불암고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

불암고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험의 성격을 한 줄로 말하면 함수의 극한 8문항으로 노원구 다섯 학교 중 극한 비중이 가장 높고, 상 난이도 네 문항 중 두 개가 서술형 끝자리(21·22번) 에 있다는 것입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태 4문항
• 난이도: 하 5 / 중 9 / 중상 4 / 상 4
• 배치 단원: 01 함수의 극한 8 / 03 미분계수와 도함수 6 / 02 함수의 연속 5 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 06 도함수의 활용 (3) 1
• 상 4문항: 17·18번(선택형 끝)과 21·22번(서술형 끝)
• 시그니처: 도형의 길이와 넓이를 이용한 극한이 16·21번 두 번

불암고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

불암고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다.

정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 중에서 고르는 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 특히 22번은 (1)과 (2) 두 개의 소문항으로 나뉘어 있습니다. 소문항이 있다는 것은 부분점수 설계가 들어갔다는 뜻이고, (1)을 못 풀어도 (2)를 시도할 가치가 있다는 뜻이기도 합니다.

난이도 배치가 두 개의 언덕을 만듭니다. 선택형 끝(17·18번)에서 한 번, 서술형 끝(21·22번)에서 또 한 번 상 난이도가 나옵니다. 18번에서 시간을 다 쓰면 21·22번은 손도 못 댑니다. 이 시험에서 가장 중요한 판단은 18번을 넘길지 말지입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항이 두 군데로 갈렸다

하 난이도 다섯 문항이 1·2·4·5·6번으로 전부 앞쪽에 있습니다. 3번만 중이니, 처음 여섯 문항 중 다섯 개가 확보 구간입니다. 빠르게 지나가야 합니다.

중상 네 문항(11·12·15·16번) 이 중반에 뭉쳐 있고, 바로 뒤 17·18번이 상입니다. 즉 11번부터 18번까지 여덟 문항이 연속으로 중상 이상입니다. 이 구간이 이 시험의 본체입니다.

그리고 서술형 네 문항도 두 갈래입니다. 19·20번은 중이라 확보 가능하고, 21·22번은 상입니다. 서술형에 들어가면 19·20번부터 처리하는 것이 정석입니다.

출제 단원 — 함수의 극한이 8문항

함수의 극한 한 단원에서 8문항, 전체의 36%입니다. 노원구 다섯 학교 중 극한 비중이 가장 높습니다.

반대로 도함수의 활용은 세 문항(14·18·19번)뿐입니다. 접선이 14·19번 두 문항, 그리고 18번이 두 그래프의 교점의 개수입니다. 극대·극소를 묻는 문항은 없었습니다.

여기서 주의할 점이 있습니다. 18번은 06 도함수의 활용 (3) 단원, 즉 방정식·부등식에의 활용 쪽 유형입니다. 나머지 21문항이 극한·연속·미분계수·접선에 머무는 데 비해 18번만 범위 뒤쪽까지 나갔습니다. 상 난이도인 것도 이 때문입니다. 범위를 앞에서부터 순서대로 공부하다 18번을 만나면 낯설게 느껴질 수 있습니다.

시그니처 유형 — 도형에서 식을 뽑아 극한 보내기 (16·21번)

이 시험을 관통하는 가장 특징적인 유형은 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이입니다. 16번(중상)과 21번(상) 두 문항에 쓰였고, 둘 다 0/0 꼴 또는 ∞/∞ 꼴 극한 계산을 함께 요구합니다.

이 유형의 구조는 늘 같습니다.

1. 매개변수 t(또는 점의 좌표)를 잡고 길이나 넓이를 t의 식으로 표현한다.
2. t → 0 또는 t → ∞ 로 보낸다.
3. 대개 0/0 꼴이 나오므로 유리화하거나 인수분해해 정리한다.

어려운 부분은 극한 계산이 아니라 1단계입니다. 원과 직선의 교점, 수선의 발, 접선과 좌표축이 만드는 삼각형 같은 도형에서 좌표를 직접 잡고 길이를 문자로 쓰는 연습이 필요합니다. 21번이 상 난이도인 이유는 여기에 무리식 극한(0/0 꼴)까지 겹쳤기 때문입니다.

16번을 풀 수 있으면 21번의 절반은 이미 푼 것입니다. 두 문항이 같은 뼈대를 공유합니다.

또 하나의 짝은 9번과 17번입니다. 둘 다 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성인데, 9번은 중, 17번은 상입니다. 같은 유형을 난이도만 올려 두 번 물었습니다.

반복 유형을 횟수로 정리하면 이렇습니다.

