 20번은 이 공식을 바탕으로 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 주관식입니다. n(A∩B)가 가장 클 때와 가장 작을 때를 각각 따져 보는 것이 기본 전략입니다.

12번 드모르간의 법칙은 (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ 입니다. 여집합의 원소 개수를 물을 때 자주 쓰입니다.

4. 집합의 뜻과 표현 (3·6·10번) — 3문항

3번 하 서로 같은 집합, 6번 중 집합 사이의 포함 관계가 성립하도록 하는 상수 구하기, 10번 중 A⊂X⊂B를 만족시키는 집합 X의 개수 · 부분집합의 개수.

10번은 A의 원소는 반드시 포함하고 B에 없는 원소는 포함하지 않는 집합 X를 셉니다. B에만 있는 원소 k개로 만드는 부분집합의 개수, 즉 2ᵏ 개입니다.

5. 직선의 방정식과 평면좌표 (4·7·9번) — 3문항

4번 하 점과 직선 사이의 거리, 7번 중 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 · 수직 또는 평행 조건이 주어진 직선 · 두 직선의 평행과 수직, 9번 중상(평면좌표) 선분의 내분점 · 삼각형의 무게중심 · 세 점이 한 직선 위에 있을 조건.

7번은 두 직선의 교점을 지나는 직선에 평행·수직 조건이 붙은 문항입니다. 교점을 지나는 직선은 두 직선 식을 (첫째 식) + k(둘째 식) = 0으로 묶어 나타낼 수 있습니다. 평행이면 기울기가 같고, 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다.

9번은 평면좌표 단원의 유일한 문항인데 중상입니다. 내분점과 무게중심 공식을 세 점이 한 직선 위에 있을 조건과 엮었습니다. 무게중심은 세 꼭짓점 좌표의 평균입니다.

주의 문항 — 상 3문항과 중상 6문항

14번 상 (원의 평행이동 · 공통인 현 · 두 원의 위치 관계) — 세 개념이 한 문항에 들어갔습니다.

17번 상 (원과 포물선의 네 교점) — 이 시험에서 가장 낯선 유형입니다.

18번 상 (원과 직선의 위치 관계) — 두 점에서 만날 때와 접할 때를 함께 따집니다.

중상 6문항 — 내분점·무게중심(9번), 원 밖의 점에서 그은 접선(11번), 현의 길이(13번), 대칭이동을 이용한 최솟값(15번), 집합의 개수(16번), 주관식 원소 개수의 최댓값·최솟값(20번).

13~18번 여섯 문항이 중상 또는 상으로 이어집니다. 앞 다섯 문항에서 시간을 아껴 두지 않으면 이 구간에서 밀립니다.

과천 네 학교와 비교하면

같은 2025학년 고1 2학기 중간 공통수학2를 과천시 네 학교(과천고·과천여고·과천외고·과천중앙고) 분석표로 비교하면 이렇습니다.

과천고는 네 학교 중 문항 수가 가장 적고, 집합 단원 문항이 가장 많습니다. 도형의 방정식만 파고 집합을 소홀히 하면 집합 7문항에서 점수가 흔들립니다.

과천고 공통수학2 중간 대비 학습 순서

1. 점의 평행이동, 표준형 원의 방정식, 원 위의 점에서의 접선 — 1·2·5번 대비. 확보 구간.
2. 서로 같은 집합과 부분집합의 개수 — 3·10번 대비.
3. ★ 점과 직선 사이의 거리 — 4·11·18·19번을 관통하는 공식.
4. 두 직선의 평행과 수직, 교점을 지나는 직선 — 7·17번 대비.
5. 포함 관계가 성립하도록 하는 상수 — 6번 대비.
6. 집합의 연산 법칙과 드모르간의 법칙 — 8·12번 대비.
7. 내분점·무게중심·세 점이 한 직선 위에 있을 조건 — 9번 대비.
8. 원 밖의 점에서 그은 접선과 현의 길이 — 11·13번 대비.
9. ★ 원과 직선의 위치 관계 (d와 r 비교) — 18·19번 대비.
10. 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 — 15번 대비.
11. ★ 원의 평행이동과 두 원의 위치 관계, 공통인 현 — 14번 상 대비.
12. ★ 원과 포물선의 교점 조건 — 17번 상 대비.
13. 유한집합의 원소 개수의 최댓값·최솟값 — 16·20번 대비.

자주 나오는 질문

과천고와 과천여고·과천외고·과천중앙고는 같은 학교인가요?

아닙니다. 네 학교 모두 경기 과천시에 있지만 서로 다른 학교입니다. 이 글은 과천고등학교 시험지 분석입니다.

과천고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 원의 방정식이 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 도형의 이동 4문항, 집합의 연산 4문항, 집합의 뜻과 표현 3문항, 직선의 방정식 2문항, 평면좌표 1문항입니다.

명제도 시험 범위였나요?

2025학년 시험지에서는 명제 단원에 배치된 문항이 없습니다. 도형의 방정식 13문항, 집합 7문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 3문항(14·17·18번) 있고, 모두 원과 관련된 문항입니다.

과년도 과천고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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