노원고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

노원고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도 세 문항이 20·21·22번에 연속으로 붙어 있다는 점, 그리고 그중 20·21번이 같은 유형이라는 점입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 1~22번은 선택형, 23·24번은 답을 직접 쓰는 형태 2문항
• 난이도: 하 5 / 중 12 / 중상 4 / 상 3
• 배치 단원: 01 함수의 극한 7 / 03 미분계수와 도함수 7 / 02 함수의 연속 6 / 04 도함수의 활용 (1) 4
• 최고 난도: 20·21·22번 연속 세 문항이 상
• 20·21번은 같은 유형 — 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성

노원고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

노원고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 24문항으로, 같은 시험 기간 노원구 다섯 학교 중 문항 수가 가장 많습니다.

정답 기록을 보면 1~22번은 ①~⑤ 중에서 고르는 선택형, 23·24번 두 문항만 답을 직접 쓰는 형태입니다. 24문항 중 서술·단답이 2문항이니 선택형 비중이 92% 로 아주 높습니다. 문항 수가 많고 선택형이 대부분이라 속도가 곧 점수인 시험입니다.

출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용(접선과 평균값 정리) 까지입니다. 극대·극소나 방정식·부등식에의 활용 단원은 한 문항도 나오지 않았습니다. 범위를 앞에서부터 촘촘하게 훑은 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 12문항, 상 3문항

중 난이도가 12문항으로 정확히 절반입니다. 이 시험의 무게중심이 여기 있습니다. 상 세 문항을 포기하더라도 중 열두 문항을 전부 지켜야 상위권이 유지됩니다.

1~4번 네 문항이 연속 하 난이도입니다. 시작을 빠르게 지나가라는 구성입니다. 9번도 하이니, 앞쪽 아홉 문항 중 다섯 문항이 확보 구간입니다.

문제는 뒷부분입니다. 20·21·22번이 상 난이도 연속이고, 그 바로 앞 16·17번도 중상입니다. 16번 이후로 급격히 난도가 올라가는 곡선이라, 1~15번을 얼마나 빨리 끝내느냐가 승부처입니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수가 각 7문항

네 단원이 4~7문항씩 고르게 나뉘었습니다. 버릴 단원이 없습니다.

대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 13문항(54%), 다항함수의 미분법 11문항(46%) 입니다. 극한·연속 쪽이 조금 더 무겁습니다.

주목할 점은 상 난이도 세 문항 중 두 개(20·21번)가 함수의 연속에서 나왔다는 것입니다. 연속은 6문항밖에 안 되지만 가장 높은 봉우리가 여기 있습니다.

시그니처 문항 — 20·21번, 같은 유형 두 번

이 시험에서 가장 특이한 지점은 20번과 21번이 같은 유형이라는 것입니다.

두 문항 모두 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속입니다. 그리고 둘 다 함수가 연속일 조건 (응용) 을 함께 씁니다. 상 난이도 문항을 한 유형으로 두 번 물은 셈입니다.

이 유형은 보통 이렇게 생겼습니다. 직선 y = t 와 어떤 곡선의 교점의 개수를 f(t)로 정의하면, f(t)는 t가 변할 때 계단처럼 뚝뚝 끊깁니다. 즉 f(t)는 곡선의 극값에 해당하는 t에서 불연속입니다. 여기에 다른 함수 g(t)를 곱한 f(t)g(t)가 연속이 되려면, f가 튀는 지점에서 g가 그 튐을 0으로 상쇄해야 합니다.

정리하면 풀이 절차는 세 단계입니다.

1. 곡선의 개형을 그려 교점 개수 f(t)의 그래프를 계단으로 그린다.
2. f(t)가 불연속인 t 값을 전부 찾는다.
3. 그 지점마다 좌극한 · 우극한 · 함숫값이 같아지도록 g(t)의 조건을 세운다.

20·21번이 같은 절차를 공유하므로, 이 유형 하나를 제대로 잡으면 상 난이도 두 문항이 동시에 열립니다. 노원고 수학Ⅱ 대비에서 투자 대비 효율이 가장 높은 지점입니다.

여기에 다음 유형들이 세 번씩 겹칩니다.

• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (h→0 꼴) — 11·18·19번
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 2·6·8번
• 함수가 연속일 조건 — 9·15·23번
• 함수가 연속일 조건 (응용) — 15·20·21번

15번이 두 계열의 교차점입니다. 15번을 정확히 풀 수 있으면 23번(기본)과 20·21번(응용)으로 양쪽 다 길이 열립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·2·5·6·7·8·10번) — 7문항

1번 하 함수의 극한값 구하기, 2번 하 함수의 극한값의 존재 · ∞/∞ 꼴, 5번 중 0/0 꼴의 극한; 무리식 · 미정계수의 결정, 6번 중 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴 · 미정계수의 결정(응용), 7번 중 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 극한에 대한 성질, 8번 중 함수의 극한에 대한 성질 · ∞/∞ 꼴, 10번 중상 함수의 극한의 활용 · 도형의 길이와 넓이.

1·2번은 확보 구간입니다. 극한값을 직접 계산하거나, 좌극한과 우극한이 같은지 확인하면 끝납니다.

5번의 무리식 극한은 분자 또는 분모를 유리화하는 것이 표준 절차입니다. 여기에 미정계수가 얹혀 있으니, 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가야 한다는 조건을 먼저 세우고 들어가세요.

6번의 다항함수의 결정은 이 단원의 핵심 유형입니다. x → ∞ 에서의 극한으로 차수와 최고차항 계수를, x → a 에서의 극한으로 인수를 결정하는 두 단계입니다.

10번이 이 단원의 유일한 중상입니다. 도형의 길이와 넓이를 식으로 세운 뒤 극한을 보내는 유형이라, 극한 계산보다 도형에서 식을 뽑는 단계가 어렵습니다. 좌표를 직접 잡고 길이를 문자로 표현하는 연습이 필요합니다.

2. 함수의 연속 (9·15·16·20·21·23번) — 6문항

9번 하 함수가 연속일 조건, 15번 중 함수가 연속일 조건 · 연속일 조건(응용), 16번 중상 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 사잇값 정리, 20번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성, 21번 상 같은 유형, 23번 중 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정 (서술형).

9번은 하 난이도입니다. x = a 에서 연속이려면 좌극한 = 우극한 = 함숫값, 이 한 줄이면 됩니다.

16번의 사잇값 정리는 f(a)f(b) < 0 이면 (a, b)에 실근이 적어도 하나 존재한다는 정리입니다. 구간 끝값의 부호만 확인하면 되는데 중상인 것은, 보통 여러 구간의 부호를 차례로 따져 어느 구간에 근이 있는지 고르게 하기 때문입니다. 계산량이 많으니 표를 만들어 정리하세요.

23번은 서술형이면서 중 난이도입니다. 연속 조건으로 미정계수 세 개(a, b, c)를 정하는 문항이라, 조건식을 하나씩 세워 연립하면 됩니다. 두 문항뿐인 서술형 중 확실히 가져갈 자리입니다.

20·21번은 앞에서 다룬 상 난이도 짝입니다.

3. 미분계수와 도함수 (3·4·11·12·18·19·22번) — 7문항

3번 하 평균변화율, 4번 하 곱의 미분법 · 미분계수를 이용한 미정계수의 결정, 11번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산(두 꼴), 12번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성, 18번 중 미분계수를 이용한 미정계수의 결정, 19번 중 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 · 접선의 기울기, 22번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

3·4번이 하 난이도입니다. 평균변화율은 (f(b)−f(a))/(b−a), 곱의 미분법은 (fg)' = f'g + fg' 입니다.

11·18·19번이 전부 "미분계수를 이용한 극한값 계산" 계열입니다. 세 문항의 공통 뼈대는 주어진 극한식을 f'(a)의 정의 꼴로 맞추는 것입니다. lim(h→0) (f(a+h) − f(a))/h 와 lim(x→a) (f(x) − f(a))/(x−a) 두 정의를 자유롭게 오갈 수 있어야 합니다.

12번과 22번이 같은 유형(구간별로 정의된 함수의 미분가능성)인데 난이도가 중과 상으로 갈립니다. 12번을 풀고 22번에서 막혔다면, 조건이 하나 더 얹혔다는 뜻입니다. 미분가능하려면 우선 연속이어야 하고, 그다음 좌미분계수 = 우미분계수 라는 두 단계를 빠짐없이 적용하세요. 22번은 이 시험의 상 난이도 중 마지막 문항입니다.

4. 도함수의 활용 — 접선과 평균값 정리 (13·14·17·24번) — 4문항

13번 중 접선의 방정식; 기울기가 주어진 경우, 14번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 · 접선의 기울기, 17번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 24번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 항등식에서 미분법의 활용 (서술형).