• 함수의 극한에 대한 성질 — 1·2·12번 (3회)
• 함수의 극한값의 존재 — 3·6·18번 (3회)
• 미분가능성과 연속성 — 9·17·22번 (3회)
• 함수의 극한의 활용 — 16·18·21번 (3회)
• 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 9·17번 (2회)
• 도형의 길이와 넓이를 이용한 극한 — 16·21번 (2회)
• 함수가 연속일 조건 (응용) — 15·22번 (2회)

"미분가능성과 연속성"이 9·17·22번 세 문항에 걸쳐 있다는 점을 놓치지 마세요. 그중 17·22번이 상 난이도입니다. 미분가능하면 연속이지만 역은 성립하지 않는다는 한 문장이 이 시험의 최고 난도 두 문항을 관통합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·2·3·6·12·13·16·21번) — 8문항

1번 하 함수의 극한값 구하기 · 극한에 대한 성질, 2번 하 함수의 극한에 대한 성질 · 극한값 구하기, 3번 중 함수의 극한값의 존재 · 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 함수의 그래프와 연속, 6번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 극한값의 존재, 12번 중상 함수의 극한의 대소 관계 · 극한에 대한 성질, 13번 중 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 · ∞/∞ 꼴, 16번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이, 21번 상 같은 유형 + 0/0 꼴 무리식 (서술형).

1·2·6번 세 문항이 하 난이도입니다. 극한의 성질(합·차·곱·몫)과 그래프에서 좌·우극한 읽기만 되면 끝납니다. 확보 구간입니다.

3번과 6번이 둘 다 "그래프가 주어진 좌·우극한" 입니다. 그래프 해석 문항이 두 개나 나왔다는 것은 함수 그래프를 보고 x = a 에서의 좌극한·우극한·함숫값을 정확히 구분해 읽는 연습을 꼭 해야 한다는 뜻입니다.

12번의 "극한의 대소 관계" 는 샌드위치 정리(조임 정리) 유형입니다. g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 이고 양쪽 극한이 같으면 가운데 극한도 같다는 것인데, 부등식을 어떻게 만드는지가 중상 난이도의 이유입니다. 가우스 기호나 삼각부등식이 자주 함께 나옵니다.

13번의 다항함수 결정은 x → ∞ 극한으로 차수와 최고차항 계수를, x → a 극한으로 인수를 결정하는 두 단계 절차입니다.

2. 함수의 연속 (7·8·10·15·22번) — 5문항

7번 중 최대·최소 정리 · 연속함수의 성질, 8번 중 함수의 그래프와 연속 · 연속함수의 성질 · 함수의 연속, 10번 중 사잇값 정리; 실근의 개수 · 사잇값 정리, 15번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 0/0 꼴 무리식, 22번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 미분가능성과 연속성 · 함수가 연속일 조건 (서술형, 소문항 2개).

7번의 최대·최소 정리는 닫힌구간에서 연속이면 최댓값과 최솟값이 반드시 존재한다는 정리입니다. 8번의 연속함수의 성질과 함께, 정리의 조건(닫힌구간·연속)을 빠뜨리면 성립하지 않는다는 점을 묻는 유형이 자주 나옵니다. 반례를 하나씩 기억해 두세요.

10번의 사잇값 정리는 f(a)f(b) < 0 이면 (a, b)에 실근이 존재한다는 것입니다. "실근의 개수"를 묻는 형태이므로 여러 구간의 부호를 차례로 확인해야 합니다. 표를 그리면 실수가 줄어듭니다.

15번의 (x−a)f(x) 꼴 연속이 중요한 유형입니다. (x−a)f(x) 가 x = a 에서 연속이려면, f(x)가 x = a 근처에서 발산하더라도 (x−a)가 그 발산을 잡아 줄 수 있는지 따져야 합니다. 분모가 0이 되는 자리를 분자가 상쇄하는지 확인하는 논리입니다.

22번은 이 시험의 마지막 문항이자 상 난이도입니다. 연속과 미분가능성을 함께 묻고, 소문항 (1)·(2)로 나뉩니다. (1)이 (2)의 발판이 되는 구조가 일반적이니, (1)부터 차근히 적어 부분점수를 확보하세요.

3. 미분계수와 도함수 (4·5·9·11·17·20번) — 6문항

4번 하 곱의 미분법 · y=f(x)g(x) 꼴, 5번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산(h→0 꼴), 9번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성, 11번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산(x→a 꼴) · 평균변화율과 미분계수, 17번 상 구간별 정의 함수의 미분가능성 · 평균변화율과 미분계수 · 미분가능성과 연속성, 20번 중 미분법의 공식 · 미정계수의 결정 (서술형).

4·5번이 하 난이도입니다. (fg)' = f'g + fg' 와 미분계수의 정의, 두 가지만 알면 됩니다.

11번이 중상인 이유는 극한식을 f'(a)의 정의 꼴로 변형하는 단계가 한 겹 더 있기 때문입니다. lim(x→a) (f(x) − f(a))/(x−a) 꼴로 맞추려면 분모를 인위적으로 만들어야 하는 경우가 많습니다.

9번과 17번이 같은 유형이라는 점이 핵심입니다. 구간별로 정의된 함수가 경계점에서 미분가능하려면 ① 좌극한 = 우극한 = 함숫값(연속), ② 좌미분계수 = 우미분계수 두 조건을 모두 만족해야 합니다. 9번에서 이 절차를 정확히 밟았다면 17번에서도 같은 틀로 시작할 수 있습니다.

20번은 서술형이면서 중 난이도입니다. 미분법 공식으로 도함수를 구하고 조건에 맞춰 미정계수를 정하는 문항이라, 서술형 네 문항 중 가장 확실한 자리입니다.

4. 도함수의 활용 (14·18·19번) — 3문항

14번 중 접선과 수직인 직선의 방정식 · 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이, 18번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 함수의 극한값의 존재 · 함수의 극한의 활용, 19번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 · 접선의 기울기 (서술형).

14번의 "접선과 수직인 직선" 은 법선입니다. 접선의 기울기가 m이면 법선의 기울기는 −1/m 입니다. 여기에 좌표축과 만드는 삼각형의 넓이가 얹혀 있으니, x절편·y절편을 구하는 단계까지 이어집니다.

19번은 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선입니다. 접점을 t로 놓고 ① 접선의 기울기는 f'(t), ② 그 접선이 주어진 점을 지난다 두 조건으로 t에 대한 방정식을 세웁니다. 서술형이지만 중 난이도이니 확보 가능합니다.

18번이 이 시험에서 가장 낯선 문항입니다. 두 그래프의 교점의 개수를 묻는 유형은 보통 한쪽을 상수 k로 분리해 y = k 와의 교점 개수로 바꾸고, 함수의 개형(극댓값·극솟값)을 그려 k의 범위를 나누는 방식으로 풉니다. 22문항 중 이 단원에서 나온 유일한 문항이라 준비 없이 만나면 시간을 크게 뺏깁니다.

노원구 다섯 학교 비교 — 2025 고2 2학기 중간 수학Ⅱ

같은 시험 기간, 같은 과목, 같은 범위로 치른 서울 노원구 다섯 학교를 분석표 기준으로 직접 집계해 나란히 놓으면 이렇습니다.

불암고는 상 난이도 4문항으로 상계고와 함께 가장 많습니다. 다만 하 난이도도 5문항이라, 쉬운 문항과 어려운 문항이 뚜렷하게 갈리는 형태입니다. 중상이 4문항으로 적은 편이라 난이도 곡선이 계단식입니다.

단원별로도 차이가 납니다.

불암고는 함수의 극한이 8문항으로 다섯 학교 중 가장 많고, 도함수의 활용이 3문항으로 가장 적습니다. 즉 앞 단원에 무게가 실린 시험입니다. 극한 계산과 그래프 해석을 먼저 확실히 다지는 것이 불암고 대비의 출발점입니다.

불암고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 극한의 성질과 극한값 계산 — 1·2번 대비. 확보 구간입니다.
2. 그래프에서 좌극한·우극한 읽기 — 3·6번 대비. 두 문항이나 나왔습니다.
3. 다항함수의 결정 — 13번 대비. 차수 → 인수 순서로.
4. 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리) — 12번 대비.
5. ★ 도형의 길이·넓이를 이용한 극한 — 16·21번 대비. 이 시험의 시그니처입니다.
6. 최대·최소 정리와 연속함수의 성질 — 7·8번 대비. 조건과 반례를 함께.
7. 사잇값 정리와 실근의 개수 — 10번 대비. 부호표를 만드세요.
8. (x−a)f(x) 꼴의 연속 — 15번 대비.
9. 곱의 미분법과 미분계수의 정의 — 4·5·11번 대비.
10. ★ 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 9·17·22번 대비. 연속 조건 먼저, 좌우 미분계수 다음.
11. 접선과 법선, 좌표축이 만드는 넓이 — 14번 대비.
12. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 19번 대비. 서술형 확보 자리입니다.
13. 두 그래프의 교점의 개수 — 18번 대비. 상수 분리 후 개형 그리기.

자주 나오는 질문

불암고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태이며 22번은 소문항 (1)·(2)로 나뉩니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 미분계수와 도함수 6문항, 함수의 연속 5문항, 도함수의 활용 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18·21·22번 네 문항입니다. 선택형 끝(17·18번)과 서술형 끝(21·22번) 두 군데로 갈려 있습니다.

가장 낯선 문항은 무엇인가요?

18번(두 그래프의 교점의 개수) 입니다. 22문항 중 유일하게 도함수의 활용 뒤쪽 단원에서 나온 문항이라, 범위를 앞에서부터 공부하면 준비가 덜 된 상태로 만나기 쉽습니다.

서술형 비중은 어느 정도인가요?

22문항 중 4문항(19~22번) 입니다. 19·20번은 중 난이도로 확보 가능하고, 21·22번은 상 난이도입니다.

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