접선 문항이 기울기가 주어진 경우(13번) · 곡선 밖의 점이 주어진 경우(14번) · 접점이 주어진 경우(24번) 세 가지로 모두 나왔습니다. 접선 유형의 세 갈래를 한 시험에서 전부 확인한 셈입니다.

• 접점이 주어지면 — f'(a)를 구해 y − f(a) = f'(a)(x − a)
• 기울기가 주어지면 — f'(t) = m 을 풀어 접점 t를 먼저 찾는다
• 곡선 밖의 점이 주어지면 — 접점을 t로 놓고 그 점을 지난다는 조건으로 t를 구한다

세 절차의 출발점이 다르다는 것이 핵심입니다. 문제를 읽자마자 어느 경우인지 판정하는 연습을 하세요.

17번의 평균값 정리는 f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) 를 만족하는 c가 (a, b)에 적어도 하나 존재한다는 정리입니다. 중상인 이유는 정리의 진술을 그대로 쓰기보다 c의 값을 실제로 구하거나 개수를 세게 하기 때문입니다.

24번은 서술형이자 중상입니다. 접선을 구하는데 항등식에서 미분법의 활용이 함께 걸려 있습니다. 양변을 미분해 계수를 비교하는 단계가 먼저 들어갑니다.

노원구 다섯 학교 비교 — 2025 고2 2학기 중간 수학Ⅱ

같은 시험 기간, 같은 과목, 같은 범위로 치른 서울 노원구 다섯 학교를 분석표 기준으로 직접 집계해 나란히 놓으면 이렇습니다.

노원고는 다섯 학교 중 문항 수가 가장 많고(24문항), 서술형이 가장 적습니다(2문항). 중 난이도 12문항도 다섯 학교 중 최다입니다. 즉 "많이, 빠르게, 객관식으로" 가 노원고 시험의 성격입니다.

단원별로도 차이가 납니다.

노원고는 네 단원 모두 4문항 이상으로, 다섯 학교 중 가장 고르게 퍼진 편입니다. 특정 단원만 파는 전략이 통하지 않습니다.

노원고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 극한값 계산과 좌·우극한 — 1·2·7번 대비. 확보 구간입니다.
2. 0/0 꼴 무리식 유리화와 미정계수 결정 — 5번 대비.
3. ★ 다항함수의 결정 — 6번 대비. 차수와 인수를 순서대로 결정하는 절차.
4. ∞/∞ 꼴 극한과 극한의 성질 — 2·6·8번 대비.
5. 연속의 정의와 연속일 조건 — 9·15·23번 대비. 23번은 서술형 확보 자리입니다.
6. 사잇값 정리와 실근이 존재하는 구간 — 16번 대비. 구간별 부호표를 만드세요.
7. 평균변화율과 곱의 미분법 — 3·4번 대비. 확보 구간입니다.
8. ★ 미분계수의 정의 두 꼴 — 11·18·19번을 관통하는 절차입니다.
9. ★ 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 12·22번 대비. 연속 먼저, 좌우 미분계수 다음.
10. 접선의 방정식 세 갈래 — 13·14·24번 대비.
11. 평균값 정리 — 17번 대비. c를 실제로 구하는 연습까지.
12. ★ 교점의 개수로 정의된 함수의 연속 — 20·21번 대비. 상 난이도 두 문항을 한 번에 여는 유형입니다.
13. 도형의 길이·넓이를 이용한 극한 — 10번 대비.

자주 나오는 질문

노원고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~22번은 선택형, 23·24번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한과 미분계수와 도함수가 각 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 함수의 연속 6문항, 도함수의 활용(1) 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20·21·22번 세 문항입니다. 세 문항이 연속으로 붙어 있고, 그중 20·21번은 같은 유형(교점의 개수로 정의된 함수의 연속성) 입니다.

서술형 비중은 어느 정도인가요?

24문항 중 2문항(23·24번) 입니다. 노원구 다섯 학교 중 서술형이 가장 적습니다. 23번은 중, 24번은 중상 난이도입니다.

극대·극소나 방정식에의 활용도 나오나요?

2025학년 이 시험에서는 한 문항도 나오지 않았습니다. 도함수의 활용은 접선(13·14·24번)과 평균값 정리(17번)까지만 출제됐습니다.

과년도 노원고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

노원고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출 받아보기

2025학년 노원고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.

📚 노원고 전체 기출이 궁금하다면?

👉 내신판에서 노원고등학교 기출 전체 보기

가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.

(서울 노원구 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)